ディラック方程式

量子力学の発展における第一段階は、1900年から1925年まで続き、古典力学では説明できない個々の現象を説明することに重点が置かれました。^{[ 7 ]}第二段階は1920年代半ばに始まり、量子力学を支配する2つの体系的な枠組みが開発されました。1つ目は行列力学として知られ、行列を用いて物理的観測量を記述します。これは1925年にヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスカル・ジョルダンによって開発されました。^{[ 8 ] : 51} 2つ目は波動力学として知られ、シュレーディンガー方程式として知られる波動方程式を用いて系の状態を記述します。これは翌年、エルヴィン・シュレーディンガーによって開発されました。これら2つの枠組みは当初は競合するアプローチと見なされていましたが、後に同等であることが示されました。^{[ 9 ] : 21}

これらの枠組みはいずれも、量子力学を非相対論的な設定でのみ定式化していた。^{[ 9 ] : 22}これは当初から欠点とみなされており、シュレーディンガーは当初、シュレーディンガー方程式の相対論的バージョンを定式化しようと試み、その過程でクライン・ゴルドン方程式を発見した。^{[ 8 ] : 679}しかし、この方程式が、アーノルド・ゾンマーフェルトによって正確な形式が知られていた水素原子スペクトルの相対論的補正を正しく再現しないことを示した後、彼は相対論的定式化を放棄した。^{[ 10 ] : 1025}クライン・ゴルドン方程式は、少なくとも他の6人の著者によって同年中に発見された。^{[ 11 ] : 6}

1926年から1927年にかけて、主に2つのアプローチを通して、相対性理論を量子力学に組み込むための広範な取り組みが行われた。1つ目は、クライン・ゴルドン方程式をシュレーディンガー方程式の正しい相対論的一般化とみなす方法であった。^{[ 11 ] : 7}このようなアプローチは、多くの主要な理論家から好ましくないと見なされた。なぜなら、数多くの実験結果を正しく予測できなかったこと、そしてより重要なことに、当時理解されていた量子力学の原理と調和させることが困難であるように思われたからである。^{[ 12 ] : 35}これらの概念的な問題は、主に2階時間微分の存在に起因していた。^{[ 10 ] : 1031}

2番目のアプローチでは、既知の非相対論的公式に対する補正として相対論的効果を導入しました。^{[ 12 ] : 36}これにより、最終的にはまだ知られていない量子力学の相対論的定式化に取って代わられると予想された多くの暫定的な回答が得られました。ハイゼンベルクとジョーダンによる注目すべき結果の1つは、水素ハミルトニアンにスピンと相対性の2つの項を導入し、ゾンマーフェルトの微細構造公式の1次近似を導出したことです。^{[ 13 ]}

この時期に並行して発展した概念の一つがスピンであり、これは1925年にサミュエル・グーズミットとジョージ・ウーレンベックによって初めて導入された。^{[ 14 ]}その後まもなく、シュレーディンガーは、スピンこそが正しいゾンマーフェルトの公式を得るための欠落した要素であると推測した。^{[ 12 ] : 44} 1927年、ヴォルフガング・パウリはスピンの概念を用いて、非相対論的なスピン1/2粒子の有効な理論であるパウリ方程式を見出した。^{[ 15 ]}彼はシュレーディンガー方程式を用い、波動関数が物理座標に依存すると仮定するだけでなく、2つの値しか取らないスピン座標にも依存すると仮定することでこれを実現した。${\displaystyle \pm {\tfrac {\hbar }{2}}}$これはまだ非相対論的な定式化であったが、彼は完全な相対論的定式化には、点粒子を超えた、より複雑な電子モデルが必要になる可能性があると考えていた。^{[ 12 ]： 47}

1927 年までに、多くの物理学者は水素の微細構造を、パウリ方程式を使用するか、クライン・ゴルドン方程式にスピン 1/2 角運動量量子数を導入することで効果的に解決できるため、まったく新しい相対論的定式化を必要とする重要なパズルとはもはや考えていなかった。[ 12]:51 その年に開催された第 5 回ソルベー会議で、ポール・ディラックは主に量子力学の論理的発展に関心を持っていた。しかし、彼は他の多くの物理学者がクライン・ゴルドン方程式を満足のいく相対^{論的定式化として}安易に受け入れていることに気付き、それは当時理解されていた量子力学の基本原理を放棄することを要求するものであり、ディラックはこれに強く反対した。^{[ 12 ] : 52}ブリュッセルから戻った後、ディラックは電子の相対論的理論を見つけることに集中した。彼は 2 か月以内に問題を解決し、1928 年 1 月 2 日にその結果を発表した。^{[ 1 ]}

ディラックは論文の中で、変換理論の2つの原理に導かれた。1つ目は、方程式が特殊相対性理論の変換の下で不変であること、2つ目は、量子力学の変換理論の下で変換することである。^{[ 11 ] : 9}後者の原理は、方程式が時間微分に関して線形である必要があり、それによって確率論的な解釈が可能になることを要求した。彼の議論はクライン・ゴルドン方程式から始まる^{[ 16 ] : 32}

${\displaystyle \left[{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}\right]\phi (t,x)=-{\frac {\hbar ^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi (t,x),}$

波動関数を用いて粒子を記述する${\displaystyle \phi (t,x)}$。 ここ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}$は運動量の二乗です。${\displaystyle m}$は粒子の静止質量であり、${\displaystyle c}$は光速であり、${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数です。時間微分に関して線形な方程式を得るための単純な方法は、両辺の平方根を実質的に考慮することです。これにより、${\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}}$と${\displaystyle {\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}c^{2}}}}$しかし、このような平方根は、結果として得られる理論にとって数学的に問題があり、実現不可能である。^{[ 9 ]： 379}

