周囲

周囲長とは、二次元図形または一次元線を囲む、または輪郭を描く閉じた境界線の長さのことです。円や楕円の周囲長は、円周と呼ばれます。

周囲長を計算することには、いくつかの実用的な用途があります。計算された周囲長とは、庭や菜園を囲むのに必要なフェンスの長さのことです。車輪や円の周囲長（円周）は、1回転でどれだけ転がるかを表します。同様に、スプールに巻き付けられた紐の量は、スプールの周囲長と関係があります。紐の長さが正確であれば、それは周囲長と等しくなります。

周囲長とは、図形の周囲の長さのことです。より一般的な図形の周囲長は、任意のパスと同様に計算できます。${\textstyle \int _{0}^{L}\mathrm {d} s}$、 どこ${\displaystyle L}$は経路の長さであり、${\displaystyle ds}$これは微小線要素です。実際に計算するには、これら両方を代数形式に置き換える必要があります。周囲長が閉じた区分的に滑らかな平面曲線として与えられている場合${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2} }

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

するとその長さ${\displaystyle L}$以下のように計算できます。

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

周囲長の一般化された概念には、体積を境界付ける超曲面が含まれます。${\displaystyle n}$-次元ユークリッド空間は、カチョッポリ集合の理論によって記述されます。

多角形は、最も単純な形状であるだけでなく、多くの形状の周囲長が、それらの形状に近づく一連の多角形で近似することによって計算されるため、周囲長を決定する上で基本となる。この種の推論を使用したことが知られている最初の数学者はアルキメデスであり、彼は正多角形で円を囲むことによって円の周囲長を近似した。^{[ 1 ]}

多角形の周長は、その辺（エッジ）の長さの合計に等しい。特に、幅が の長方形の周長は、${\displaystyle w}$長さ${\displaystyle \ell }$等しい${\displaystyle 2w+2\ell .}$

正多角形とは、すべての辺の長さが等しい多角形のことです（例えば、ひし形は4辺の正多角形です）。正多角形の周長を計算するには、辺の共通の長さに辺の数を掛けます。

正多角形は、辺の数と外接半径、つまり中心と各頂点間の一定の距離によって特徴付けられます。辺の長さは三角法を用いて計算できます。Rが正多角形の半径、n が辺の数である場合、その周長は

$\displaystyle 2nR\sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right).}$

三角形の分割線とは、頂点から対辺に引いた線分（チェビアン）で、周長を2つの等しい長さに分割する線分のことです。この共通の長さを三角形の半周長と呼びます。三角形の3つの分割線はすべて、三角形のナーゲル点で交わります。

三角形の分割線とは、三角形の辺の中点から反対側の辺まで引いた線分で、その辺の長さを2等分するものです。三角形の3つの分割線はすべて、三角形の中心（スピーカーセンター）で交わります。

円周（円周とも呼ばれる）は、直径と半径に比例する。つまり、円周を P、直径を D とすると、ある定数pi 、 π （ギリシャ語で周長を意味するp）が存在し、

${\displaystyle P=\pi \cdot {D}.\!}$

円の半径rに関して、この式は次のようになります。

${\displaystyle P=2\pi \cdot r.}$

円周を計算するには、半径または直径と円周率πを知っていれば十分です。問題は、πが有理数ではない（2つの整数の商として表せない）こと、また代数的数ではない（有理係数を持つ多項式の根ではない）ことです。そのため、計算においてはπの正確な近似値を得ることが重要になります。πの桁の計算は、数学解析、アルゴリズム、コンピュータサイエンスなど、多くの分野で重要です。

この形状を切り取る回数が増えるほど、面積は小さくなり、周囲長は大きくなる。凸包の形状は変わらない。

ヌフ＝ブリザック要塞の周囲は複雑である。その周囲を最短で回る経路は、凸包に沿った経路である。

周囲長と面積は、幾何学的図形の2つの主要な尺度です。これらを混同したり、一方が大きいほどもう一方も大きくなると思い込んだりするのはよくある間違いです。実際、図形を拡大（または縮小）すると、周囲長だけでなく面積も増加（または減少）するということはよく知られています。たとえば、1/ 10,000スケールの地図上に畑を描くと、実際の畑の周囲長は、描画された周囲長に10,000を掛けることで計算できます。実際の面積は、地図上の図形の面積の10,000 ²倍です。しかし、通常の図形の面積と周囲長の間には関係がありません。たとえば、幅0.001、長さ1000の長方形の周囲長は2000をわずかに上回りますが、幅0.5、長さ2の長方形の周囲長は5です。どちらの面積も1です。

プロクロス（5世紀）は、ギリシャの農民が畑の周囲の長さを基準に「公平に」畑を分けていたと報告している。^{[ 2 ]}しかし、畑の収穫量は面積に比例し、周囲の長さには比例しないため、多くの無知な農民は周囲が長く面積が小さい畑（つまり収穫量が少ない畑）を手に入れた可能性がある。

図形から一部を取り除くと、面積は減少しますが、周囲の長さは変化しない場合があります。図形の凸包は、その周囲にゴムバンドを張ったときにできる形状として視覚化できます。^{[ 3 ]}左側のアニメーション画像では、すべての図形が同じ凸包を持っています。大きな最初の六角形です。

等周問題とは、与えられた周長を持つ図形の中で、面積が最大となる図形を求める問題です。その答えは直感的で、円です。特に、この原理は、スープの表面に浮かぶ油滴が円形になる理由を説明するのに役立ちます。

この問題は単純に見えるかもしれませんが、その数学的な証明には高度な定理が必要です。等周問題は、使用する図形の種類を制限することで簡略化されることがあります。特に、与えられた周長を持つ同じ形状の図形の中で、面積が最大となる四角形、三角形、またはその他の特定の図形を見つけるためです。四角形の等周問題の解は正方形であり、三角形問題の解は正三角形です。一般に、面積が最大で周長が与えられたn辺の多角形は正多角形であり、これは同じ辺の数の不規則な多角形よりも円に近い形です。

この言葉は、ギリシャ語のπερίμετρος perimetrosに由来し、περί peri「周囲」と μέτρον metron「測定」から来ています。

• ワイススタイン、エリック W. 「周長」 . MathWorld .