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多重線形代数は、複数のベクトル値引数を持つ関数の研究であり、関数は各引数に関して線形写像である。これには、行列、テンソル、多重ベクトル、線形方程式系、高次元空間、行列式、内積と外積、双対空間などの概念が含まれる。これは、工学、機械学習、物理学、数学で使用される数学的ツールである。[ 1 ]
多くの理論的概念や応用は単一のベクトルを扱っているが、ヘルマン・グラスマンなどの数学者は、ベクトルを一般化するペア、トリプレット、マルチベクトルを含む構造を考察した。複数の組み合わせの可能性により、マルチベクトルの空間は2 n次元に拡張される。ここでnは関連するベクトル空間の次元である。[ 2 ]行列式は多重線形代数の構造を用いて抽象的に定式化できる。
多重線形代数は、さまざまな弾性係数を含む、材料の応力とひずみに対する機械的応答の研究に登場します。「テンソル」という用語は、その付加的な構造により、多重線形空間内の要素を表します。グラスマンが1844年に著した『拡張理論』（1862年にも再版）という初期の研究にもかかわらず、この主題は当初広く理解されていませんでした。当時の通常の線形代数でさえ、多くの課題を抱えていたからです。
多重線形代数の概念は、多変数微積分や多様体の特定の研究、特にヤコビ行列に関して応用されています。一変数微積分で遭遇する無限小微分は、多変数微積分では微分形式に変換され、その操作は外積代数を用いて行われます。[ 3 ]
グラスマンに続いて、多重線形代数の発展は、 1872年にヴィクトル・シュレーゲルが『空間学体系』[ 4 ]の第一部を出版したこと、そしてエルヴィン・ブルーノ・クリストッフェルによってなされました。特に、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロとトゥリオ・レヴィ＝チヴィタ[ 5 ]の研究、とりわけ多重線形代数における絶対微分計算の形で大きな進歩がありました。マルセル・グロスマンとミケーレ・ベッソはこの形式をアルベルト・アインシュタインに紹介し、1915年にアインシュタインが水星の近日点歳差運動を説明する一般相対性理論を発表したことで、多重線形代数とテンソルは物理学における重要な数学的ツールとして確立されました。
1958年、ニコラ・ブルバキは、自身のシリーズ「Éléments de mathématique」の代数学の章に、「Algèbre Multilinéaire」というタイトルの多重線形代数に関する章を収録した。この章では、双線形関数、2つのモジュールのテンソル積、テンソル積の性質などのトピックを扱っている。 [ 6 ]
多重線形代数の概念は、以下のような様々な分野で応用されています。