ディラックの最初の洞察は線形化の概念だった。彼は何らかの変数を探した。$\displaystyle \alpha _{i}}$運動量と時空座標に依存しないもので、平方根を線形形式で書き直すことができるもの^{[ 9 ]： 379}

${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+(mc)^{2}}}=\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\alpha _{4}mc.}$

ディラックは、この演算子を二乗し、クライン・ゴルドン方程式に帰着するように要求することで、変数が次の条件を満たさなければならないことを発見した。${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=1}$そして${\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0}$もし${\displaystyle i\neq j}$ディラックは当初、$2×2$パウリ行列を候補として挙げたが、4つの要素のセットを見つけることは不可能であるため、これらは機能しないことを示した。$2×2$互いに反可換な行列。 ^{[ 8 ]： 687}彼の2番目の洞察は、代わりに4次元行列を考えることだった。その場合、方程式は4成分波動関数に作用することになる。${\displaystyle \psi =(\psi _{1},\psi _{2},\psi _{3},\psi _{4})}$. ^{[ 17 ] : 235}このような提案は、パウリ方程式における 2 成分波動関数へのパウリの元の一般化よりもはるかに大胆であった。^{[ 12 ] : 57}これは、パウリの場合、粒子の 2 つのスピン状態を符号化するという要求によって動機づけられていたためである。対照的に、ディラックは 4 成分波動関数に対する物理的な議論を持っておらず、代わりに数学的必要性としてそれを導入した。こうして彼はディラック方程式にたどり着いた^{[ 1 ] 。}

${\displaystyle (\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\alpha _{4}mc)\psi (t,x)=i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t,x).}$

ディラックは正しい行列を構築した$\displaystyle \alpha _{i}}$それらが1880年代初頭から知られている数学的構造、クリフォード代数を形成していることに気づかずに。^{[ 18 ]： 320}方程式をローレンツ不変形式に書き換えることで、特殊相対性理論と量子力学的変換理論の原理を正しく組み合わせ、電子の相対論的理論の有力な候補となることも示した。^{[ 8 ]： 685}

この方程式をさらに詳しく調べるため、彼は電磁場が存在する場合の挙動を調べた。^{[ 12 ] : 58}驚いたことに、この方程式はスピン1/2を持つ粒子に起因する磁気モーメントを持つ粒子を記述していることがわかった。スピンはディラックが手作業で追加することなく、方程式から直接現れた。さらに、彼はこの方程式が少なくとも一次の精度で水素原子の微細構造をうまく再現できることを示すことに注力した。したがって、この方程式は、既存の公式を場当たり的に修正するのではなく、第一原理から電子の相対論的現象を正しく記述するという、これまでのすべての試みが失敗したところで成功した。^{[ 12 ] : 60}

ディラックは、磁場が存在する場合の方程式からゼーマン効果とパッシェン・バック効果を導出した続編論文^{[ 19 ]}を除いて、自身の方程式の帰結を検証する作業を他人に任せ、1930年になってようやくこのテーマに戻ってきた。^{[ 12 ]： 65}方程式が発表されると、スピン、相対性理論、量子力学の問題に対する正しい解として認識された。当初、ディラック方程式は質量を持つ粒子に対する唯一有効な相対論的方程式と考えられていた。その後、1934年にパウリとヴィクトル・ヴァイスコフは、クライン・ゴルドン方程式を相対論的なスピンを持たない粒子の方程式として再解釈した。^{[ 8 ]： 685}

最初の計算の1つは、ゾンマーフェルトの微細構造の公式を正確に再現することであり、これは1928年にチャールズ・ゴルトン・ダーウィンとウォルター・ゴードンによって独立に行われた。 ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 9 ]： 377}これは、完全な公式が第一原理から導出された最初の例である。方程式の数学に関するさらなる研究は、1929年にヘルマン・ワイルによって行われた。 ^{[ 22 ]}この研究で彼は、質量のないディラック方程式が2つのワイル方程式に分解できることを示した。

ディラック方程式は、さまざまな散乱過程の研究にも使用されました。特に、光子と電子の散乱に着目したクライン・仁科の公式も1928年に導出されました。^{[ 23 ]}原子核などの重い標的からの電子の散乱であるモット散乱は、翌年に続きました。^{[ 24 ]}その後数年間で、 1932年のモラー散乱^{[ 25 ]}や1936年のババ散乱^{[ 26 ]}など、他の標準的な散乱過程を導出するためにも使用されました。

時が経つにつれてより注目を集めるようになった問題の一つは、ディラック方程式における負のエネルギー状態の存在であり、これはそのような状態を排除しようとする多くの試みにつながった。ディラックは当初、負のエネルギー状態を非物理的であるとして単純に否定したが^{[ 12 ] : 63}、1929年にオスカー・クラインが静的場において負のエネルギー状態と正のエネルギー状態が必然的に混ざり合うことを示したことで、この問題はより明確になった^{[ 9 ] : 378}。ディラックは当初、自身の方程式には何らかの欠陥があり、これはこの問題のない将来の理論の最初の近似に過ぎないと考えていた^{[ 9 ] : 378。}しかしその後、彼はディラックの海という形でこの問題の解決策を提案した。これは、宇宙が負のエネルギー電子状態の無限の海で満たされているという考え方である。正のエネルギー電子状態はこの海に存在し、パウリの排他原理によって負のエネルギー状態に崩壊することが阻止される^{[ 8 ] : 715}

