無次元量

無次元量、または次元が1の量^[1]は、測定単位に集約できないような方法で暗黙的に定義された量です。^{[2] [3]}通常、別のシステムと一致する比率として表現されるこれらの量は、明示的に定義された単位を必要としません。たとえば、アルコール度数（ABV）は体積比を表します。その値は、ミリリットルあたりミリリットル（mL/mL）などの使用される特定の体積単位とは無関係です。

数字の1は無次元の基本量として認識されています。^[4] ラジアンは角度測定の無次元単位として使用され、円の半径の2π倍がその円周に等しいという普遍比から派生しています。 ^[5]

無次元量は、さまざまな技術分野の微分方程式のパラメータとして重要な役割を果たします。微積分学では、極限や導関数における単位のない比などの概念に、無次元量が関係することがよくあります。微分幾何学では、幾何学的な関係や変換に無次元パラメータが使用されています。物理学では、流体力学のレイノルズ数、^{[6] 、}量子力学の微細構造定数、^[7]、相対性理論のローレンツ因子^[8]などの無次元数に依存しています。化学では、モル分率や濃度比などの状態特性や比率は無次元です。^[9]

次元が 1 である量、つまり無次元量は科学で頻繁に登場し、次元解析の分野で正式に扱われる。19 世紀には、フランスの数学者ジョセフ・フーリエとスコットランドの物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルが、次元と単位の現代的な概念に大きな発展をもたらした。その後、イギリスの物理学者オズボーン・レイノルズとレイリー卿による研究が、物理学における無次元数の理解に貢献した。レイリーの次元解析法を基に、エドガー・バッキンガムはπ定理を証明し(フランスの数学者ジョセフ・ベルトランの以前の研究とは独立して)、これらの量の性質を形式化した。^[10]

1900 年代初頭、特に流体力学と熱伝達の分野で、多数の無次元数、主に比率が造られました。比率の対数を(派生) 単位デシベル(dB) のレベルとして測定することは、今日では広く使用されています。

物理的次元に関する混乱を減らすためにSIシステムを「修正」する提案が定期的に行われてきました。たとえば、2017年のネイチャー誌の論説^{[ 11]では、}ラジアンを物理的単位として公式化することを主張しました。この考えは、そのような変更は、ストローハル数のような確立された無次元グループと、トルク（ベクトル積）とエネルギー（スカラー積）のように、たまたま同じ単位を持つ数学的に異なる実体の両方に矛盾を引き起こすという理由で反論されました[12 ]。2000年代初頭の別の例では、国際度量衡委員会は1の単位を「uno」と命名することを議論しましたが、1に新しいSI名を導入するという考えは却下されました。^{[13] [14] [15]}

バッキンガムのπ定理^[16]は、物理法則の妥当性は特定の単位系に依存しないことを示しています。この定理のステートメントは、あらゆる物理法則は、法則によって結び付けられた変数の無次元の組み合わせ（比率または積）のみを含む恒等式として表現できるというものです（たとえば、圧力と体積はボイルの法則によって結び付けられており、それらは反比例します）。無次元の組み合わせの値が単位系によって変化すると、方程式は恒等式ではなくなり、バッキンガムの定理は成立しなくなります。

この定理のもう一つの結果は、ある数（たとえばn）の変数間の関数従属性は、それらの変数に生じる独立次元の数（たとえばk）だけ減らすことができ、 p = n − kの独立した無次元量の集合を与えられるということです。実験者の目的においては、無次元量による同じ記述を共有する異なるシステムは同等です。

整数は無次元量を表すことができる。また、離散量を表すこともでき、離散量も無次元になり得る。より具体的には、数え数は可算量を表すために使用できる。^{[17] [18]この概念は}、ISO 80000-1では数量実体数（記号N） として形式化されている。^{[19]例としては、}粒子の数や個体群サイズなど がある。数学では、集合内の「要素の数」は基数と呼ばれる。可算名詞は関連する言語学の概念である。ビット数などの数え数は、周波数の単位（逆秒）と組み合わせることで、ビット/秒などのカウントレートの単位を導き出すことができる。 カウントデータは統計学における関連する概念である。この概念は、非整数が完全な項目の小数、たとえば半分に等しい 回転数を説明できるようにすることで一般化できる。

無次元量は、無次元ではないが数学的演算で次元が打ち消される量の比として得ることができる。 ^{[19] [20]}次元1の商の例には、傾きやいくつかの単位変換係数の計算が含まれる。別の例としては、質量分率またはモル分率があり、多くの場合、 ppm (= 10 ⁻⁶ )、 ppb (= 10 ⁻⁹ )、 ppt (= 10 ^{−12 )など}の部数表記法を使用して記述されるか、またはおそらく紛らわしいが、2つの同一単位の比 ( kg /kg またはmol /mol ) として記述される。たとえば、アルコール飲料中のエタノールの濃度を特徴付けるアルコール体積は、 mL / 100 mLと記述される。

その他の一般的な比率は、パーセンテージ%  (= 0.01)、   ‰ (= 0.001) です。回転、ラジアン、ステラジアン などの角度単位は、同じ種類の量の比率として定義されます。統計学では、変動係数は標準偏差と平均の比率であり、データの分散を測定するために使用されます。

