フォークト記法

数学では、多重線形代数におけるフォークト記法またはフォークト形式は、対称テンソルの次数を下げることによってそのテンソルを表す方法です。 ^{[ 1 ]}このアイデアにはいくつかのバリエーションと関連する名前があります。マンデル記法、マンデル・フォークト記法、ナイ記法などが見られます。ケルビン記法は、ヘルビッグ^{[ 2 ]}がケルビン卿の古いアイデアを復活させたものです。ここでの違いは、テンソルの選択されたエントリに特定の重みが付けられている点にあります。命名法は、応用分野の慣習に応じて異なる場合があります。この記法は、物理学者のウォルデマール・フォークト^{[ 1 ]}とジョン・ナイにちなんで名付けられました。

例えば、2 × 2の対称テンソルXは、対角要素2つと非対角要素1つという、3つの異なる要素しか持ちません。したがって、情報損失なくベクトルとして表現することで、そのランクを下げることができます。

$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{12}&x_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{11}\\x_{22}\\x_{12}\end{bmatrix}}.}$$

フォークト表記法は、材料科学において、2階の応力テンソルとひずみテンソル、および4階の剛性テンソルとコンプライアンステンソルの表現を簡略化するために使用される。

3 × 3の応力テンソルとひずみテンソルは、完全な形で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad }$そして${\displaystyle \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\バレプシロン _{32}&\バレプシロン _{33}\end{bmatrix}}}$。

フォークト記法はこれらの行列の対称性を利用します（$\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$（以下同様）を6 × 1ベクトルとして表現する。

${\displaystyle {\underline {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\quad }$そして${\displaystyle \quad {\underline {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}}$

どこ${\displaystyle \gamma _{12}=2\varepsilon _{12}}$、${\displaystyle \gamma _{23}=2\varepsilon _{23}}$、 そして${\displaystyle \gamma _{13}=2\varepsilon _{13}}$これらは工学的せん断ひずみである。

応力とひずみに異なる表現を使用する利点は、スカラー不変性です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}={\underline {\sigma }}\cdot {\underline {\varepsilon }}}$$ 保存されている。

この表記法により、3次元対称4次剛性、${\displaystyle C}$、コンプライアンス、${\displaystyle S}$テンソルを6 × 6行列に縮小する：

$${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

フォークト記法を覚えるための簡単な記憶術は次のとおりです。

• 2階テンソルを行列形式で書き出してください（この例では、応力テンソル）。
• 斜めに打ち消す
• 3列目に続く
• 最初の行の最初の要素に戻ります。

フォークト指数は、開始点から終了点まで連続して番号が付けられます（例では、青色の数字）。

下の図は、インデックスの順序も示しています。 $${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}$$

2階の対称テンソルの場合 $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ 異なる成分は6つだけで、3つは対角線上にあり、残りは非対角線上にある。したがって、マンデル記法では、ベクトルとして 表すことができる^{[ 3 ]。}$${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .}$$

マンデル記法の主な利点は、ベクトルで使用される従来の演算と同じ演算を使用できることです。例えば、次のようになります。 $${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.}$$

階数4の対称テンソルで、${\displaystyle D_{ijkl}=D_{jikl}}$そして${\displaystyle D_{ijkl}=D_{ijlk}}$3次元空間には81個の成分があるが、異なる成分は36個だけである。したがって、マンデル記法では次のように表すことができる。 $${\displaystyle {\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}&D_{2233}&{\sqrt {2}}D_{2223}&{\sqrt {2}}D_{2213}&{\sqrt {2}}D_{2212}\\D_{3311}&D_{3322}&D_{3333}&{\sqrt {2}}D_{3323}&{\sqrt {2}}D_{3313}&{\sqrt {2}}D_{3312}\\{\sqrt {2}}D_{2311}&{\sqrt {2}}D_{2322}&{\sqrt {2}}D_{2333}&2D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt {2}}D_{1311}&{\sqrt {2}}D_{1322}&{\sqrt {2}}D_{1333}&2D_{1323}&2D_{1313}&2D_{1312}\\{\sqrt {2}}D_{1211}&{\sqrt {2}}D_{1222}&{\sqrt {2}}D_{1233}&2D_{1223}&2D_{1213}&2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.}$$

例えば、一般化フックの法則などの材料をシミュレートするための構成モデルを含む計算や、有限要素解析^{[ 4 ]}、拡散MRI ^{[ 5 ]}などにおいて有用である。

フックの法則は、81個の要素（3 × 3 × 3 × 3）を持つ対称な4階の剛性テンソルを持ちますが、このような4階テンソルを対称な2階テンソルに適用すると、別の対称な2階テンソルが得られるため、81個の要素すべてが独立しているわけではありません。フォークト記法を用いると、このような4階テンソルを6 × 6行列で表すことができます。しかし、フォークト記法では平方和が保存されません。フックの法則の場合、平方和は幾何学的に重要な意味を持ちます。これが、重みが導入される理由です（マッピングを等長写像にするため）。

フォークトの記法とマンデルの記法の不変性についての議論は、ヘルンワイン（2001）に記載されている。^{[ 6 ]}

• ベクトル化（数学）
• フックの法則
• 線形弾性#異方性均質媒体