ファインマンスラッシュ記法

量子場理論におけるディラック場の研究において、リチャード・ファインマンは便利なファインマンスラッシュ記法（ディラックスラッシュ記法としてはあまり知られていない^{[1] ）を発明した。A}が共変ベクトル（すなわち1形式）である場合、

${\displaystyle {A\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{0}A_{0}+\gamma ^{1}A_{1} +\ガンマ ^{2}A_{2}+\ガンマ ^{3}A_{3}}$

ここでγはガンマ行列である。アインシュタインの和の記法を用いると、この式は単純に

${\displaystyle {A\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }A_{\mu }}$。

ガンマ行列の反交換子を用いると、任意のおよびに対して、 ${\displaystyle a_{\mu}}$${\displaystyle b_{\mu}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{a\!\!\!/a\!\!\!/=a^{\mu }a_{\mu }\cdot I_{4}=a^{2}\cdot I_{4}\\{a\!\!\!/b\!\!\!/+{b\!\!\!/a\!\!/!/=2a\cdot b\cdot I_{4}.\end{aligned}}}$

ここで4 次元の単位行列です。 ${\displaystyle I_{4}}$

特に、

${\displaystyle {\partial \!\!\!/^{2}=\partial ^{2}\cdot I_{4}.}$

ガンマ行列の恒等式から計量テンソルを内積に置き換えることで、さらに恒等式を直接読み取ることができます。たとえば、

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=-2{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=4a\cdot b\cdot I_{4}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=2({d\!\!\!/}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}+{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}{d\!\!\!/})\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&=4a\cdot b\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{\gamma ^{\mu }}{b\!\!\!/}{\gamma ^{\nu }})&=4\left[a^{\mu }b^{\nu }+a^{\nu }b^{\mu }-\eta ^{\mu \nu }(a\cdot b)\right]\\\operatorname {tr} (\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&=4i\varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }\\\operatorname {tr} ({\gamma ^{\mu }}{a\!\!\!/}{\gamma ^{\nu }})&=0\\\operatorname {tr} ({\gamma ^{5}}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&=0\\\operatorname {tr} ({\gamma ^{0}}({a\!\!\!/}+m){\gamma ^{0}}({b\!\!\!/}+m))&=8a^{0}b^{0}-4(a.b)+4m^{2}\\\operatorname {tr} (({a\!\!\!/}+m){\gamma ^{\mu }}({b\!\!\!/}+m){\gamma ^{\nu }})&=4\left[a^{\mu }b^{\nu }+a^{\nu }b^{\mu }-\eta ^{\mu \nu }((a\cdot b)-m^{2})\right]\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}_{1}...{a\!\!\!/}_{2n})&=\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}_{2n}...{a\!\!\!/}_{1})\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}_{1}...{a\!\!\!/}_{2n+1})&=0\end{aligned}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }}$レヴィ＝チヴィタのシンボル
• ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ミンコフスキー計量
• ${\displaystyle m}$スカラーです。

このセクションでは、 (+ − − −) 計量シグネチャを使用します。ディラック方程式を使用して断面積を解く場合、4 元運動量で使用されるスラッシュ表記がよく使用されます。ガンマ行列のディラック基底を使用すると、

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,}$

自然単位における反変四元運動量の定義と同様に、

${\displaystyle p^{\mu }=\left(E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)\,}$

私たちは明確に

${\displaystyle {\begin{aligned}{p\!\!/}&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p^{0}-\gamma ^{i}p^{i}\\&={\begin{bmatrix}p^{0}&0\\0&-p^{0}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p^{i}\\-\sigma ^{i}p^{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

同様の結果は、ワイル基底などの他の基底でも当てはまります。

• ワイル基底
• ガンマ行列
• 4ベクトル
• Sマトリックス