さらに、ディラックはディラックの海に正電荷を持つ正孔が存在すると仮定し、当初はそれが陽子である可能性を示唆した。しかし、オッペンハイマーはこの場合安定な原子は存在し得ないことを示し^{[ 27 ]}、ワイルはさらに正孔は電子と同じ質量を持たなければならないことを示した^{[ 28 ]} 。オッペンハイマーとワイルの議論に納得したディラックは、1931年に論文を発表し、電子と同じ質量と反対の電荷を持ち、電子と接触すると互いに消滅する「反電子」と呼ばれる、まだ観測されていない粒子の存在を予測した。彼は、すべての粒子には反対の電荷を持つパートナーが存在する可能性があり、この概念は現在反物質と呼ばれている^{[ 29 ] [ 30 ] : 47}

1933年、カール・アンダーソンは、ディラックの反電子のすべての性質を持つ「正の電子」（現在では陽電子と呼ばれる）を発見した。 ^{[ 31 ] [ 9 ] : 378}ディラックの海は後に量子場理論に取って代わられたが、その概念的遺産は仮想粒子で満たされた動的真空の考え方として生き残った。^{[ 8 ] : 717} 1949年、エルンスト・シュトゥッケルベルクは、負のエネルギー解は固有時間で逆行する粒子として解釈できることを示唆し、リチャード・ファインマンはそれを詳細に示した。^{[ 32 ] : 61–63 [ 9 ] : 379 [ 33 ] [ 34 ]}ディラックの海の概念は、いくつかの凝縮系物質において、ある化学ポテンシャル以下の満たされた価電子の海からなるフェルミの海という形でより明確に実現されている。^{[ 35 ] : 534}

その後数十年にわたり、ディラック方程式の予測と分光学的差異との不一致を探る研究が精力的に行われたが、方程式では予測されないラムシフトが発見されたのは1947年のことであった。 ^{[ 8 ] : 710}この発見は1950年代の量子電磁力学の発展につながり、ディラック方程式は量子場理論の枠組みに組み込まれた。^{[ 36 ] : 35}ディラックスピノルのダイナミクスを記述するディラック方程式は、標準模型をはじめとする多くの物理学分野で基本的な役割を果たすようになった。例えば、凝縮系物理学では、フェルミオンがほぼ線形の分散関係を持つ系はディラック方程式で記述される。このような系はディラック物質として知られ、グラフェンやトポロジカル絶縁体などが含まれる。これらは21世紀初頭から主要な研究分野となっている。^{[ 35 ] : 522}

ディラック方程式は、ウェストミンスター寺院の床にある銘板に刻まれています。1995年11月13日に除幕されたこの銘板は、ディラックの生涯を記念するものです。^{[ 37 ]}また、自然単位系で表現されたこの方程式は、シチリア島エリチェにあるエットーレ・マヨラナ財団および科学文化センターのパトリック・MS・ブラケット研究所（旧サン・ドメニコ修道院）の「ポール・AM・ディラック」講堂の講堂にも大きく展示されています。

現代の場の理論的定式化では、3+1次元ミンコフスキー時空におけるディラック方程式はディラック場を用いて記述される。${\displaystyle \psi (x)}$これは、複素ベクトルを割り当てるフィールドです。${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$時空内の各点において、^{[ 18 ]： 136}ここで、場の重要な特性は、ローレンツ変換の下でディラックスピノルとして変換することである。^{[ 38 ]： 28}自然単位では、${\displaystyle \hbar =c=1}$ディラック方程式のローレンツ共変形式は[ 16 ^{]で与えられる： 168}

どこ${\displaystyle {{\partial }\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$は、4 段階の縮尺です。$\displaystyle \partial _{\mu }}$そしてガンマ行列${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$[^{注1 ]}これらはディラック代数^を生成する4つの行列のセットであり、 ^{[ 36 ]を}満たす必要がある^。40

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4},}$

どこ${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$は反交換子である。${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ミンコフスキー計量は主に負の符号を持ち、^{[ nb 2 ]}であり、${\displaystyle I_{4}}$は${\displaystyle 4\times 4}$単位行列。ディラック代数は、クリフォード代数として知られるより一般的な数学的構造の特殊な場合である。^{[ 16 ] : 169}ディラック代数は、時空代数の実部と見なすこともできる。ガンマ行列の行列には一意の選択はなく、異なる選択は代数の異なる表現として知られている。^{[ 32 ] : 323}ディラックによって最初に発見された一般的な選択の1つは、ディラック表現として知られている。ここで行列は次のように与えられる。 ^{[ 35 ] : 531}

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\qquad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},}$

どこ$\displaystyle \sigma _{i}}$は、次の3 つのパウリ行列です。${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$ガンマ行列には、他に2つの一般的な表現方法があります。1つ目はカイラル表現で、ディラック方程式をワイル方程式のペアに分解する際に役立ちます。^{[ 36 ] : 41} 2つ目はマヨラナ表現で、すべてのガンマ行列が虚数となるため、ディラック演算子は純粋に実数となります。^{[ 16 ] : 344}この表現は、ディラック方程式の純粋に実数の4成分スピノル解であるマヨラナスピノルを研究する際に役立ちます。^{[ 35 ] : 536}

ディラック方程式のエルミート共役を取り、それを$\displaystyle \gamma ^{0}}$右側から、随伴ディラック方程式が見つかります。これはディラック随伴の運動方程式です。${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$^{. [ 39 ]}で与えられます

