ヤコビのシータ関数θ 1 q = e i π τ e 0.1 i π θ 1 （ z 、 q ） = 2 q 1 4 ∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n q n （ n + 1 ） 罪 （ 2 n + 1 ） z = ∑ n = − ∞ ∞ （ − 1 ） n − 1 2 q （ n + 1 2 ） 2 e （ 2 n + 1 ） 私 z 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z,q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)z\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iz}.\end{aligned}}} 数学 において、シータ関数は 複数の複素変数 の特殊関数 です。基本的には、結晶格子 やトーラス 上の点など、離散的な 多次元周期 系の挙動を符号化する連続 関数の族です。滑らかな関数であるため、解析 の手法を用いて離散的な組み合わせ系の研究や操作を行うことができます。
このため、シータ関数は次のような分野で有用な応用例があります。
数論 ：「ある数を平方和として表す方法はいくつあるか？」物理学 ：「トーラス状のリング上では熱はどのように流れるのか？」「量子粒子は格子状に配置されたとき、どのように振る舞うのか？」幾何学：「 楕円曲線 の形状特性とは何ですか？」その他には、アーベル多様体 、モジュライ空間 、二次形式 、ソリトンなど がある。
2次元のシータ関数は、2つの複素引数の関数です。たとえば、あるパラメータの選択では、z {\displaystyle z} τ \displaystyle \tau } q {\displaystyle q} ラグランジュグラスマン多様体 [ 1 ] 内のチューブ領域 内の点によってパラメータ化されます。これは、シーゲル 上半空間 です。
補助機能 上記で定義したヤコビのシータ関数は、3つの補助シータ関数とともに考慮される場合があり、その場合は添え字0を2つ付けて表記されます。
ϑ 00 （ z ; τ ） = ϑ （ z ; τ ） {\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )} 補助関数（または半周期関数）は次のように定義される。
ϑ 01 （ z ; τ ） = ϑ （ z + 1 2 ; τ ） ϑ 10 （ z ; τ ） = exp （ 1 4 π 私 τ + π 私 z ） ϑ （ z + 1 2 τ ; τ ） ϑ 11 （ z ; τ ） = exp （ 1 4 π 私 τ + π 私 （ z + 1 2 ） ） ϑ （ z + 1 2 τ + 1 2 ; τ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}} この表記法はリーマン とマンフォード の表記法に倣ったものです。ヤコビ の元の定式化では、τ ではなくq = e iπτ というノーム が用いられていました。ヤコビの表記法では、θ 関数は次のように表されます。
θ 1 （ z ; q ） = θ 1 （ π z 、 q ） = − ϑ 11 （ z ; τ ） θ 2 （ z ; q ） = θ 2 （ π z 、 q ） = ϑ 10 （ z ; τ ） θ 3 （ z ; q ） = θ 3 （ π z 、 q ） = ϑ 00 （ z ; τ ） θ 4 （ z ; q ） = θ 4 （ π z 、 q ） = ϑ 01 （ z ; τ ） {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=\theta _{1}(\pi z,q)=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\theta _{2}(\pi z,q)=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\theta _{3}(\pi z,q)=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\theta _{4}(\pi z,q)=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}} ヤコビシータ1 ヤコビシータ2 ヤコビシータ3 ヤコビシータ4 上記のヤコビ・シータ関数の定義は決して唯一のものではありません。詳細については、「ヤコビ・シータ関数（表記法のバリエーション）」を参照してください。
上記のシータ関数においてz = 0τ のみの 4 つの関数が得られます。これらの関数は、シータ関数の式の左辺がゼロになることから、ドイツ語でゼロ値を意味する用語に基づいて、 シータヌルヴェルト関数と呼ばれます。あるいは、 単位円盤上で定義される q のみの 4 つの関数が得られます。| q | < 1 {\displaystyle |q|<1} シータ定数 と呼ばれることもあります。[ 注2 ]
ϑ 11 （ 0 ; τ ） = − θ 1 （ q ） = − ∑ n = − ∞ ∞ （ − 1 ） n − 1 / 2 q （ n + 1 / 2 ） 2 ϑ 10 （ 0 ; τ ） = θ 2 （ q ） = ∑ n = − ∞ ∞ q （ n + 1 / 2 ） 2 ϑ 00 （ 0 ; τ ） = θ 3 （ q ） = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 ϑ 01 （ 0 ; τ ） = θ 4 （ q ） = ∑ n = − ∞ ∞ （ − 1 ） n q n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{11}(0;\tau )&=-\theta _{1}(q)=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-1/2}q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}} 名詞 q = e iπτ θ 1 （ q ） = 0 {\displaystyle \theta _{1}(q)=0} モジュラー形式 を定義したり、特定の曲線をパラメータ化したりするために使用できます。特に、ヤコビ恒等式 は
θ 2 （ q ） 4 + θ 4 （ q ） 4 = θ 3 （ q ） 4 {\displaystyle \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4}} または同等に、
ϑ 01 （ 0 ; τ ） 4 + ϑ 10 （ 0 ; τ ） 4 = ϑ 00 （ 0 ; τ ） 4 {\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}} これは4次のフェルマー曲線である。
ヤコビ恒等式 ヤコビの恒等式は、τ ↦ τ + 1 およびτ ↦ − 1 / τ モジュラー群 の下でのシータ関数の変換を記述します。最初の変換の式は、指数部のτに 1 を加えることが z ( n ≡ n 2 mod 2 )に 1 / 2
α = （ − 私 τ ） 1 2 exp （ π τ 私 z 2 ） 。 {\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).} それから
ϑ 00 （ z τ ; − 1 τ ） = α ϑ 00 （ z ; τ ） ϑ 01 （ z τ ; − 1 τ ） = α ϑ 10 （ z ; τ ） ϑ 10 （ z τ ; − 1 τ ） = α ϑ 01 （ z ; τ ） ϑ 11 （ z τ ; − 1 τ ） = − 私 α ϑ 11 （ z ; τ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}
シータ関数はノームの観点から シータ関数をz とτ で表す代わりに、引数w とノーム q で表すこともできます。ここで、w = e πiz q = e πiτ
ϑ 00 （ w 、 q ） = ∑ n = − ∞ ∞ （ w 2 ） n q n 2 ϑ 01 （ w 、 q ） = ∑ n = − ∞ ∞ （ − 1 ） n （ w 2 ） n q n 2 ϑ 10 （ w 、 q ） = ∑ n = − ∞ ∞ （ w 2 ） n + 1 2 q （ n + 1 2 ） 2 ϑ 11 （ w 、 q ） = 私 ∑ n = − ∞ ∞ （ − 1 ） n （ w 2 ） n + 1 2 q （ n + 1 2 ） 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}} 指数関数 を直接参照することなく、w とq を用いてシータ関数を定義することもできることがわかります。したがって、これらの式は、 p 進数 体のように指数関数が必ずしも定義されていない他の体 上でシータ関数を定義するために使用できます。
製品表現 ヤコビ三重積（ マクドナルド恒等式 の特殊な場合）によれば、 | q | < 1 かつw ≠ 0 の複素数w とq に対して、次の式が成り立つ。
∏ m = 1 ∞ （ 1 − q 2 m ） （ 1 + w 2 q 2 m − 1 ） （ 1 + w − 2 q 2 m − 1 ） = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 。 {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} それは、例えばハーディとライトの『数の理論入門』
シータ関数をノームq = e πiτ q = e 2 πiτ w = e πiz
ϑ （ z ; τ ） = ∑ n = − ∞ ∞ exp （ π 私 τ n 2 ） exp （ 2 π 私 z n ） = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 。 {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} したがって、シータ関数の積公式は次の形式で得られる。
ϑ （ z ; τ ） = ∏ m = 1 ∞ （ 1 − exp （ 2 m π 私 τ ） ） （ 1 + exp （ （ 2 m − 1 ） π 私 τ + 2 π 私 z ） ） （ 1 + exp （ （ 2 m − 1 ） π 私 τ − 2 π 私 z ） ） 。 {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.} w とq に関して：
ϑ （ z ; τ ） = ∏ m = 1 ∞ （ 1 − q 2 m ） （ 1 + q 2 m − 1 w 2 ） （ 1 + q 2 m − 1 w 2 ） = （ q 2 ; q 2 ） ∞ （ − w 2 q ; q 2 ） ∞ （ − q w 2 ; q 2 ） ∞ = （ q 2 ; q 2 ） ∞ θ （ − w 2 q ; q 2 ） {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}} ここで( ; ) ∞ はq -ポッホハマー記号θ ( ; )は q -シータ関数
∏ m = 1 ∞ （ 1 − q 2 m ） （ 1 + （ w 2 + w − 2 ） q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ） 、 {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},} これは次のように書くこともできます。
ϑ （ z ∣ q ） = ∏ m = 1 ∞ （ 1 − q 2 m ） （ 1 + 2 コス （ 2 π z ） q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ） 。 {\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).} この形式は一般的に有効ですが、 zが 実数の場合に特に興味深いものです。補助シータ関数の同様の積の公式は次のとおりです。
