声明 この方程式は通常次のように表されます。 ∂ ϕ （ r 、 t ） ∂ t = ∇ ⋅ [ D （ ϕ 、 r ） ∇ ϕ （ r 、 t ） ] 、 {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},} ϕ ( r , t )r t における拡散物質の密度 であり、D ( ϕ , r ) は位置r ϕ の集団拡散係数 です。また、∇ は ベクトル微分演算子 del を表します。拡散係数が密度に依存する場合、この方程式は非線形であり、そうでない場合は線形です。
上記の式は拡散係数が等方性 の場合に適用されます。異方性拡散の場合、D は対称正定値行列 であり、式は（3次元拡散の場合）次のように記述されます。 ∂ ϕ （ r 、 t ） ∂ t = ∑ 私 = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x 私 [ D 私 j （ ϕ 、 r ） ∂ ϕ （ r 、 t ） ∂ x j ] {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]} [ 1 ]
D が定数の場合、この方程式は次の線形放物型偏微分方程式 に簡略化されます。
∂ ϕ （ r 、 t ） ∂ t = D ∇ 2 ϕ （ r 、 t ） 、 {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),} これは熱方程式 と同一である。
導出 拡散方程式は連続の式 から容易に導き出すことができ、連続の式は、システムのどの部分においても密度の変化は、その部分への物質の流入と流出によるものであることを示している。実際には、物質は生成も消滅もされない。 ∂ ϕ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,} j は拡散物質のフラックスである。拡散方程式は、現象論的なフィックの第一法則 （システムのどの部分においても拡散物質のフラックスは局所的な密度勾配に比例する）と組み合わせることで容易に得られる。 j = − D （ ϕ 、 r ） ∇ ϕ （ r 、 t ） 。 {\displaystyle \mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).}
ドリフトを考慮に入れる必要がある場合、フォッカー・プランク方程式は 適切な一般化を提供する。
離散化 拡散方程式は空間と時間の両方で連続です。応用上、空間、時間、または空間と時間の両方を離散化することができます。時間のみを離散化することは、連続システムの時間スライスを取ることに相当するだけであり、新しい現象は発生しません。空間のみを離散化する場合、グリーン関数は連続 ガウス カーネルではなく、離散ガウスカーネル になります。時間と空間の両方を離散化する場合、ランダムウォーク が得られます。
画像処理における離散化 標準的な離散化スキームでは、異方性テンソル拡散方程式を書き換えるために積の法則 が用いられます。これは、拡散方程式を一次の空間中心差分のみで直接離散化すると、市松模様状のアーティファクトが生じるためです。画像フィルタリングで使用される書き換えられた拡散方程式は次のとおりです。 ∂ ϕ （ r 、 t ） ∂ t = ∇ ⋅ [ D （ ϕ 、 r ） ] ∇ ϕ （ r 、 t ） + t r [ D （ ϕ 、 r ） （ ∇ ∇ T ϕ （ r 、 t ） ） ] {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{\text{T}}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}} テンソルの トレース を表し、上付き文字「T」は転置 を表します。ここで、画像フィルタリングでは、D ( ϕ , r ) は画像構造テンソルの 固有ベクトル から構成される対称行列です。空間微分は、2つの1次および1つの2次中心有限差分 によって近似できます。結果として得られる拡散アルゴリズムは、2Dでは3×3、3Dでは3×3×3のサイズの可変カーネル（ステンシル）を使用した画像畳み込みとして記述できます。
参考文献 ↑ Barna, IF; Mátyás, L. (2022). "Advanced Analytic Self-Similar Solutions of Regular and Irregular Diffusion Equations" . Mathematics . 10 (18): 3281. arXiv : 2204.04895 . doi : 10.3390/math10183281 . ↑ アドルフ、フィック (1855)。 「ウーバー拡散」 。 物理学と化学のアナレン 。 170 (1): 59–86 。 ビブコード : 1855AnP...170...59F 。 土井 ： 10.1002/andp.18551700105 。 ISSN 0003-3804 。