$\displaystyle {\bar {\psi }}(x)(-i\gamma ^{\mu }{\overleftarrow {\partial }}_{\mu }-m)=0.}$

随伴スピノルはローレンツ不変量を形成するのに役立つ。例えば、双線形${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$ローレンツ不変ではないが、${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$です。^{[ 35 ]： 532}ここで$\displaystyle {\overleftarrow {\partial }}_{\mu }}$は、左側に作用する偏微分を表す略記法です。通常の表記では、随伴ディラック方程式は^{[ 36 ] : 43と等価です。}

$${\displaystyle -i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }-m{\bar {\psi }}(x)=0.}$$

ディラック方程式は、シュレーディンガー方程式と同様の非共変形式で書き直すことができる^{[ 8 ] : 686}

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t,{\boldsymbol {x}})=-i\hbar c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi (t,{\boldsymbol {x}})+\beta mc^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}}).}$$

式の右辺は、ディラックスピノルに作用するハミルトニアンである。${\displaystyle H\psi }$。 ここ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$そして${\displaystyle \beta }$4つのエルミート行列のセットです${\displaystyle 4\times 4}$互いに反可換で、単位行列に二乗される行列。これらは、次の関係式でガンマ行列と関連付けられる。${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta }$ そして$\displaystyle \gamma ^{i}=\beta \alpha _{i}}$[ ^{9 ] : 375}この形式は量子力学で有用であり、ハミルトニアンはポテンシャル^{[ 8 ] : 702}を導入したり、電磁場との最小限の結合^{[ 8 ] : 688を介して、}幅広い問題を解決するために容易に修正できる。

ディラック方程式は、場の理論のラグランジュ形式からも得られ、ディラック作用は^{[ 35 ] : 535}で与えられる。

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi .}$

この方程式は、随伴スピノルを変化させることによって得られる、この作用のオイラー・ラグランジュ方程式として現れる。${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$^{[ 36 ] : 43}一方、スピノルを変化させることで随伴ディラック方程式が得られる。${\displaystyle \psi (x)}$ディラック方程式の作用定式化は、作用を不変に保つため、ディラック方程式の対称性をより明確にするという利点がある。 ^{[ 16 ] : 166–168}ノーターの定理により、これらの対称性に対応する電流を直接計算することができる。^{[ 40 ] : 166}さらに、作用は通常、経路積分定式化などを通じて、関連する量子場理論を定義するために使用される。^{[ 16 ] : 251}

量子力学では、ディラックスピノル${\displaystyle \psi (x)}$ディラックフェルミオンの状態を記述する4成分スピノル波動関数に対応する。^{[ 8 ] : 685}その位置確率密度、空間領域でフェルミオンを見つける確率は、そのベクトル電流のゼロ成分によって記述される。${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$. ^{[ 8 ] : 689}多数の粒子の場合、電荷密度として解釈することもできます。^{[ 18 ] : 137}空間全体にわたる全確率が 1 に等しくなるように適切な正規化が必要であり、確率の保存はベクトル電流の保存から直接導かれます。ディラック方程式は、ディラックフェルミオン波動関数に対するシュレーディンガー方程式の相対論的類似物です。

量子場理論の第2量子化形式では、ディラックスピノルは演算子値スピノル場として量子化される。${\displaystyle {\hat {\psi }}(x)}$^{[ 41 ]}量子力学とは対照的に、これはもはやヒルベルト空間における状態を表すものではなく、むしろ粒子を生成または消滅させるために状態に作用する演算子である。^{[ 16 ] : 22 [ 42 ] : 92}観測量は、これらの演算子の期待値を用いて形成される。 ^{[ 43 ] : 41}ディラック方程式は、演算子値スピノル場の状態に依存しない発展を記述する演算子方程式となる。^{[ 44 ] : 35}

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}-m){\hat {\psi }}(x)=0.}$

量子場理論の経路積分定式化では、スピノル場${\displaystyle \psi (x)}$は、積分変数としてのみ作用する反交換的なグラスマン値場である。 ^{[ 38 ] : 29}ディラック方程式は、経路積分の古典的な鞍点挙動として現れる。また、古典的な場変数の期待値の方程式としても現れる。^{[ 44 ] : 35}

${\displaystyle \langle (i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi (x)\rangle =0,}$

シュウィンガー・ダイソン方程式の意味で。^{[ 16 ]： 80}この方程式のバージョンは、演算子方程式の期待値を取ることによっても得られます。

ディラック方程式は、古典場理論におけるスピノル場の時間発展を記述する際にも現れる。このような場理論は、特別な線形群を持つことになる。${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$空間対称群としてローレンツ群ではなく、その空間対称群として扱われるのは、後者がスピノル表現を許容しないからである。^{[ 40 ] : 117}これは、空間対称性がローレンツ群で記述されている場合でもスピノル表現を許容する量子論とは対照的である。これは、ヒルベルト空間の状態は複素位相までしか定義されないため、^{[ 45 ] : 81}粒子は正則表現ではなく射影表現に属し、ローレンツ群の射影表現は正則表現と等価である。${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$[ ^{16 ] : 176古典的なスピノル場は、}パウリの排他原理により、古典的な極限に達するのに十分な数の粒子で場を満たすことができないため、我々の宇宙では発生しない。^{[ 40 ] : 347}