ϑ 01 （ z ∣ q ） = ∏ m = 1 ∞ （ 1 − q 2 m ） （ 1 − 2 コス （ 2 π z ） q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ） 、 ϑ 10 （ z ∣ q ） = 2 q 1 4 コス （ π z ） ∏ m = 1 ∞ （ 1 − q 2 m ） （ 1 + 2 コス （ 2 π z ） q 2 m + q 4 m ） 、 ϑ 11 （ z ∣ q ） = − 2 q 1 4 罪 （ π z ） ∏ m = 1 ∞ （ 1 − q 2 m ） （ 1 − 2 コス （ 2 π z ） q 2 m + q 4 m ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}} 特に、リム q → 0 ϑ 10 （ z ∣ q ） 2 q 1 4 = コス （ π z ） 、 リム q → 0 − ϑ 11 （ z ∣ q ） 2 q 1 4 = 罪 （ π z ） {\displaystyle \lim _{q\to 0}{\frac {\vartheta _{10}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\cos(\pi z),\quad \lim _{q\to 0}{\frac {-\vartheta _{11}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\sin(\pi z)} 罪 、 コス {\displaystyle \sin ,\cos }
積分表現 ヤコビのシータ関数は、以下の積分表現を持ちます。
ϑ 00 （ z ; τ ） = − 私 ∫ 私 − ∞ 私 + ∞ e 私 π τ u 2 コス （ 2 π u z + π u ） 罪 （ π u ） d u ; ϑ 01 （ z ; τ ） = − 私 ∫ 私 − ∞ 私 + ∞ e 私 π τ u 2 コス （ 2 π u z ） 罪 （ π u ） d u ; ϑ 10 （ z ; τ ） = − 私 e 私 π z + 1 4 私 π τ ∫ 私 − ∞ 私 + ∞ e 私 π τ u 2 コス （ 2 π u z + π u + π τ u ） 罪 （ π u ） d u ; ϑ 11 （ z ; τ ） = e 私 π z + 1 4 私 π τ ∫ 私 − ∞ 私 + ∞ e 私 π τ u 2 コス （ 2 π u z + π τ u ） 罪 （ π u ） d u 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}} シータヌルワート関数θ 3 （ q ） {\displaystyle \theta _{3}(q)}
θ 3 （ q ） = 1 + 4 q ln （ 1 / q ） π ∫ 0 ∞ exp [ − ln （ 1 / q ） x 2 ] { 1 − q 2 コス [ 2 ln （ 1 / q ） x ] } 1 − 2 q 2 コス [ 2 ln （ 1 / q ） x ] + q 4 d x {\displaystyle \theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x} この公式は、ジョージア州アトランタ在住の数学者マキシー・シュミットによる論文「平方級数生成関数の変換」の中で論じられている。
この公式に基づき、以下の3つの著名な例を挙げます。
[ 2 π K （ 1 2 2 ） ] 1 / 2 = θ 3 [ exp （ − π ） ] = 1 + 4 exp （ − π ） ∫ 0 ∞ exp （ − π x 2 ） [ 1 − exp （ − 2 π ） コス （ 2 π x ） ] 1 − 2 exp （ − 2 π ） コス （ 2 π x ） + exp （ − 4 π ） d x {\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x} [ 2 π K （ 2 − 1 ） ] 1 / 2 = θ 3 [ exp （ − 2 π ） ] = 1 + 4 2 4 exp （ − 2 π ） ∫ 0 ∞ exp （ − 2 π x 2 ） [ 1 − exp （ − 2 2 π ） コス （ 2 2 π x ） ] 1 − 2 exp （ − 2 2 π ） コス （ 2 2 π x ） + exp （ − 4 2 π ） d x {\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x} { 2 π K [ 罪 （ π 12 ） ] } 1 / 2 = θ 3 [ exp （ − 3 π ） ] = 1 + 4 3 4 exp （ − 3 π ） ∫ 0 ∞ exp （ − 3 π x 2 ） [ 1 − exp （ − 2 3 π ） コス （ 2 3 π x ） ] 1 − 2 exp （ − 2 3 π ） コス （ 2 3 π x ） + exp （ − 4 3 π ） d x {\displaystyle {\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x} さらに、シータの例θ 3 （ 1 2 ） {\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{2}})} θ 3 （ 1 3 ） {\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{3}})}
θ 3 （ 1 2 ） = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n 2 = 1 + 2 π − 1 / 2 ln （ 2 ） ∫ 0 ∞ exp [ − ln （ 2 ） x 2 ] { 16 − 4 コス [ 2 ln （ 2 ） x ] } 17 − 8 コス [ 2 ln （ 2 ） x ] d x {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x} θ 3 （ 1 2 ） = 2.128936827211877158669 … {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=2.128936827211877158669\ldots } θ 3 （ 1 3 ） = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 3 n 2 = 1 + 4 3 π − 1 / 2 ln （ 3 ） ∫ 0 ∞ exp [ − ln （ 3 ） x 2 ] { 81 − 9 コス [ 2 ln （ 3 ） x ] } 82 − 18 コス [ 2 ln （ 3 ） x ] d x {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x} θ 3 （ 1 3 ） = 1.691459681681715341348 … {\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1.691459681681715341348\ldots }
明示的な値 これらの結果の大半はラマヌジャンによるものです。ラマヌジャンの失われたノートと オイラー関数 の関連文献を参照してください。オイラー関数 で引用されているラマヌジャンの結果にいくつかの基本的な操作を加えると、以下の結果が得られます。したがって、これらの結果はラマヌジャンの失われたノートに記載されているか、またはそこから直接導かれます。Yi (2004) も参照してください。[ 4 ]
φ （ q ） = ϑ 00 （ 0 ; τ ） = θ 3 （ 0 ; q ） = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 {\displaystyle \quad \varphi (q)=\vartheta _{00}(0;\tau )=\theta _{3}(0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}} ノームと共にq = e π 私 τ 、 {\displaystyle q=e^{\pi i\tau },} τ = n − 1 、 {\displaystyle \tau =n{\sqrt {-1}},} デデキントイータ関数 η （ τ ） 。 {\displaystyle \eta (\tau ).} n = 1 、 2 、 3 、 … {\displaystyle n=1,2,3,\dots }
φ （ e − π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） = 2 η （ − 1 ） φ （ e − 2 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 2 + 2 2 φ （ e − 3 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 1 + 3 108 8 φ （ e − 4 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 2 + 8 4 4 φ （ e − 5 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 2 + 5 5 φ （ e − 6 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 1 4 + 3 4 + 4 4 + 9 4 12 3 8 φ （ e − 7 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 13 + 7 + 7 + 3 7 14 3 8 ⋅ 7 16 φ （ e − 8 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 2 + 2 + 128 8 4 φ （ e − 9 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 1 + 2 + 2 3 3 3 φ （ e − 10 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 64 4 + 80 4 + 81 4 + 100 4 200 4 φ （ e − 11 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 11 + 11 + （ 5 + 3 3 + 11 + 33 ） − 44 + 33 3 3 + （ − 5 + 3 3 − 11 + 33 ） 44 + 33 3 3 52180524 8 φ （ e − 12 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 + 9 4 + 18 4 + 24 4 2 108 8 φ （ e − 13 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 13 + 8 13 + （ 11 − 6 3 + 13 ） 143 + 78 3 3 + （ 11 + 6 3 + 13 ） 143 − 78 3 3 19773 4 φ （ e − 14 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 13 + 7 + 7 + 3 7 + 10 + 2 7 + 28 8 4 + 7 28 7 16 φ （ e − 15 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 7 + 3 3 + 5 + 15 + 60 4 + 1500 4 12 3 8 ⋅ 5 2 φ （ e − 16 π ） = φ （ e − 4 π ） + π 4 Γ （ 3 4 ） 1 + 2 4 128 16 φ （ e − 17 π ） = π 4 Γ （ 3 4 ） 2 （ 1 + 17 4 ） + 17 8 5 + 17 17 + 17 17 2 φ （ e − 20 π ） = φ （ e − 5 π ） + π 4 Γ （ 3 4 ） 3 + 2 5 4 5 2 6 φ （ e − 36 π ） = 3 φ （ e − 9 π ） + 2 φ （ e − 4 π ） − φ （ e − π ） + π 4 Γ （ 3 4 ） 2 4 + 18 4 + 216 4 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,\eta \left({\sqrt {-1}}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\sqrt[{8}]{108}}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {2+{\sqrt[{4}]{8}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {5}}}{5}}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{12^{3}}}}\\\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}}{{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {\sqrt[{16}]{7}}}}\\\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{64}}+{\sqrt[{4}]{80}}+{\sqrt[{4}]{81}}+{\sqrt[{4}]{100}}}}{\sqrt[{4}]{200}}}\\\varphi \left(e^{-11\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {11+{\sqrt {11}}+(5+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}} ゲルフォンド定数 の逆数を奇数の逆数で累乗すると、対応する ϑ 00 {\displaystyle \vartheta _{00}} ϕ {\displaystyle \phi } 双曲線レムニスカティック正弦 を用いることで、値を簡略化して表現することができる。
φ [ exp （ − 1 5 π ） ] = π 4 Γ （ 3 4 ） − 1 slh （ 1 5 2 ϖ ） slh （ 2 5 2 ϖ ） {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} φ [ exp （ − 1 7 π ） ] = π 4 Γ （ 3 4 ） − 1 slh （ 1 7 2 ϖ ） slh （ 2 7 2 ϖ ） slh （ 3 7 2 ϖ ） {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} φ [ exp （ − 1 9 π ） ] = π 4 Γ （ 3 4 ） − 1 slh （ 1 9 2 ϖ ） slh （ 2 9 2 ϖ ） slh （ 3 9 2 ϖ ） slh （ 4 9 2 ϖ ） {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} φ [ exp （ − 1 11 π ） ] = π 4 Γ （ 3 4 ） − 1 slh （ 1 11 2 ϖ ） slh （ 2 11 2 ϖ ） slh （ 3 11 2 ϖ ） slh （ 4 11 2 ϖ ） slh （ 5 11 2 ϖ ） {\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}} 手紙と共にϖ {\displaystyle \varpi } 定数 が表されている。
以下のモジュラー恒等式が成り立つことに注意してください。
2 φ （ q 4 ） = φ （ q ） + 2 φ 2 （ q 2 ） − φ 2 （ q ） 3 φ （ q 9 ） = φ （ q ） + 9 φ 4 （ q 3 ） φ （ q ） − φ 3 （ q ） 3 5 φ （ q 25 ） = φ （ q 5 ） ベビーベッド （ 1 2 アークタン （ 2 5 φ （ q ） φ （ q 5 ） φ 2 （ q ） − φ 2 （ q 5 ） 1 + s （ q ） − s 2 （ q ） s （ q ） ） ） {\displaystyle {\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}} どこs （ q ） = s （ e π 私 τ ） = − R （ − e − π 私 / （ 5 τ ） ） {\displaystyle s(q)=s\left(e^{\pi i\tau }\right)=-R\left(-e^{-\pi i/(5\tau )}\right)} ロジャース・ラマヌジャン連分数は次のとおり です。
s （ q ） = タン （ 1 2 アークタン （ 5 2 φ 2 （ q 5 ） φ 2 （ q ） − 1 2 ） ） ベビーベッド 2 （ 1 2 アークコット （ 5 2 φ 2 （ q 5 ） φ 2 （ q ） − 1 2 ） ） 5 = e − π 私 / （ 25 τ ） 1 − e − π 私 / （ 5 τ ） 1 + e − 2 π 私 / （ 5 τ ） 1 − ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}s(q)&={\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&={\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{aligned}}} 数学者のブルース・ベルントは、 シータ関数のさらなる値[ 5 ]を発見した。
φ （ exp （ − 3 π ） ） = π − 1 Γ （ 4 3 ） 3 / 2 2 − 2 / 3 3 13 / 8 φ （ exp （ − 2 3 π ） ） = π − 1 Γ （ 4 3 ） 3 / 2 2 − 2 / 3 3 13 / 8 コス （ 1 24 π ） φ （ exp （ − 3 3 π ） ） = π − 1 Γ （ 4 3 ） 3 / 2 2 − 2 / 3 3 7 / 8 （ 2 3 + 1 ） φ （ exp （ − 4 3 π ） ） = π − 1 Γ （ 4 3 ） 3 / 2 2 − 5 / 3 3 13 / 8 （ 1 + コス （ 1 12 π ） ） φ （ exp （ − 5 3 π ） ） = π − 1 Γ （ 4 3 ） 3 / 2 2 − 2 / 3 3 5 / 8 罪 （ 1 5 π ） （ 2 5 100 3 + 2 5 10 3 + 3 5 5 + 1 ） {\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}}
さらなる価値 シータ関数[ 6 ]
φ （ exp （ − 2 π ） ） = π − 1 / 2 Γ （ 9 8 ） Γ （ 5 4 ） − 1 / 2 2 7 / 8 φ （ exp （ − 2 2 π ） ） = π − 1 / 2 Γ （ 9 8 ） Γ （ 5 4 ） − 1 / 2 2 1 / 8 （ 1 + 2 − 1 ） φ （ exp （ − 3 2 π ） ） = π − 1 / 2 Γ （ 9 8 ） Γ （ 5 4 ） − 1 / 2 2 3 / 8 3 − 1 / 2 （ 3 + 1 ） タン （ 5 24 π ） φ （ exp （ − 4 2 π ） ） = π − 1 / 2 Γ （ 9 8 ） Γ （ 5 4 ） − 1 / 2 2 − 1 / 8 （ 1 + 2 2 − 2 4 ） φ （ exp （ − 5 2 π ） ） = π − 1 / 2 Γ （ 9 8 ） Γ （ 5 4 ） − 1 / 2 1 15 2 3 / 8 × × [ 5 3 10 + 2 5 （ 5 + 2 + 3 3 3 + 5 + 2 − 3 3 3 ） − （ 2 − 2 ） 25 − 10 5 ] φ （ exp （ − 6 π ） ） = π − 1 / 2 Γ （ 5 24 ） Γ （ 5 12 ） − 1 / 2 2 − 13 / 24 3 − 1 / 8 罪 （ 5 12 π ） φ （ exp （ − 1 2 6 π ） ） = π − 1 / 2 Γ （ 5 24 ） Γ （ 5 12 ） − 1 / 2 2 5 / 24 3 − 1 / 8 罪 （ 5 24 π ） {\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}{\frac {1}{15}}\,2^{3/8}\times \\&&\times {\biggl [}{\sqrt[{3}]{5}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\biggl (}{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}-3{\sqrt {3}}}}\,{\biggr )}-{\bigl (}2-{\sqrt {2}}\,{\bigr )}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\,{\biggr ]}\\\varphi \left(\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{-13/24}3^{-1/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {5}{12}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{5/24}3^{-1/8}\sin({\tfrac {5}{24}}\pi )\end{array}}}
ノームのべき乗定理
直接べき乗定理 ノーム[ 7 ]
θ 2 （ q 2 ） = 1 2 2 [ θ 3 （ q ） 2 − θ 4 （ q ） 2 ] {\displaystyle \theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}} θ 3 （ q 2 ） = 1 2 2 [ θ 3 （ q ） 2 + θ 4 （ q ） 2 ] {\displaystyle \theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}} θ 4 （ q 2 ） = θ 4 （ q ） θ 3 （ q ） {\displaystyle \theta _{4}(q^{2})={\sqrt {\theta _{4}(q)\theta _{3}(q)}}} 3つのθゼロ値関数の二乗（内部関数として二乗関数を持つ）も、ヤコビの恒等式 に従ってピタゴラスの三つ組 のパターンで形成される。さらに、これらの変換は有効である。
θ 3 （ q 4 ） = 1 2 θ 3 （ q ） + 1 2 θ 4 （ q ） {\displaystyle \theta _{3}(q^{4})={\tfrac {1}{2}}\theta _{3}(q)+{\tfrac {1}{2}}\theta _{4}(q)} これらの式は、ノームの立方体のシータ値を計算するために使用できます。
27 θ 3 （ q 3 ） 8 − 18 θ 3 （ q 3 ） 4 θ 3 （ q ） 4 − θ 3 （ q ） 8 = 8 θ 3 （ q 3 ） 2 θ 3 （ q ） 2 [ 2 θ 4 （ q ） 4 − θ 3 （ q ） 4 ] {\displaystyle 27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]} 27 θ 4 （ q 3 ） 8 − 18 θ 4 （ q 3 ） 4 θ 4 （ q ） 4 − θ 4 （ q ） 8 = 8 θ 4 （ q 3 ） 2 θ 4 （ q ） 2 [ 2 θ 3 （ q ） 4 − θ 4 （ q ） 4 ] {\displaystyle 27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]} また、以下の式を用いて、ノームの5乗のシータ値を計算することができます。
