波

物理学、数学、工学、および関連分野において、波動とは、 1 つ以上の量の伝播する動的な外乱 (平衡からの変化) です。周期波は、ある周波数で平衡 (静止) 値の周りを繰り返し振動します。波形全体が一方向に動く場合、進行波と呼ばれます。対照的に、反対方向に移動する2 つの重ね合わせた周期波は定在波になります。定在波では、振動の振幅がヌルになる位置があり、そこでは波の振幅が小さくなったり、ゼロになったりします。

古典物理学で最も一般的に研究されている波には、力学波と電磁波の 2 種類があります。力学波では、応力場とひずみ場が機械的平衡の周りで振動します。力学波は、ある物理的媒体における局所的な変形 (ひずみ)であり、局所的な応力を作り出して隣接する粒子にもひずみを引き起こすことで、粒子から粒子へと伝播します。たとえば、音波は、媒体中を伝播する局所的な圧力と粒子の運動の変化です。力学波の他の例としては、地震波、重力波、表面波、弦の振動などがあります。電磁波 (光など) では、電場と磁場の結合により、マクスウェル方程式に従ってこれらの場を含む波の伝播が維持されます。電磁波は、真空や一部の誘電体媒体 (透明と見なされる波長)を伝わります。電磁波は、その周波数（または波長）によって決まり、電波、赤外線、テラヘルツ波、可視光線、紫外線、X線、ガンマ線など、より具体的な名称が付けられています。

その他の種類の波には、一般相対性理論に従って伝播する時空の擾乱である重力波、熱拡散波、機械的変形と電磁場を組み合わせたプラズマ波、ベロウソフ・ジャボチンスキー反応などの反応拡散波など、多数の波があります。機械波と電磁波はエネルギー、^[1]運動量、情報を転送しますが、媒体内の粒子を転送することはありません。数学と電子工学では、波は信号として研究されます。^[2]一方、定在波（音楽の基礎）や跳水など、まったく動かないエンベロープを持つ波もあります。

物理的な波動場は、ほとんどの場合、その領域と呼ばれる空間の有限領域に限定されます。たとえば、地震によって生成される地震波は、地球の内部と表面でのみ重要であるため、それ以外の場所では無視できます。ただし、空間全体に広がる無限領域を持つ波は、数学でよく研究されており、有限領域内の物理的な波を理解するための非常に貴重なツールです。

平面波は、特定の移動方向に垂直な任意の（無限の）平面に沿って擾乱が同一となる重要な数学的理想化である。数学的に最も単純な波は、どの点でも場が1 つの周波数で単振動する正弦平面波である。線形媒体では、複雑な波は一般に、異なる伝播方向および/または異なる周波数を持つ多くの正弦平面波の合計として分解できる。各点での場擾乱が伝播方向（エネルギー伝達方向でもある）に垂直なベクトルで記述される場合、平面波は横波として分類され、それらのベクトルが伝播方向と揃っている場合は縦波として分類される。機械波には横波と縦波の両方が含まれるが、一方、電磁平面波は厳密に横波であるのに対し、流体（空気など）内の音波は縦波のみである。伝播方向に対する振動場の物理的な方向は、波の偏光とも呼ばれ、重要な属性となることがある。

波は、フィールドと同じように、つまり が位置で が時間の 関数として記述できます。 ${\displaystyle F(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

の値は空間の点、具体的には波が定義されている領域内の点です。数学的には、これは通常、直交3次元空間のベクトルです。ただし、多くの場合、1つの次元を無視して、 を直交平面 の点とすることができます。これは、たとえば、太鼓の皮の振動を調べる場合です。直交直線 の点、つまり実数の集合に制限することもできます。これは、たとえば、バイオリンの弦やリコーダーの振動を調べる場合です。一方、時間 は常にスカラー、つまり実数であると想定されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle t}$