ローレンツグループ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$[^{注3 ]}慣性座標系間の変換を記述する群^は、多くの異なる表現を許容する。^{[ 46 ] : 38}表現とは、あるベクトル空間（^{モジュールと}呼ばれることもある^）に対する群の作用を忠実に表現する特定の行列の選択であり、行列の次元は表現によって異なる場合がある。 ^{[ 47 ] : 54}例えば、ローレンツ群は次のように表現できる。${\displaystyle 4\times 4}$実数行列${\displaystyle \Lambda }$ベクトル空間に作用する${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$これは、ローレンツ変換がベクトルや時空に作用する方法に対応しています。^{[ 16 ] : 159}もう一つの関連する表現は、${\displaystyle 4\times 4}$複素ベクトル空間内のディラックスピノルに作用する複素行列${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$[ ^{48 ] : 24 より}小さな関連表現は^、${\displaystyle 2\times 2}$ワイルスピノルに作用する複素行列${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ベクトル空間。^{[ 49 ]： 209}

リー群の要素は、対応するリー代数を用いて生成できます。リー代数はリー括弧とともに、群多様体の単位元周りの接空間を記述します。 ^{[ 50 ] : 64}このベクトル空間の基底要素は、群の生成元として知られています。特定の群要素は、対応する接空間ベクトルを指数関数化することによって得られます。 [ 51 ^{] : 295ローレンツ・}リー代数の生成元は、リー括弧として知られる特定の反交換関係を満たさなければなりません。6つのベクトルは反対称オブジェクトにパッケージ化できます。${\displaystyle X^{\mu \nu }}$インデックス${\displaystyle \{\mu ,\nu \}}$ローレンツ代数の括弧は^{[ 36 ]で与えられている。39}

${\displaystyle [X^{\mu \nu },X^{\rho \sigma }]=i(\eta ^{\nu \rho }X^{\mu \sigma }-\eta ^{\mu \rho }X^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }X^{\nu \rho }-\eta ^{\nu \sigma }X^{\mu \rho }).}$

この代数は多数の表現を許容し、各生成元は行列で表され、各代数表現は群の対応する表現を生成する。 ^{[ 51 ] : 662}例えば、実ベクトルに作用する表現は、6つの行列で与えられる。${\displaystyle X^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }}$^[ 51 ^{] : 664​}

${\displaystyle \left(M^{\mu \nu }\right)^{\rho }{}_{\sigma }=i(\eta ^{\mu \rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\eta ^{\nu \rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }).}$

^{これらの生成子から指数関数[ 16 ]によってローレンツ変換行列を}取得できる^。169

${\displaystyle \Lambda =\exp \left({\tfrac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right),}$

どこ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$は、特定の群要素を指定するために使用されるローレンツ群の6つの自由度を符号化した反対称行列です。これらは、3つのブーストと3つの回転に対応します。^{[ 36 ]： 40}

ローレンツ代数の別の表現はスピノル表現であり^、生成子は^{[ 16 ]で与えられる。169}

${\displaystyle S^{\mu \nu }={\tfrac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }].}$

この場合、ローレンツ群要素は、${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$は、

${\displaystyle S[\Lambda ]=\exp \left({\tfrac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).}$

マッピング${\displaystyle \Lambda \mapsto S[\Lambda ]}$は 1 対 1 ではない。なぜなら、 には 2 つの一貫した選択肢があるからである。${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$同じものを与える${\displaystyle \Lambda }$しかし、異なる${\displaystyle S[\Lambda ]}$^{[ 50 ]： 45}これは、スピノル表現がローレンツ群の射影表現であることの結果である。${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$. ^{[ 45 ] : 81}同様に、それらは正規表現である${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$これはローレンツ群の二重カバーである。 ^{[ 40 ]： 106}

ローレンツ変換の下では、時空座標はベクトル表現の下で変換される。${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}$スピノルはスピノル表現の下で変換される

${\displaystyle \psi '(x')=S[\Lambda ]\psi (x).}$

ディラック方程式はローレンツ共変方程式であり、すべての慣性系において次の形式をとります。^{[ 48 ]： 5}つまり、スピノルの場合、次の形式をとります。${\displaystyle \psi (x)}$座標付き${\displaystyle x}$ローレンツ変換されたスピノルについても同様である。${\displaystyle \psi '(x')}$ローレンツ変換された座標において${\displaystyle x'=\Lambda x}$

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}'-m)\psi '(x')=0,}$

どこ${\displaystyle \partial _{\mu }'}$これは新しい座標の4次元勾配です${\displaystyle x'}$^{[注5 ]}一方、ディラック作用はローレンツ不変であり、すべての慣性系において同じである。${\displaystyle S'=S}$[ ^{16 ] : 166–168​}

ディラックの理論はグローバルな${\displaystyle {\text{U}}(1)}$スピノルの位相に作用する対称性^{[ 16 ]： 174}

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{i\alpha }\psi (x),\qquad {\bar {\psi }}(x)\rightarrow e^{-i\alpha }{\bar {\psi }}(x).}$

これには、ノーターの定理を用いて作用から導出できる対応する保存電流があり、 ^{[ 35 ] : 532}で与えられます。

${\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

この対称性は、その電流がローレンツ変換の下でベクトルとして変換されることから、ベクトル対称性として知られています。この対称性をゲージ対称性に拡張すると、量子電磁力学が生じます。

質量ゼロの極限では、ディラック方程式は2番目の非等価な式を持つ。${\displaystyle {\text{U}}(1)}$軸対称性として知られる対称性は、スピノルに次のように作用します^{[ 52 ] : 99}

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{i\beta \gamma ^{5}}\psi (x),\qquad {\bar {\psi }}(x)\rightarrow e^{i\beta \gamma ^{5}}{\bar {\psi }}(x),}$