[ θ 3 （ q ） 2 − θ 3 （ q 5 ） 2 ] [ 5 θ 3 （ q 5 ） 2 − θ 3 （ q ） 2 ] 5 = 256 θ 3 （ q 5 ） 2 θ 3 （ q ） 2 θ 4 （ q ） 4 [ θ 3 （ q ） 4 − θ 4 （ q ） 4 ] {\displaystyle [\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]} [ θ 4 （ q 5 ） 2 − θ 4 （ q ） 2 ] [ 5 θ 4 （ q 5 ） 2 − θ 4 （ q ） 2 ] 5 = 256 θ 4 （ q 5 ） 2 θ 4 （ q ） 2 θ 3 （ q ） 4 [ θ 3 （ q ） 4 − θ 4 （ q ） 4 ] {\displaystyle [\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}
楕円ノームの立方根 から得られるθヌルワート関数の値の公式は、対応する4次方程式の2つの実数解を比較することによって得られる。
[ θ 3 （ q 1 / 3 ） 2 θ 3 （ q ） 2 − 3 θ 3 （ q 3 ） 2 θ 3 （ q ） 2 ] 2 = 4 − 4 [ 2 θ 2 （ q ） 2 θ 4 （ q ） 2 θ 3 （ q ） 4 ] 2 / 3 {\displaystyle {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}} [ 3 θ 4 （ q 3 ） 2 θ 4 （ q ） 2 − θ 4 （ q 1 / 3 ） 2 θ 4 （ q ） 2 ] 2 = 4 + 4 [ 2 θ 2 （ q ） 2 θ 3 （ q ） 2 θ 4 （ q ） 4 ] 2 / 3 {\displaystyle {\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}
モジュラス依存定理 楕円モジュラスと組み合わせることで、以下の式を表示できます。
楕円ノームの二乗を求める公式は以下のとおりです。
θ 4 [ q （ k ） ] = θ 4 [ q （ k ） 2 ] 1 − k 2 8 {\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}} θ 4 [ q （ k ） 2 ] = θ 3 [ q （ k ） ] 1 − k 2 8 {\displaystyle \theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}} θ 3 [ q （ k ） 2 ] = θ 3 [ q （ k ） ] コス [ 1 2 arcsin （ k ） ] {\displaystyle \theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]} そして、これがノームの立方体を求める効率的な公式です。
θ 4 ⟨ q { タン [ 1 2 アークタン （ t 3 ） ] } 3 ⟩ = θ 4 ⟨ q { タン [ 1 2 アークタン （ t 3 ） ] } ⟩ 3 − 1 / 2 （ 2 t 4 − t 2 + 1 − t 2 + 2 + t 2 + 1 ） 1 / 2 {\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}} すべての実数値に対してt ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} }
この公式について、2つの例を挙げる。
値を用いた最初の計算例t = 1 {\displaystyle t=1}
値を用いた2番目の計算例t = Φ − 2 {\displaystyle t=\Phi ^{-2}}
定数Φ {\displaystyle \Phi } 黄金比 を表すΦ = 1 2 （ 5 + 1 ） {\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}
いくつかのシリーズ識別子
結果にシータ関数を含む和が含まれる 奇数インデックスを持つフィボナッチ数 の逆数の無限和[ 8 ] [ 9 ]は、次の恒等式を持つ。
∑ n = 1 ∞ 1 F 2 n − 1 = 5 2 ∑ n = 1 ∞ 2 （ Φ − 2 ） n − 1 / 2 1 + （ Φ − 2 ） 2 n − 1 = 5 4 ∑ 1 = − ∞ ∞ 2 （ Φ − 2 ） 1 − 1 / 2 1 + （ Φ − 2 ） 2 1 − 1 = {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{n-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{a-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2a-1}}}=} = 5 4 θ 2 （ Φ − 2 ） 2 = 5 8 [ θ 3 （ Φ − 1 ） 2 − θ 4 （ Φ − 1 ） 2 ] {\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}} シータ関数表現を用いないことで、2つの和の間の以下の恒等式を定式化することができる。
∑ n = 1 ∞ 1 F 2 n − 1 = 5 4 [ ∑ n = 1 ∞ 2 Φ − （ 2 n − 1 ） 2 / 2 ] 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}/2}{\biggr ]}^{2}} ∑ n = 1 ∞ 1 F 2 n − 1 = 1.82451515740692456814215840626732817332 … {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=1.82451515740692456814215840626732817332\ldots } この場合も同様Φ = 1 2 （ 5 + 1 ） {\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)} またしても黄金比の 数ですね。
フィボナッチ数の平方数の逆数の無限和：
∑ n = 1 ∞ 1 F n 2 = 5 24 [ 2 θ 2 （ Φ − 2 ） 4 − θ 3 （ Φ − 2 ） 4 + 1 ] = 5 24 [ θ 3 （ Φ − 2 ） 4 − 2 θ 4 （ Φ − 2 ） 4 + 1 ] {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{4}-\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}} 奇数インデックスを持つペル数 の逆数の無限和：
∑ n = 1 ∞ 1 P 2 n − 1 = 1 2 θ 2 [ （ 2 − 1 ） 2 ] 2 = 1 2 2 [ θ 3 （ 2 − 1 ） 2 − θ 4 （ 2 − 1 ） 2 ] {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}
項にシータ関数を含む和 次の2つの級数恒等式はIstván Mező によって証明されました: [ 10 ]
θ 4 2 （ q ） = 私 q 1 4 ∑ k = − ∞ ∞ q 2 k 2 − k θ 1 （ 2 k − 1 2 私 ln q 、 q ） 、 θ 4 2 （ q ） = ∑ k = − ∞ ∞ q 2 k 2 θ 4 （ k ln q 私 、 q ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}} これらの関係は、0 < q < 1 のすべての場合に成り立ちます。q の値を特殊化すると、次のパラメータフリー和が得られます。
π e π 2 ⋅ 1 Γ 2 （ 3 4 ） = 私 ∑ k = − ∞ ∞ e π （ k − 2 k 2 ） θ 1 （ 私 π 2 （ 2 k − 1 ） 、 e − π ） {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right)} π 2 ⋅ 1 Γ 2 （ 3 4 ） = ∑ k = − ∞ ∞ θ 4 （ 私 k π 、 e − π ） e 2 π k 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}}
ヤコビのシータ関数の零点 ヤコビのシータ関数のすべての零点は単純零点であり、次のように表されます。
ϑ （ z ; τ ） = ϑ 00 （ z ; τ ） = 0 ⟺ z = m + n τ + 1 2 + τ 2 ϑ 11 （ z ; τ ） = 0 ⟺ z = m + n τ ϑ 10 （ z ; τ ） = 0 ⟺ z = m + n τ + 1 2 ϑ 01 （ z ; τ ） = 0 ⟺ z = m + n τ + τ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}} ここで、 m 、n は任意の整数である。
リーマンゼータ関数との関係 関係
ϑ （ 0 ; − 1 τ ） = （ − 私 τ ） 1 2 ϑ （ 0 ; τ ） {\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=\left(-i\tau \right)^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )} リーマンは、 メリン変換 を用いて、リーマンゼータ関数 の関数方程式を証明するためにこれを用いた。
Γ （ s 2 ） π − s 2 ζ （ s ） = 1 2 ∫ 0 ∞ （ ϑ （ 0 ; 私 t ） − 1 ） t s 2 d t t {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\vartheta (0;it)-1{\bigr )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}} これは、 s を 1 − s で置換しても不変であることが示せる。z ≠ 0フルヴィッツのゼータ関数 に関する記事に記載されている。
ワイエルシュトラス楕円関数との関係 ヤコビは、上記の4つのシータ関数の商として（計算しやすい形式に）楕円関数を構築するためにシータ関数を使用し、 ワイエルシュトラスの楕円関数 を構築するためにも使用した可能性がある。
℘ （ z ; τ ） = − （ ログ ϑ 11 （ z ; τ ） ） 」 + c {\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c} ここで、2 階微分はz に関するものであり、定数cは z = 0 における℘( z ) のローラン展開が 定数項 ゼロとなるように定義されます。
q- ガンマ関数との関係第4シータ関数（したがって他の関数も同様）は、関係式[ 11 ] を介してジャクソンq- ガンマ関数と密接に関連している。
（ Γ q 2 （ x ） Γ q 2 （ 1 − x ） ） − 1 = q 2 x （ 1 − x ） （ q − 2 ; q − 2 ） ∞ 3 （ q 2 − 1 ） θ 4 （ 1 2 私 （ 1 − 2 x ） ログ q 、 1 q ） 。 {\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\theta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}
デデキント・イータ関数との関係 η ( τ )をデデキントのイータ関数 とし、シータ関数の引数をノーム q = e πiτ
θ 2 （ q ） = ϑ 10 （ 0 ; τ ） = 2 η 2 （ 2 τ ） η （ τ ） 、 θ 3 （ q ） = ϑ 00 （ 0 ; τ ） = η 5 （ τ ） η 2 （ 1 2 τ ） η 2 （ 2 τ ） = η 2 （ 1 2 （ τ + 1 ） ） η （ τ + 1 ） 、 θ 4 （ q ） = ϑ 01 （ 0 ; τ ） = η 2 （ 1 2 τ ） η （ τ ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}} そして、