の値は、点 に割り当てられ、時間とともに変化する可能性のある任意の物理量にすることができます。たとえば、 が弾性固体内の振動を表す場合、 の値は通常、振動がない場合に点にある物質粒子の からの現在の変位を与えるベクトルです。電磁波の場合、 の値は、電場ベクトル、磁場ベクトル、またはポインティング ベクトルなどの関連する量にすることができます。流体力学では、 の値は、点 における流体の速度ベクトル、または圧力、温度、密度などの任意のスカラー プロパティにすることができます。化学反応では、 は、反応媒体の点 付近の物質の濃度にすることができます。 ${\displaystyle F(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E\times H}$${\displaystyle F(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(x,t)}$${\displaystyle x}$

任意の次元（1、2、または3）について、波の領域はのサブセットであり、関数の値はの任意の点に対して定義されます。たとえば、ドラム皮の動きを記述する場合、 を原点 を中心とする平面上のディスク（円）と見なし、の点および の時刻における皮の垂直変位を とすることができます。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle F(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle F(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D}$${\displaystyle t}$

同じ種類の波は、多くの場合、空間と時間の特定のポイントで重ね合わされ、同時に発生します。そのポイントでの特性は、そのポイントでの各成分波の特性の合計です。一般に、速度は同じではないため、波形は時間と空間に応じて変化します。

ときには、特定の波だけに興味があることもあります。しかし、多くの場合、考えられる波の大きな集合を理解する必要があります。たとえば、ドラムスティックで一度叩いた後にドラムの皮がどのように振動するか、空港に接近している可能性のある飛行機から受信できるレーダーエコーなどです。

こうした状況のいくつかでは、および に加えて、特定のパラメータに依存する関数によってそのような波の族を記述することができます。その後、これらのパラメータに異なる値を選択することで、異なる波、つまりおよびの異なる関数を得ることができます。 ${\displaystyle F(A,B,\ldots ;x,t)}$ ${\displaystyle A,B,\ldots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

例えば、リコーダー内で「純粋な」音を演奏しているときの音圧は、通常、定在波であり、次のように表すことができます。

${\displaystyle F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos 2\pi x{\frac {2n-1}{4L}}\right)\left(\cos 2\pi ct{\frac {2n-1}{4L}}\right)}$

パラメータ は波の振幅（つまり、音の大きさに関連するボア内の最大音圧）を定義します。 は音速、はボアの長さ、 は定在波の節の数を指定する正の整数（1、2、3、...）です。 （位置 はマウスピースから、時間はマウスピースの圧力が最大になる瞬間から測定する必要があります。 量は放出された音の波長、 はその周波数です。）これらの波の多くの一般的な特性は、パラメータに特定の値を選択しなくても、この一般的な方程式から推測できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$${\displaystyle L}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda =4L/(2n-1)}$${\displaystyle f=c/\lambda }$

別の例として、一回の打撃後のドラムの皮の振動は、皮の中心から打撃点までの距離と打撃の強さにのみ依存する場合があります。この場合、考えられるすべての打撃の振動は関数 で記述できます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle F(r,s;x,t)}$

場合によっては、関心のある波の族には無限のパラメータがあります。たとえば、金属棒をその長さに沿ったさまざまなポイントでさまざまな温度に加熱し、その後真空中で自然に冷却したときに、金属棒の温度に何が起こるかを説明したい場合があります。その場合、パラメータはスカラーまたはベクトルではなく、棒の各ポイントの初期温度である関数である必要があります。その後の時間の温度は、関数に依存する関数（つまり、関数演算子）によって表すことができるため、その後の時間の温度は次のようになります。${\displaystyle h}$${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle h}$${\displaystyle F(h;x,t)}$

波の族を記述および研究する別の方法は、 の値を明示的に与える代わりに、それらの値が時間とともにどのように変化するかのみを制約する数式を与えることです。すると、問題の波の族は、それらの制約を満たすすべての関数、つまり方程式の すべての解から構成されます。${\displaystyle F(x,t)}$${\displaystyle F}$

このアプローチは物理学において極めて重要である。なぜなら、制約は通常、波の発展を引き起こす物理的プロセスの結果であるからである。例えば、均質で等方性の固体材料のブロック内の温度が である場合、その発展は偏微分方程式によって制約される。${\displaystyle F(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta Q(x,t)}$