どこ${\displaystyle \gamma _{5}}$はカイラル行列である。これは、質量ゼロの極限においてディラック方程式がワイル方程式のペアに帰着するためである。^{[ 16 ]： 168}これらのそれぞれは、${\displaystyle {\text{U}}(1)}$位相対称性。これらの2つの対称性は、両方のワイルスピノルが同じ位相で変換されるベクトル対称性と、位相の符号が反対になる軸対称性に分類できます。^{[ 16 ] : 621}軸対称性に対応する電流は次のように与えられます。 ^{[ 35 ] : 532}

${\displaystyle j_{5}^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi .}$

これは擬ベクトルとして変換され、パリティ変換の下で空間部分が奇数になることを意味します。^{[ 49 ] : 469}古典的には、軸対称性は適切に定式化されたゲージ理論を許容しますが、量子レベルでは、ゲージ化に対する障害となるカイラル異常があります。 ^{[ 16 ] : 616}

ディラック作用の時空対称性は、時空並進とローレンツ群の組み合わせであるポアンカレ群に対応する。 ^{[ 16 ] : 109} 4つの時空並進に対する不変性により、ディラック応力エネルギーテンソルは4つの電流として得られる。 ^{[ 52 ] : 98}

${\displaystyle T^{\mu \nu }=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\text{Dirac}},}$

ここで最後の項はディラック・ラグランジアンであり、シェル上では​​ゼロになる。一方、ローレンツ変換の下での不変性により、によって添え字付けられた電流のセットが得られる。${\displaystyle \rho }$そして${\displaystyle \sigma }$^{[ 52 ] : 99}より与えられた

${\displaystyle ({\mathcal {J}}^{\mu })^{\rho \sigma }=x^{\rho }T^{\mu \sigma }-x^{\sigma }T^{\mu \rho }+{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }S^{\rho \sigma }\psi ,}$

どこ${\displaystyle S^{\rho \sigma }}$これらはローレンツ・リー代数のスピノル表現生成子であり、ローレンツ変換の下でスピノルがどのように変換されるかを定義するために使用されます。

ディラック方程式に演算子を作用させる${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}+m)}$スピノルの各成分に対するクライン・ゴルドン方程式が生じる^{[ 53 ]： 93}

${\displaystyle (i{{\partial }\!\!\!/}+m)(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi (x)=\left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right)\psi (x)=0.}$

その結果、ディラック方程式の解は自動的にクライン・ゴルドン方程式の解にもなる。^{[ 40 ] : 349}したがって、その解は平面波の線形結合として表すことができる。^{[ 54 ] : 59}

ディラック方程式は正の周波数の平面波解を許容する^{[ 54 ]： 59}

${\displaystyle \psi (x)=u({\boldsymbol {p}})e^{ip_{\mu }x^{\mu }}}$

正のエネルギーは以下によって与えられる${\displaystyle p_{0}={\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}>0}$また、負の周波数解も許容するが、例外として同じ形式をとる。${\displaystyle p_{0}=-{\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}<0}$^{[ 16 ] : 188}これらの負の周波数解は、運動量の符号を反転させて正のエネルギーを持つように書き換える方が都合が良い。${\displaystyle p_{0}>0}$そして、次の形式をとる^{[ 36 ]： 48}

${\displaystyle \psi (x)=v({\boldsymbol {p}})e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}.}$

古典レベルでは、これらは古典的な波動方程式の正および負の周波数解であるが、量子論では、スピノル偏極を持つ粒子を生成する演算子に対応する。${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})}$またはスピノル偏極による反粒子の消滅${\displaystyle v({\boldsymbol {p}})}$[ ^{16 ] : 188}これらのスピノル偏極は両方とも運動量空間ディラック方程式^{を満たす[ 54 ] : 59}

${\displaystyle ({{p}\!\!\!/}+m)u({\boldsymbol {p}})=0,}$

${\displaystyle ({{p}\!\!\!/}-m)v({\boldsymbol {p}})=0.}$

これらは単純な行列方程式であるため、ガンマ行列の明示的な表現を選択すれば直接解くことができます。カイラル表現では、一般解は^{[ 16 ]で与えられます。190}

${\displaystyle u({\boldsymbol {p}})={{\sqrt {p\cdot \sigma }}\xi _{s} \choose {\sqrt {p\cdot {\bar {\sigma }}}}\xi _{s}},\qquad v({\boldsymbol {p}})={{\sqrt {p\cdot \sigma }}\eta _{s} \choose -{\sqrt {p\cdot {\bar {\sigma }}}}\eta _{s}},}$

どこ${\displaystyle \xi _{s}}$そして${\displaystyle \eta _{s}}$これらは任意の複素2ベクトルであり、粒子の2つのスピン自由度と反粒子の2つのスピン自由度を表す。^{[ 36 ] : 45}質量ゼロの極限では、これらのスピン状態は、質量ゼロのフェルミオンが持ちうる左巻きまたは右巻きのいずれかのヘリシティ状態に対応する。 ^{[ 16 ] : 190}

標準ディラック方程式はもともと${\displaystyle 3+1}$次元時空の場合、それは任意の次元と計量符号に直接一般化でき、同じ共変形式をとります。^{[ 55 ] : 51}重要な違いは、ガンマ行列を、それらの次元と計量符号に適したクリフォード代数のガンマ行列に変更する必要があり、ディラックスピノルのサイズはガンマ行列の次元に対応します。すべての次元がディラックスピノルを許容するため、ディラック方程式は常に存在しますが、これらのスピノルの特性と他のスピノル表現との関係は、次元によって大きく異なります。^{[ 38 ] : 59}その他の違いとしては、奇数次元ではカイラリティ行列が存在しないことが挙げられます。 ^{[ 35 ] : 534}

