楕円関数

複素解析の数学の分野において、楕円関数は2 つの周期条件を満たす特別な種類の有理型関数です。楕円関数と呼ばれるのは、楕円積分から派生したためです。楕円積分は、楕円の弧の長さを計算するために初めて登場したため、楕円型と名付けられました。

重要な楕円関数には、ヤコビの楕円関数とワイエルシュトラス関数${\displaystyle \wp}$があります。

この理論のさらなる発展により、超楕円関数とモジュラー形式が生まれました。

有理型関数は、 2つの線形独立な複素数が存在し 、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$そして。${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} }$

したがって、楕円関数は 2 つの周期を持ち、二重周期関数となります。

が周期を持つ楕円関数である場合、次の式も成り立つ。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$

${\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}$

とのすべての線形結合に対して。 ${\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

アーベル群

${\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z } \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$

周期格子と呼ばれます。

およびによって生成される平行四辺形${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}$

は、行動の基本的な領域です。 ${\displaystyle \Lambda}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

幾何学的には、複素平面は平行四辺形で敷き詰められています。1つの基本領域で起こることはすべて、他のすべての基本領域で繰り返されます。そのため、楕円関数は商群を定義 域とする関数として見ることができます。この商群は楕円曲線と呼ばれ、反対側の辺が同一視される平行四辺形として視覚化でき、位相的にはトーラスです。^[1]${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

次の 3 つの定理は、リウヴィルの定理 (1847) として知られています。

正則楕円関数は定数である。^[2]

これはリウヴィルの定理の元の形であり、そこから導くことができます。^[3] 正則楕円関数は、そのすべての値をコンパクトな基本領域で取るため、有界です。したがって、リウヴィルの定理により定数になります。

あらゆる楕円関数には有限個の極があり、その留数の和はゼロである。^[4]${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

この定理は、基本領域内に 1 次極を 1 つだけ持つ、または 1 次零点を 1 つだけ持つ、ゼロに等しくない楕円関数は存在しないことを意味します。

非定数楕円関数は、重複度に応じてすべての値を同じ回数だけ取ります。^[5]${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

最も重要な楕円関数の一つはワイエルシュトラス関数である。与えられた周期格子に対して、ワイエルシュトラス関数は次のように定義される。 ${\displaystyle \wp}$${\displaystyle \Lambda}$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

これは、すべての格子点に 2 次極を持つように構成されています。この項は、級数を収束させるためにあります。 ${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

${\displaystyle \wp}$は偶楕円関数である。つまり、 である。^[6]${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$

その派生語

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$

は奇関数である、すなわち^[6]${\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z)。}$

楕円関数の理論の主な結果の一つは次の通りである：与えられた周期格子に関するすべての楕円関数は、およびに関して有理関数として表すことができる。^[7]${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \wp}$${\displaystyle \wp '}$

-関数は微分方程式を満たす${\displaystyle \wp}$

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

ここで、およびはに依存する定数です。より正確には、および であり、ここで、およびはアイゼンシュタイン級数と呼ばれます。^[8]${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle G_{4}}$${\displaystyle G_{6}}$

代数言語では、楕円関数の体は次の体と同型である。

${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})}$、

ここで同型はに、に写像されます。${\displaystyle \wp }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle Y}$

• 
  周期格子を持つワイエルシュトラス関数${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z} }$
• 
  -関数の微分${\displaystyle \wp }$

楕円積分との関係は、主に歴史的な背景を持っています。楕円積分はルジャンドルによって研究され、その研究はニールス・ヘンリク・アーベルとカール・グスタフ・ヤコビによって引き継がれました。

アベルは楕円積分関数の 逆関数をとることで楕円関数を発見した。${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$

と。^[9]${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$

さらに彼は関数を定義した^[10]