θ 2 （ q ） θ 3 （ q ） θ 4 （ q ） = 2 η 3 （ τ ） 。 {\displaystyle \theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)=2\eta ^{3}(\tau ).} ウェーバーのモジュール関数 も参照してください。
楕円係数 楕円モジュラス は
k （ τ ） = ϑ 10 （ 0 ; τ ） 2 ϑ 00 （ 0 ; τ ） 2 {\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}} そして、相補楕円モジュラスは
k ′ （ τ ） = ϑ 01 （ 0 ; τ ） 2 ϑ 00 （ 0 ; τ ） 2 {\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}}
シータ関数の導関数 これらは、第二種完全楕円積分に関する二つの同一の定義である。
E （ k ） = ∫ 0 π / 2 1 − k 2 罪 （ φ ） 2 d φ {\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}d\varphi } E （ k ） = π 2 ∑ 1 = 0 ∞ [ （ 2 1 ） ! ] 2 （ 1 − 2 1 ） 16 1 （ 1 ! ） 4 k 2 1 {\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}} シータ・ヌルワート関数の導関数は、以下のマクローリン級数を持つ。
θ 2 ′ （ x ） = d d x θ 2 （ x ） = 1 2 x − 3 / 4 + ∑ n = 1 ∞ 1 2 （ 2 n + 1 ） 2 x （ 2 n − 1 ） （ 2 n + 3 ） / 4 {\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{-3/4}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(2n+1)^{2}x^{(2n-1)(2n+3)/4}} θ 3 ′ （ x ） = d d x θ 3 （ x ） = 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 （ n + 1 ） 2 x n （ n + 2 ） {\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}} θ 4 ′ （ x ） = d d x θ 4 （ x ） = − 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 （ n + 1 ） 2 （ − 1 ） n + 1 x n （ n + 2 ） {\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=-2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}(-1)^{n+1}x^{n(n+2)}} θゼロ値関数[ 12 ]
θ 2 ′ （ x ） = d d x θ 2 （ x ） = 1 2 π x θ 2 （ x ） θ 3 （ x ） 2 E [ θ 2 （ x ） 2 θ 3 （ x ） 2 ] {\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\theta _{2}(x)\theta _{3}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\theta _{2}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}}}{\biggr ]}} θ 3 ′ （ x ） = d d x θ 3 （ x ） = θ 3 （ x ） [ θ 3 （ x ） 2 + θ 4 （ x ） 2 ] { 1 2 π x E [ θ 3 （ x ） 2 − θ 4 （ x ） 2 θ 3 （ x ） 2 + θ 4 （ x ） 2 ] − θ 4 （ x ） 2 4 x } {\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}} θ 4 ′ （ x ） = d d x θ 4 （ x ） = θ 4 （ x ） [ θ 3 （ x ） 2 + θ 4 （ x ） 2 ] { 1 2 π x E [ θ 3 （ x ） 2 − θ 4 （ x ） 2 θ 3 （ x ） 2 + θ 4 （ x ） 2 ] − θ 3 （ x ） 2 4 x } {\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{3}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}} 最後に挙げた2つの公式は、実数定義区間内のすべての実数に対して有効です。− 1 < x < 1 ∩ x ∈ R {\displaystyle -1<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R} }
そして、最後に挙げた2つのシータ微分関数は、次のような関係にあります。
ϑ 4 （ x ） [ d d x ϑ 3 （ x ） ] − ϑ 3 （ x ） [ d d x θ 4 （ x ） ] = 1 4 x θ 3 （ x ） θ 4 （ x ） [ θ 3 （ x ） 4 − θ 4 （ x ） 4 ] {\displaystyle \vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{3}(x){\biggr ]}-\vartheta _{3}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}} ここで述べた3つのシータ関数のうち2つの商の導関数は、常にそれら3つの関数と有理数の関係にある。
d d x θ 2 （ x ） θ 3 （ x ） = θ 2 （ x ） θ 4 （ x ） 4 4 x θ 3 （ x ） {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{3}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{3}(x)}}} d d x θ 2 （ x ） θ 4 （ x ） = θ 2 （ x ） θ 3 （ x ） 4 4 x θ 4 （ x ） {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{3}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}} d d x θ 3 （ x ） θ 4 （ x ） = θ 3 （ x ） 5 − θ 3 （ x ） θ 4 （ x ） 4 4 x θ 4 （ x ） {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{3}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{3}(x)^{5}-\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}} これらの導出公式の導出については、Nome (mathematics) およびModular lambda function !の記事を参照してください。
シータ関数の積分 シータ関数については、これらの積分[ 13 ]
∫ 0 1 θ 2 （ x ） d x = ∑ k = − ∞ ∞ 4 （ 2 k + 1 ） 2 + 4 = π タン （ π ） ≈ 3.129881 {\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{2}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3.129881} ∫ 0 1 θ 3 （ x ） d x = ∑ k = − ∞ ∞ 1 k 2 + 1 = π 布 （ π ） ≈ 3.153348 {\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{3}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3.153348} ∫ 0 1 θ 4 （ x ） d x = ∑ k = − ∞ ∞ （ − 1 ） k k 2 + 1 = π csch （ π ） ≈ 0.272029 {\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{4}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,\operatorname {csch} (\pi )\approx 0.272029} ここに示された最終結果は、一般的なコーシー和の公式に基づいています。
熱方程式の解 ヤコビのシータ関数は、空間的に周期的な境界条件 を持つ一次元熱方程式の 基本解 である。[ 14 ] z = x を τ = it を 実数かつ正のt とすると、次のように書ける。
ϑ （ x ; 私 t ） = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ exp （ − π n 2 t ） コス （ 2 π n x ） {\displaystyle \vartheta (x;it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)} これは熱方程式を解く
∂ ∂ t ϑ （ x ; 私 t ） = 1 4 π ∂ 2 ∂ x 2 ϑ （ x ; 私 t ） 。 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x;it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x;it).} このシータ関数解はx に関して 1 周期であり、t → 0のとき、分布 の意味での周期デルタ関数 、またはディラックの櫛に近づきます。
リム t → 0 ϑ （ x ; 私 t ） = ∑ n = − ∞ ∞ δ （ x − n ） {\displaystyle \lim _{t\to 0}\vartheta (x;it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)} 熱方程式の空間的に周期的な初期値問題 の一般解は、t = 0
一般化 Fが n個の 変数に関する正定値二次形式 である場合、 F に関連付けられたシータ関数は次のようになります。
θ F （ z ） = ∑ m ∈ Z n e − π z F （ m ） {\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{-\pi zF(m)}} 和は整数の格子全体に及ぶ Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} モジュラー群 の重み n / 2 モジュラー形式 です。フーリエ展開では、
θ ^ F （ z ） = ∑ k = 0 ∞ R F （ k ） e 2 π 私 k z 、 {\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},} 数R F ( k )表現数 と呼ばれます。
ディリクレ指標のシータ級数 χ が q を法とする原始ディリクレ文字 であり、ν = 1 − χ (−1) / 2
θ χ （ z ） = 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ χ （ n ） n ν e 2 私 π n 2 z {\displaystyle \theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}} はレベル4 q 2 の 1/2 + ν であり 、 は
χ （ d ） （ − 1 d ） ν 、 {\displaystyle \chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu },} つまり[ 15 ]