この方程式は、スピノル共変微分を導入することにより、平坦なミンコフスキー時空から曲がった時空に一般化することもできる^{[ 38 ] : 179}

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-{\tfrac {i}{4}}\left(\omega _{\alpha \beta }\right)_{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },}$

どこ${\displaystyle \omega _{\alpha \beta }}$は、テトラッド形式を用いて定義できるスピン接続である。曲がった時空におけるディラック方程式は、次の形式をとる^{[ 56 ]： 862}

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi (x)=0.}$

ディラック作用に自己相互作用項を加えると、非線形ディラック方程式が生じ、サーリングモデルのようにフェルミオン同士が相互作用することが可能になる。^{[ 57 ] : 81}フェルミオン間の相互作用は、電磁効果によっても導入できる。特に、ブライト方程式は、摂動論の1次まで電磁的に相互作用する多電子系を記述する。^{[ 58 ]} 2体ディラック方程式は、同様の多体方程式である。

ディラック方程式の幾何学的再定式化は、ディラック・ヘステネス方程式として知られています。 ^{[ 59 ]}この定式化では、ディラック方程式のすべての成分が明示的な幾何学的解釈を持ちます。関連するもう1つの幾何学的方程式は、ディラック・ケーラー方程式です。これは、任意の一般的な擬リーマン多様体上で定義でき、微分形式に作用するディラック方程式の幾何学的類似物です。^{[ 60 ]}平坦な多様体の場合、ディラック方程式の4つのコピーに還元されます。しかし、曲がった多様体ではこの分解が破綻し、方程式は根本的に異なります。^{[ 61 ]}この方程式は、格子場理論でスタッガードフェルミオンの連続極限を記述するために使用されます。

ディラック・スピノルは、反対のカイラリティを持つ一対のワイル・スピノルに分解できる。${\displaystyle \psi ^{T}=(\psi _{L},\psi _{R})}$[ ^{40 ]： 340}ローレンツ変換の下では、左巻きワイルスピノルとして変換される^。${\displaystyle \psi _{L}}$そしてもう一方を右巻きワイルスピノルとする${\displaystyle \psi _{R}}$ガンマ行列のカイラル表現では、ディラック方程式はワイルスピノルの方程式のペアに帰着する^{[ 54 ]： 57}

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}(x)=m\psi _{L}(x),}$

${\displaystyle i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}(x)=m\psi _{R}(x).}$

特に、質量ゼロの極限ではワイルスピノルは分離し、ディラック方程式は一対のワイル方程式と等価になる。^{[ 16 ]： 168}

この分解は、 Zitterbewegungの直感的な説明として提案されており、これらの質量のない成分は光速で伝播し、ヘリシティがスピンの運動方向への投影であるため反対方向に移動する。^{[ 62 ]}ここで、質量の役割は速度を光速より小さくすることではなく、これらの反転が発生する平均レートを制御することである。具体的には、反転はポアソン過程としてモデル化できる。^{[ 63 ]}

密接に関連する方程式としてマヨラナ方程式があり、これは形式的にはディラック方程式と同じ形をとるが、マヨラナスピノルに作用する。^{[ 16 ]： 193}これらは実数条件を満たすスピノルである。${\displaystyle \psi =C{\bar {\psi }}^{T}}$、 どこ${\displaystyle C}$は電荷共役演算子である。^{[ 38 ]： 56}高次元では、ディラック方程式は、その次元で発生する他のスピノル表現を記述する方程式と同様の関係を持つ。

非相対論的極限では、ディラック方程式はパウリ方程式に帰着し、^{[ 32 ] : 332}電磁気学と結合すると次の形式になる。

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\hat {\boldsymbol {p}}}-q{\boldsymbol {A}})\right)^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =0.}$

ここ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$はパウリ行列のベクトルであり、${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=-i\nabla }$は運動量演算子である。この式は電荷のフェルミオンを表す。${\displaystyle q}$磁気ベクトルポテンシャルを介して電磁場と結合している${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$そして電気スカラーポテンシャル${\displaystyle \phi }$[ ^{17 ] : 258フェルミオンは}2成分波動関数によって記述される${\displaystyle |\psi \rangle }$ここで、各成分は2つのスピン状態のうちの1つを表す。${\displaystyle |\psi \rangle =\psi _{+}|\uparrow \rangle +\psi _{-}|\downarrow \rangle }$[ ^{8 ] : 711​}

パウリ方程式は、量子力学において相対論的効果が無視できるがフェルミオンのスピンが重要な現象を記述するためによく用いられる。 ^{[ 8 ]： 711-715}また、ディラック方程式で記述されるフェルミオンの磁気回転比が正確にであることを示す形に書き換えることもできる。${\displaystyle g=2}$[ ^{54 ] : 74}量子電磁力学では、^この値を修正し、ゼロでない異常磁気モーメントを生み出す追加の量子補正が存在する。^{[ 8 ] : 712}