さらに読む Mehrer, H.; Stolwijk, A (2009). "拡散の歴史における英雄とハイライト" . Diffusion Fundamentals . 11 : 1– 32. doi : 10.62721/diffusion-fundamentals.11.453 . Carslaw, HS および Jaeger, JC (1959).固体における熱伝導 オックスフォード：クラレンドン・プレス Jacobs, MH (1935).拡散過程 ベルリン/ハイデルベルク: Springer クランク、J. (1956).拡散の数学 オックスフォード：クラレンドン・プレス マシューズ、ジョン；ウォーカー、ロバート L. (1970).物理学の数学的方法 （第 2 版）、ニューヨーク：WA ベンジャミン、ISBN 0-8053-7002-1 Thambynayagam, RK M (2011). 『拡散ハンドブック：エンジニアのための応用ソリューション』 . McGraw-Hill Ghez, R. (1988).拡散問題入門、 Wiley Ghez, R. (2001).拡散現象 . ロングアイランド、ニューヨーク州、アメリカ合衆国: Dover Publication Inc. ペカルスキー、A. (1994).拡散過程：実験、理論、シミュレーション、 スプリンガー ベネット、TD（2013）。移流と拡散による輸送。 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ フォーゲル、G. (2019).アドベンチャー・ディフュージョン Springer ギレスピー、DT、セイタリドゥ、E（2013）。単純ブラウン拡散、 オックスフォード大学出版局 ナキチェノヴィッチ、N.、グリブラー、A.：（1991）。 技術の普及と社会行動 ；スプリンガー ミショー、G.、アレシアン、G.、リッチャー、G.：（2013）。星における原子拡散 、シュプリンガー Stroock, DW:、Varadhan, SRS: (2006).多次元拡散過程、 Springer Zhuoqun, W.、ying J.、Li H.、Zhao J.、Jingxue Y.、および Huilai L. (2001)。非線形拡散方程式、 World Scientific Shewmon, P. (1989).固体中の拡散 、Wiley Banks, RB (2010).成長と拡散現象、 Springer Roque-Malherbe, RMA (2007).ナノ多孔質材料における吸着と拡散、 CRC Press カニンガム、R. (1980).気体および多孔質媒体における拡散、 プレナム パスキル、F.、スミス、FB（1983）。大気拡散、 ホーウッド 池田直樹、渡辺茂（1981）『確率微分方程式と拡散過程』エルゼビア、 アカデミックプレス フィリバート、J.、ラスカー、アラバマ州、ボケ、JL、ブレベック、G.、モンティ、C. (1990)。材料の拡散、 シュプリンガー、オランダ フリードマン、D. (1983).ブラウン運動と拡散 、シュプリンガー・フェルラーク・ニューヨーク 長澤正（1993）『シュレーディンガー方程式と拡散理論』 ビルクハウザー Burgers, JM (1974).非線形拡散方程式：漸近解と統計的問題、 Springer Netherlands伊藤S. (1992).拡散方程式 , アメリカ数学会 Krylov, NV (1994).拡散過程の理論入門、 アメリカ数学会 Knight, FB, (1981).ブラウン運動と拡散の基礎、 アメリカ数学会 Ibe, OC, (2013 ). ランダムウォークと拡散過程の要素、 Wiley Dattagupta, S. (2013).拡散：形式主義と応用 、CRC Press
外部リンク シリコン中の不純物およびドーパントの拡散計算ツール（ 2009年5月2日にWayback Machine に アーカイブ済み） 拡散方程式の理論と解法に関するチュートリアル。 古典的拡散とナノスケール拡散（図とアニメーション付き）
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948a15942a9ac71f7c08edb85cb28c88d3d3cfdf)
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a834bc395bf7a4cbc476fc91c39c7b89c49092f)
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{\text{T}}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d7a01952a98ef98842a774946434e851c2b176)