θ χ （ 1 z + b c z + d ） = χ （ d ） （ − 1 d ） ν （ θ 1 （ 1 z + b c z + d ） θ 1 （ z ） ） 1 + 2 ν θ χ （ z ） {\displaystyle \theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)} いつでも
1 、 b 、 c 、 d ∈ Z 4 、 1 d − b c = 1 、 c ≡ 0 モジュール 4 q 2 。 {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.}
リーマンテータ関数 させて
H n = { F ∈ M （ n 、 C ） | F = F T 、 私は F > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}} 虚部が正定値である対称 正方 行列の 集合とする。H n {\displaystyle \mathbb {H} _{n}} これはシーゲル上半空間 と呼ばれ、上半平面 の多次元版である。モジュラー群の n 次元版はシンプレクティック群 である。スプ （ 2 n 、 Z ） {\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )} ; n = 1 のスプ （ 2 、 Z ） = SL （ 2 、 Z ） {\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )} 合同部分群の n 次元類似物は、
カー { スプ （ 2 n 、 Z ） → スプ （ 2 n 、 Z / k Z ） } 。 {\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.} 次に、τ ∈ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}} リーマンシータ関数は 次のように定義される。
θ （ z 、 τ ） = ∑ m ∈ Z n exp （ 2 π 私 （ 1 2 m T τ m + m T z ） ） 。 {\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).} ここ、z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} はn 次元複素ベクトルであり、上付き文字Tは 転置を 表します。ヤコビのシータ関数は、n = 1τ ∈ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } H {\displaystyle \mathbb {H} } は上半平面 です。リーマン テータ関数の主な応用例の 1 つは、τをその第 1 ホモロジー 群 の標準基底に関する周期行列とすることで、コンパクトリーマン面 上の有理型関数や、その関数論で重要な役割を果たすその他の補助オブジェクトに対して明示的な公式を与えることができることです。
リーマンテータはコンパクト部分集合上で絶対的かつ一様に収束するC n × H n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}}
関数方程式は
θ （ z + 1 + τ b 、 τ ） = exp （ 2 π 私 （ − b T z − 1 2 b T τ b ） ） θ （ z 、 τ ） {\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp \left(2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\right)\theta (z,\tau )} これはすべてのベクトルに当てはまる。1 、 b ∈ Z n {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}} z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} τ ∈ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}}
シータ値の導出
オイラーのベータ関数の恒等式 以下では、例として重要な3つのシータ関数値を導出する。
オイラーのベータ関数は 、簡約形において次のように定義されます。
β （ x ） = Γ （ x ） 2 Γ （ 2 x ） {\displaystyle \beta (x)={\frac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}} 一般に、すべての自然数に対してn ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
4 − 1 / （ n + 2 ） n + 2 csc （ π n + 2 ） β [ n 2 （ n + 2 ） ] = ∫ 0 ∞ 1 x n + 2 + 1 d x {\displaystyle {\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\mathrm {d} x}
代表的な楕円積分 以下では、楕円積分特異値 [ 16 ]
分割シーケンスとポッホハマー積
厳密なパーティション番号シーケンス そして厳密な分割順序Q （ n ） {\displaystyle Q(n)} n {\displaystyle n} [ 18 ] [ 19 ]
厳密な分割数列の生成関数は、ポッホハマーの積を用いて表すことができる。
∑ k = 0 ∞ Q （ k ） x k = 1 （ x ; x 2 ） ∞ = θ 3 （ x ） 1 / 6 θ 4 （ x ） − 1 / 3 [ θ 3 （ x ） 4 − θ 4 （ x ） 4 16 x ] 1 / 24 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}}
オーバーパーティション番号シーケンス 関数ϑ 01 級数は、 正の符号を持つ係数として分割シーケンス の数値を持ちます: [ 20 ]
1 θ 4 （ x ） = ∏ n = 1 ∞ 1 + x n 1 − x n = ∑ k = 0 ∞ P ¯ （ k ） x k {\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {P}}(k)x^{k}} 1 θ 4 （ x ） = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + 14 x 4 + 24 x 5 + 40 x 6 + 64 x 7 + 100 x 8 + 154 x 9 + 232 x 10 + … {\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+14x^{4}+24x^{5}+40x^{6}+64x^{7}+100x^{8}+154x^{9}+232x^{10}+\dots } 特定の数に対してk {\displaystyle k} [ 21 ]は、 k {\displaystyle k} P ¯ （ k ） {\displaystyle {\overline {P}}(k)}
最初の例：
P ¯ （ 4 ） = 14 {\displaystyle {\overline {P}}(4)=14} 合計が4の場合、分割記号には以下の14通りの可能性があります。
2つ目の例：
P ¯ （ 5 ） = 24 {\displaystyle {\overline {P}}(5)=24} 合計が5の場合、分割記号には以下の24通りの可能性があります。
分割番号シーケンス間の関係 オンライン整数列百科事典（OEIS）では、規則的な分割数列はP （ n ） {\displaystyle P(n)} Q （ n ） {\displaystyle Q(n)} P ¯ （ n ） {\displaystyle {\overline {P}}(n)} n = 1 {\displaystyle n=1}
スーパーパーティションのシーケンスP ¯ （ n ） {\displaystyle {\overline {P}}(n)} [ 22 ] [ 23 ]
P ¯ （ n ） = ∑ k = 0 n P （ n − k ） Q （ k ） {\displaystyle {\overline {P}}(n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(k)} 以下の数列の表では、この公式を例として使用してください。
この性質に関連して、関数ϑ 01 を介して、次の 2 つの和の系列の組み合わせも設定できます。
θ 4 （ x ） = [ ∑ k = 0 ∞ P （ k ） x k ] − 1 [ ∑ k = 0 ∞ Q （ k ） x k ] − 1 {\displaystyle \theta _{4}(x)={\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}}
参考文献 ↑ Tyurin, Andrey N. (2002年10月30日). "量子化、古典場理論と量子場理論、およびシータ関数". arXiv : math/0210466v1 . ↑ Chang, Der-Chen (2011). Heat Kernels for Elliptic and Sub-elliptic Operators . Birkhäuser. p. 7. ↑ Tata Lectures on Theta I. Modern Birkhäuser Classics. Boston, MA: Birkhäuser Boston. 2007. p. 4. doi : 10.1007/978-0-8176-4577-9 . ISBN 978-0-8176-4572-4 。↑ Yi, Jinhee (2004). "シータ関数恒等式とシータ関数の明示的な公式およびその応用" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 292 (2): 381– 400. doi : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 . ↑ Berndt, Bruce C; Rebák, Örs (2022年1月9日). "ラマヌジャンのシータ関数 ϕ(q) の明示的な値" . Hardy-Ramanujan Journal . 44 8923. arXiv : 2112.11882 . doi : 10.46298/hrj.2022.8923 . S2CID 245851672 . ↑ Yi, Jinhee (2004年4月15日). "シータ関数恒等式とシータ関数の明示的な公式およびその応用" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 292 (2): 381– 400. doi : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 . ↑ Andreas Dieckmann:無限積の表 無限和 無限級数、楕円シータ。 ボン物理学研究所、アブルフ午前 1 日。2021 年 10 月。 ↑ Landau (1899)zitiert nach Borwein 、94 ページ、演習 3。 ↑ 「数論、組み合わせ論、整数関数 – mpmath 1.1.0 ドキュメント」 。 2021年7月18日 取得 。 ↑ Mező, István (2013), "ヤコビのシータ関数とゴスパーの q 三角関数を含む倍数公式", Proceedings of the American Mathematical Society , 141 (7): 2401– 2410, doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576-5 ↑ Mező, István (2012). "A q -Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function" . Journal of Number Theory . 133 (2): 692–704 . doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 . hdl : 2437/166217 . ↑ Weisstein, Eric W. 「楕円アルファ関数」 . MathWorld . ↑ "積分 - ヤコビのシータ関数の興味深い積分 $\int_0^1 \vartheta_n(0,q)dq$" . 2022-08-13. ↑ 大山陽介 (1995). 「シータ関数の微分関係」 . 大阪数学雑誌 . 32 (2): 431– 450. ISSN 0030-6126 . ↑ 志村、「半整数重量のモジュラー形式について」 ↑ 「楕円積分特異値」 . msu.edu . 2023年4月7日 取得 。 ↑ ラマヌジャンのシータ関数恒等式（ランベルト級数を含む） ↑ 「コードゴルフ - 正の整数の厳密な分割」 。 2022年3月9日 取得 。 ↑ "A000009 - OEIS" 。 2022年3月9日。 ↑ Mahlburg, Karl (2004). "The overpartition function modulo small powers of 2". Discrete Mathematics . 286 (3): 263– 267. doi : 10.1016/j.disc.2004.03.014 . ↑ キム・ビョン チャン（2009年4月28日） 「エルゼビア・エンハンスド・リーダー」 離散 数学 309 （ 8）： 2528–2532。doi ： 10.1016/ j.disc.2008.05.007 。 ↑ エリック・W・ワイススタイン (2022-03-11)。 「分割関数 P」 。 ↑ エリック・W・ワイススタイン (2022-03-11)。 「分割関数 Q」 。