分子と分母の次元が等しい比Q = A / Bとして定義される量は、実際には単位のない量にすぎず、 dim Q = dim A × dim B ⁻¹として定義される物理的次元を持つと主張されてきました。^[21] たとえば、水分含有量は、体積の比（体積水分、m ³ ⋅m ⁻³、次元 L ³ ⋅L ⁻³）または質量の比（重量水分、単位 kg⋅kg ⁻¹、次元 M⋅M ⁻¹）として定義できます。どちらも単位のない量ですが、次元が異なります。

真空中の光速、万有引力定数、プランク定数、クーロン定数、ボルツマン定数など、普遍的な次元を持つ特定の物理定数は、時間、長さ、質量、電荷、温度に適切な単位を選択すると、1に正規化できます。結果として得られる単位系は自然単位と呼ばれ、特にこれら5つの定数に関してはプランク単位と呼ばれます。ただし、すべての物理定数をこのように正規化できるわけではありません。たとえば、次の定数の値は単位系とは独立しており、定義できず、実験によってのみ決定できます。^[22]

• 工学的ひずみは、長さの変化を初期の長さで割ったものとして定義される物理的変形の尺度です。

• 微細構造定数α≈1 / 137は電子間の電磁相互作用の大きさを特徴づけます。
• β (またはμ ) ≈ 1836、陽子と電子の質量比。この比は陽子の静止質量を電子の静止質量で割ったものです。任意の素粒子に対して同様の比を定義できます。
• 強い力の結合強度α _s ≈ 1;
• 任意の素粒子の質量のプランク質量比。${\textstyle {\sqrt {\hbar c/G}}}$

• ローレンツ因子^[23] – 特殊相対性理論において、時間の遅れ、長さの収縮、異なる速度で移動する観測者間の相対論的効果を表すために使用されるパラメータ
• フレネル数– 距離に対する波数（空間周波数）
• マッハ数– 流体中の音速に対する物体または流れの速度の比。

• ベータ（プラズマ物理学） - プラズマ圧力と磁気圧力の比。磁気圏物理学や核融合プラズマ物理学で使用されます。
• ダムケーラー数(Da) – 化学工学において、化学反応の時間スケール (反応速度) とシステム内で発生する輸送現象の速度を関連付けるために使用されます。
• ティール係数– 質量移動の制限がない多孔質触媒ペレット内の拡散と反応速度の関係を表します。
• 開口数- システムが光を受け取ったり放出したりできる角度の範囲を特徴付けます。
• シャーウッド数(質量移動ヌッセルト数とも呼ばれる) は、質量移動操作で使用される無次元数です。これは、対流質量移動と拡散質量輸送の速度の比率を表します。
• シュミット数– 運動量拡散率（動粘性）と質量拡散率の比として定義され、運動量拡散対流プロセスと質量拡散対流プロセスが同時に発生する流体の流れを特徴付けるために使用されます。
• レイノルズ数は流体力学において、流体と流れの両方の特性を組み込んで流れを特徴付けるために一般的に使用されます。これは慣性力と粘性力の比として解釈され、流れの状態を示すだけでなく、パイプ内の流れに適用した場合の摩擦熱と相関関係を示すことができます。^[24]
• ズコスキー数（Zukoski number）は、火災の熱放出率と火災内を循環するガス流量のエンタルピーの比である。事故や自然火災は通常 である。森林火災のような平らに広がる火災は である。圧力容器やパイプから発生し、圧力によって勢いが加わった火災は である。^[25]${\displaystyle Q^{*}}$${\displaystyle Q^{*}\approx 1}$${\displaystyle Q^{*}<1}$${\displaystyle Q^{*}\gg 1}$
• エッカート数
• ビオ数
• グラスホフ数

• 相対密度–水に対する密度
• 相対原子質量、標準原子量
• 平衡定数（無次元の場合もある）

• 輸送コストとは、ある場所から別の場所へ移動する際の効率である。
• 弾力性とは、ある経済変数が他の経済変数の変化に応じてどの程度比例して変化するかを測定するものである。
• 基本再生産数は、疫学において感染の伝染性を定量化するために用いられる無次元の比率です。

• 無次元量のリスト
• 任意の単位
• 次元解析
• 正規化（統計）と標準化モーメント、統計における類似の概念
• 桁数（数字）
• 類似性（モデル）

• Flater, David (2017 年 10 月) [2017-05-20, 2017-03-23, 2016-11-22]。米国メリーランド州ゲイサーズバーグの国立標準技術研究所で執筆。「SI での無次元量の取り扱いに関する苦情処理」。計測。109 。ロンドン 、英国: Elsevier Ltd .: 105–110。Bibcode :2017Meas..109..105F。doi : 10.1016 / j.measurement.2017.05.043。eISSN 1873-412X。ISSN  0263-2241。PMC  7727271。PMID 33311828。NIHMS1633436。 [1] (15ページ)

• ウィキメディア・コモンズの無次元数に関連するメディア