${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$

そして

${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$。

複素平面への延長後、それらは二重周期であることが判明し、アーベル楕円関数として知られています。

ヤコビの楕円関数も同様に楕円積分の逆関数として得られます。

ヤコビは積分関数を考えた

${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$

そしてそれを反転しました。はsinus amplitudinisを表し、新しい関数の名前です。^{[11]次に彼は}cosinus amplitudinis とdelta amplitudinisという関数を導入しました。これらは次のように定義されます。 ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi )}$${\displaystyle \operatorname {sn} }$

${\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}$。

このステップを踏むことによってのみ、ヤコビは1827年に楕円積分の一般的な変換公式を証明することができた。^[12]

微積分学の発展の直後、イタリアの数学者ジュリオ・ディ・ファニャーノとスイスの数学者レオンハルト・オイラーによって楕円関数の理論が提唱された。彼らがレムニスケートの弧の長さを計算しようとしたとき、3次と4次の多項式の平方根を含む積分の問題に遭遇した。 ^[13]いわゆる楕円積分は初等関数では解けないことは明らかだった。ファニャーノは楕円積分間の代数的関係を観察し、1750年にそれを発表した。^[13]オイラーはすぐにファニャーノの結果を一般化し、楕円積分に対する代数的加法定理を提示した。^[13]

ランデンのコメント^[14]を除いて、彼のアイデアは1786年にルジャンドルが論文「楕円弧の積分に関するメモ」^[15]を発表するまで追求されることはなかった。ルジャンドルはその後楕円積分を研究し、それを楕円関数と呼んだ。ルジャンドルは3つの分類（3種類）を導入し、当時のかなり複雑な理論を非常に簡単にした。ルジャンドルの他の重要な著作には、「楕円超越関数に関するメモ」（1792年）、^[16] 「積分演習」（1811年 - 1817年）、^[17] 「楕円関数論」 （1825年 - 1832年）がある。^[18]ルジャンドルの著作は1826年まで数学者によってほとんど手つかずのまま残されていた。

その後、ニールス・ヘンリク・アーベルとカール・グスタフ・ヤコビが研究を再開し、すぐに新しい結果を発見した。彼らはまず、楕円積分関数を反転させた。1829年のヤコビの提案に従って、これらの逆関数は現在、楕円関数と呼ばれている。ヤコビの最も重要な著作の1つは、1829年に出版された「楕円関数の基礎新理論」である。 ^[19]オイラーが発見した加法定理は、1829年にアーベルによってその一般的な形で提示され、証明された。当時、楕円関数の理論と二重周期関数の理論は異なる理論であると考えられていた。これらは1856年にブリオとブーケによって統合された。 ^[20] ガウスは30年前に楕円関数の多くの特性を発見したが、この主題に関するものを出版することはなかった。^[21]

• 楕円積分
• 楕円曲線
• モジュラーグループ
• シータ関数

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステグン、アイリーン・アン編 (1983) [1964 年 6 月]。「第 16 章」。数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック。応用数学シリーズ。第 55 巻 (第 10 刷の訂正を加えた第 9 刷 (1972 年 12 月)、初版)。ワシントン DC、ニューヨーク: 米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。567、627 ページ。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN 64-60036。MR 0167642。LCCN  65-12253 。 ​ ​ 第 18 章も参照してください (実数不変量のケースのみを考慮します)。
• NI Akhiezer著『楕円関数理論の要素』(1970年) モスクワ、英訳『AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79』(1990年) AMS、ロードアイランドISBN 0-8218-4532-2 
• Tom M. Apostol、『Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory』、 Springer-Verlag、ニューヨーク、1976 年。ISBN 0-387-97127-0 (第 1 章を参照) 
• ET ウィテカーとGN ワトソン著『現代分析の講義』ケンブリッジ大学出版局、1952年

ウィキメディア・コモンズには、楕円関数に関連するメディアがあります。

• 「楕円関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• MAA、楕円関数に関するアベルの論文の翻訳。
• YouTubeの楕円関数と楕円積分、ウィリアム A. シュワルムによる講義 (4 時間)
• Johansson, Fredrik (2018). 「楕円関数、楕円積分、モジュラー形式の数値評価」. arXiv : 1806.06725 [cs.NA].