さらに読む Farkas, Hershel M. (2008). 「複素解析と数論におけるシータ関数」。Alladi , Krishnaswami (編) 『数論概論 』数学の発展、第 17巻、Springer-Verlag 、pp. 57–87。ISBN 978-0-387-78509-7 . Zbl 1206.11055 . ブルーノ・シェーネベルク （1974年）。 「IX.シータシリーズ」。楕円モジュラー関数 。 Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 203.シュプリンガー・ フェルラーグページ203–226。ISBN 978-3-540-06382-7 。マイケル・アッカーマン（1979年2月1日）。 「特定のエイゼンシュタイン級数の母関数について」。数学アンナレン 。244 (1): 75–81 .土井 : 10.1007/BF01420339。S2CID 120045753。 ハリー・ラウフ、ハーシェル・M・ファルカス共著：『シータ関数とリーマン面への応用』、ウィリアムズ・アンド・ウィルキンス社、メリーランド州ボルチモア、1974年、ISBN 0-683-07196-3 。
Charles Hermite: Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus、CR Acad。科学。パリ、Nr. 1858年3月11日。
外部リンク Moiseev Igor. 「MatlabおよびOctave用の楕円関数」。 この記事は、 PlanetMath の「ヤコビのシータ関数の積分表現」からの資料を取り入れています。この資料は、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされています。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee051ca15813825e13589298c0efd02e3f68e0cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38521d263e968c6643113cb856744c3d8417638)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbc490b1dd786cc2ef221b6b0834661d3f41ac3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2f486ca65bf1df31851e9591220ff601cf6fb0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\タウ)&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd32c29ab16bda39187ec29c1169e8019bcb54af)
![{\displaystyle \theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e26186736a2e273adfa2732fea7ee65263231d4)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942b823ba5f2a5d89016b6493ca9cc3b187cb86f)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc3a6cd1621989208f56af90722f5230eecf7b6)
![{\displaystyle {\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d462b60e5965c30acaf2837ae9770eb3a3560f5)
![{\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80285f837f55ecc6e8a2d0b82edd47eb6a50467b)
![{\displaystyle \theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b778736b39bddab58af391077803cffab7928c6c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,\eta \left({\sqrt {-1}}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\sqrt[{8}]{108}}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {2+{\sqrt[{4}]{8}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {5}}}{5}}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{12^{3}}}}\\\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}}{{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {\sqrt[{16}]{7}}}}\\\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{64}}+{\sqrt[{4}]{80}}+{\sqrt[{4}]{81}}+{\sqrt[{4}]{100}}}}{\sqrt[{4}]{200}}}\\\varphi \left(e^{-11\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {11+{\sqrt {11}}+(5+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt{2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06e5700e306ee31cbf5d9565847590b4d4b966a)
![${\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087f2996a1cad31a875a6346e7b52be98453668f)
![${\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f01f0cb2fd209abfbb1ac4c204c509f2b3f47b74)
![{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51aea624bd4ccfed27077389532d4b07efda771e)
![{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3839f652515fbc383f7fa265b6541beaa7582c59)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a018fbcd1409ba1ebb0c85d8178fb163fa3ba0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s(q)&={\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&={\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de23ddbf5b96a5a2470d73ba10f05153d2a7e37d)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913e0c2a4e7f8efd215821d4423789caf3cc7382)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}{\frac {1}{15}}\,2^{3/8}\times \\&&\times {\biggl [}{\sqrt[{3}]{5}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\biggl (}{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{5+{\sqrt {2}}-3{\sqrt {3}}}}\,{\biggr )}-{\bigl (}2-{\sqrt {2}}\,{\bigr )}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\,{\biggr ]}\\\varphi \left(\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac \begin{array}} \end](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f37f7d59609f062b1826b22a23db9ff7a12a95)
![{\displaystyle \theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49fdbf249a5c77891ea7be62a7abdb74bfca9c20)
![{\displaystyle \theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab78a4868b53c96cb965bc889ba12f8e4fd5bd44)
![{\displaystyle 27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8b22b2491acbf41acf156847592744fe5efda4)
![{\displaystyle 27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db22a825f23c8747194677df1ba5b9cd6776c58)
![{\displaystyle [\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21698abd5cd7e4f2b57023ecd5dd70b3fd545ffb)