ディラック作用のベクトル対称性と軸対称性はどちらも大域対称性であり、時空のあらゆる場所で同じように作用する。^{[ 16 ] : 34}古典場理論では、ラグランジアンは常に大域対称性を局所対称性に高めるように変更することができ、局所対称性は時空の異なる場所で異なる作用をすることができる。^{[ 40 ] : 166–167}ベクトル対称性の場合、これはスピノル場の位相による大域的な変化に対応する。${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha }\psi }$ゲージングによって、位相が異なる点で異なる値をとることができる局所対称性の下で不変な作用が得られる。${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha (x)}\psi }$[ ^{54 ] : 70}古典場理論では対称性は常に測定可能であるが、完全量子理論では、アノマリーなどの様々な障害のために、必ずしも測定可能とは限らない^。アノマリーは、古典ラグランジアンが不変であるにもかかわらず、完全量子理論が局所対称性の下で不変ではないことを示している。^{[ 48 ] : 177}例えば、 1つのフェルミオンを持つ質量ゼロのディラック理論における軸対称性は、カイラル異常のために異常であり、測定することはできない。^{[ 36 ] : 661}

ベクトル対称性を局所対称性に高めるということは、元の作用が対称性の下で不変ではなくなることを意味する。${\displaystyle \partial _{\mu }\alpha (x)}$運動項から生じる項。^{[ 40 ]： 167}代わりに、新しい場${\displaystyle A_{\mu }(x)}$ゲージ場として知られるものを導入する必要がある。また、局所対称性の下で[36]のように変換^{する必要がある。78}

${\displaystyle A_{\mu }\rightarrow A_{\mu }+{\tfrac {1}{e}}\partial _{\mu }\alpha ,}$

どこ${\displaystyle e}$ディラック・スピノルのゲージ場への電荷の役割を果たす。ディラック作用は、微分項を新しいゲージ共変微分に置き換えることで、局所対称性の下で不変にすることができる^{[ 16 ] : 173}

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +ieA_{\mu }\psi .}$

ディラック作用は次の形式をとる^{[ 54 ]： 71}

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(i{{D}\!\!\!\!/}-m)\psi =\int d^{4}x\left[{\bar {\psi }}(i{{\partial }\!\!\!/}-m)\psi -ej^{\mu }A_{\mu }\right].}$

この結果は、ゲージ場を適切なグローバル対称性電流に結合させる項を導入することでグローバル対称性を測定できるという一般原理であるノーター手順によっても直接得ることができる。^{[ 40 ] : 161}さらに、ゲージ場の運動項を導入すると、量子電磁力学の作用が得られる。^{[ 36 ] : 78}

測定可能な対称性は、次のような理論を考慮することで大幅に拡張できます。${\displaystyle N}$同一のディラック・スピノール${\displaystyle \psi ^{a}}$新しいインデックスでラベル付けされています${\displaystyle a}$これらのスピノールはまとめて一つの物体の一部とみなすことができる。${\displaystyle \psi }$コンポーネント付き${\displaystyle \psi ^{i,a}}$どこ${\displaystyle i}$4つのスピン成分にラベルを付け、${\displaystyle a}$異なるスピノル。^{[ 16 ]： 491}この作用の最大のグローバル対称性は、ユニタリ群によって与えられる。${\displaystyle {\text{U}}(N)}$[ ^{36 ]： 490​}

連続するサブグループ${\displaystyle {\text{U}}(N)}$そうすれば測定できる。特に、すべての対称性を測定したい場合は${\displaystyle N}$コンポーネントの場合、測定される対称性は、${\displaystyle N}$スピノルに作用する次元ユニタリ表現。 ^{[ 49 ]： 420}つまり、すべての${\displaystyle g\in {\text{G}}\subseteq {\text{U}}(N)}$存在する${\displaystyle N\times N}$次元行列表現${\displaystyle \rho (g)}$そのため

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \rho (g)\psi (x)}$

グループの忠実な表現を形成する。最大の連続部分群を測定すると、${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$、基本表現または反基本表現においてスピノルが変換されることを要求する。^{[ 16 ]： 484 [注6 ]}ゲージ化は表現を時空非依存から時空依存へと高める。${\displaystyle \rho (g(x))}$[ ^{36 ]： 490}ゲージ場を導入する必要が^ある${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$、形式的には主束上の接続、^{[ 64 ]}は、ゲージ群の随伴表現に必然的に変換する。共変微分は次の形式をとる^{[ 40 ] : 223}

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +{\tilde {\rho }}(A_{\mu })\psi .}$

頻繁に測定される対称性の一つに、特殊ユニタリ群がある。${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$対称性。基本表現で変換するスピノルは^{[ 49 ]のように変換する： 416}

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow U(x)\psi (x),}$

どこ${\displaystyle U(x)}$は${\displaystyle N\times N}$特定の群要素に対応するユニタリ行列。ゲージ場は行列値ゲージ場である。${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$これは随伴表現では次のように変換される^{[ 16 ] : 492}

${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow U(x)A_{\mu }(x)U^{-1}(x)+{\frac {1}{g}}(\partial _{\mu }U(x))U^{-1}(x).}$

共変微分は次の形式をとる。

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +igA_{\mu }\psi .}$

ゲージ場の運動項も導入することで、量子色力学の作用が構築される^{[ 36 ]： 489}

${\displaystyle S_{\text{QCD}}=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+{\bar {\psi }}(i{{D}\!\!\!/}-m)\psi \right],}$

ここで、ゲージ場運動項において、ヤン・ミルズ場強度テンソルは次のように定義される。

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig[A_{\mu },A_{\nu }].}$

のケース${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$標準模型のクォークセクターの強い相互作用を記述しており、ゲージ場はグルーオンに対応し、ディラックスピノルはクォークに対応する。^{[ 65 ]： 54}${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$このケースは標準模型においても役割を果たし、電弱セクターを記述する。この場合のゲージ場はWボソンであり、ディラックスピノルはレプトンである。^{[ 16 ]： 592}