![{\displaystyle [\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc5563a31bcb890a22ebb282ad224297a82b287)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41eb7bba4644993c0994d693977d751526d68a1)
![{\displaystyle {\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d0741127e031b7079dffa001160094eb9b03c9)
![{\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122911c8d5591255a99de086a6643e60e8496af8)
![{\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bef51d2716d70a8054cd882a9c6a98aa234b16)
![{\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd8befdabb6ac82b6c4fff8f0a5bb89a1a5ac55)
![{\displaystyle S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q^{2})R(q)}}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968499610c12ca2700607ba9048ff01e2f8fe303)
![{\displaystyle {\frac {\theta _{3}(q^{1/5})}{\theta _{3}(q^{5})}}-1={\frac {1}{S(q)}}{\bigl [}S(q)^{2}+R(q^{2}){\bigr ]}{\bigl [}1+R(q^{2})S(q){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1f9826acfe6b0205eb7dec745ce83aae7e6d01)
![{\displaystyle 1-{\frac {\theta _{4}(q^{1/5})}{\theta _{4}(q^{5})}}={\frac {1}{R(q)}}{\bigl [}R(q^{2})+R(q)^{2}{\bigr ]}{\bigl [}1-R(q^{2})R(q){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6fd08483ead704a199a261edcf54d483835ad9)
![{\displaystyle \theta _{3}(q^{1/5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}={\bigl [}\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1+{\frac {1}{R(q^{2})S(q)}}+R(q^{2})S(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}+{\frac {1}{S(q)}}-S(q){\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87e7c0cdbc5280e1ca49f87d77c2924e364d6c6)
![{\displaystyle \theta _{4}(q)^{2}-\theta _{4}(q^{1/5})^{2}={\bigl [}\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1-{\frac {1}{R(q^{2})R(q)}}-R(q^{2})R(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}-{\frac {1}{R(q)}}+R(q){\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4601790cf31b8e82943713c410b532e4d75980)
![{\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece5e6b2598db08419e115b84fa8dc058e3980b8)
![\displaystyle \theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cc179f3c7fab7e4f664ea3a9ad3bed2c751a65)
![{\displaystyle \theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0b0e95b8b6fd152fc74a01c0f7fbab2b9a6555)
![{\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0608e409cfd0018afa26a9e4561bc8ce04b7c964)
![{\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05e65a1d4c792ec63055ed7d1d9a08f7faf285e)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}/2}{\biggr ]}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0218550f8623ef9dce9705bde847639ee6e6919)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{4}-\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c7f301cb452442a43e1fcd9c91ea78bc820ef9)
![${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a2e2b5ff5d3f65182b77f5be772944bc4d6ea2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428f8073ad45e4e54778db88a3dbb2f5b0ab1f30)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdb60358dddb241ffda786440efa91cc0844ca9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2358dd2d333a2740823f158700af932d247a2c7e)
![{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4e8c4e1616502c6de3e16bb661c1372b93c0fd)
![\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\theta _{2}(x)\theta _{3}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\theta _{2}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}}}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a311084c05bdae1b514737c2f0108933b9f8bae)
![{\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104d1b3737a0be4eda8a3a1e245186de9134a6e9)
![{\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{3}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5be9c018c56615a9085df89d3db2ca5d7d26b5)
![{\displaystyle \vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{3}(x){\biggr ]}-\vartheta _{3}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88237a98911175d2efc60c4d21094300a862abd)
![{\displaystyle {\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48152e52c3eb9c14398e29907e759b53900153c6)
![{\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d8a66693d1cd78fa0422519e6a5f523cfa1f69)
![{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}}=2^{-1/2}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{4}})^{1/2}=2^{-1/4}{\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3b3090803e98069d65099cffee88f085fb58b6)
![{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}}=2^{-1/6}3^{-1/8}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2456d11eb2e069e9d2eac7d2cc91561418429672)
![\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/8}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e6d7302b7c5a86bd706212afbf5c0dddc4be6d)
![{\displaystyle \theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/4}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c0cdf2fb31e0ad42c1c55d8562d70da28f2203)
![${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x)_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{-1/6}\theta _{4}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45936d0522b1f639420fa97f49e237424fa4a51)
![{\displaystyle (x;x)_{\infty }=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab59cb2fcf2f3ddc6f1e10561a526de51f516f3)
![${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf3d08f52a11ebbc9e5b9289d4f784f60f103d7)
![{\displaystyle \theta _{4}(x)={\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed01dd893d339d67b7cffd351479d11bd83f819)