ここで、 は、 の近傍で、 の時間に単位体積および単位時間あたりに生成される熱です（たとえば、そこで起こる化学反応によって）。は点 の直交座標です。はの に関する（1 次）導関数です。はに関するの 2 次導関数です。（記号「」は、ある変数に関する導関数では、他のすべての変数は固定であると見なす必要があることを意味します。） ${\displaystyle Q(p,f)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \partial F/\partial t}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \partial ^{2}F/\partial x_{i}^{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \partial }$

この方程式は、固体媒体における熱の拡散を支配する物理法則から導き出されます。そのため、この方程式は温度以外の多くの物理量にも適用されますが、数学では熱方程式と呼ばれています。

別の例として、容器内のガス内で反響するすべての音を、その容器内の特定の時点の圧力を表す関数で表すことができます。ガスが当初均一な温度と組成であった場合、その変化は次の式で制約されます。 ${\displaystyle F(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta P(x,t)}$

ここでは、スピーカーやピストンなどの外部プロセスによって近くのガスに追加の圧縮力が加えられています。 ${\displaystyle P(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

この同じ微分方程式は、均質な等方性非伝導性固体における機械的振動と電磁場の挙動を記述します。この方程式が熱流の方程式と異なるのは、左辺が の時間に関する の1 次導関数 ではなく の 2 次導関数である点だけです。しかし、この小さな変化が解の集合に大きな違いをもたらします。この微分方程式は、非常に特殊な種類の波のみを記述しますが、数学では「波動方程式」と呼ばれます。 ${\displaystyle \partial ^{2}F/\partial t^{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \partial F/\partial t}$${\displaystyle F}$

弦（媒体）上を 伝わる横波（パルス波）を考えてみましょう。弦は単一の空間次元を持つと考えます。この波が伝わる横波として考えます。

• 空間内の方向。たとえば、正の方向を右、負の方向を左とします。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• 一定の振幅で ${\displaystyle u}$
• 一定 の速度で、${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$
  • 波長に依存しない（分散なし）
  • 振幅に依存しない（非線形ではなく線形媒体）。^{[4] [5]}
• 一定の波形、または形状を持つ

この波は2次元関数で記述できる。

あるいは、より一般的には、ダランベールの公式によって表される：^[6] 2つの成分波形を表し、媒体中を反対方向に伝わる。この波の一般化された表現は、偏微分方程式として得られる^[7]。$${\displaystyle u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt).}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

一般的な解はデュアメルの原理に基づいています。^[8]

ダランベールの公式におけるFの形には、引数x − vtが関係している。この引数の定数はFの定数に対応し、これらの定数はx がvt の増加と同じ速度で増加する場合に発生する。つまり、関数Fのような形の波は、正のx方向に速度vで移動する（そしてG は負のx方向に同じ速度で伝播する）。^[9]

周期λの周期関数Fの場合、つまりF ( x + λ − vt ) = F ( x − vt ) の場合、空間におけるFの周期性は、特定の時刻tにおける波のスナップショットから、空間内で周期λ (波の波長)で周期的に変化する波が見つかることを意味します。同様に、このFの周期性は時間における周期性も意味します。vT = λであれば、 F ( x − v ( t + T )) = F ( x − vt ) であるため、固定位置 x で波を観測すると、周期T = λ / vで時間的に周期的に波打っている波が見つかります。^[10]

波の振幅は一定（この場合、波は CWまたは連続波）の場合もあれば、時間や位置によって変化するように変調される場合もあります。振幅の変化の輪郭は、波のエンベロープと呼ばれます。数学的には、変調された波は次の形式で表すことができます。^{[11] [12] [13]} ここで、は波の振幅エンベロープ、は波数、は位相です。群速度（下記参照）が波長に依存しない場合、この式は次のように簡略化できます。^{[14] は、エンベロープが群速度とともに移動し、その形状を維持することを示しています。そうでない場合、群速度が波長によって変化する場合は、パルス形状は、多くの場合、}エンベロープ方程式 を使用して説明される方法で変化します。^{[14] [15]}$${\displaystyle u(x,t)=A(x,t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$${\displaystyle A(x,\ t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v_{g}}$ $${\displaystyle u(x,t)=A(x-v_{g}t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$

波に関連する速度には、位相速度と群速度の 2 つがあります。

位相速度は、波の位相が空間を伝播する速度です。波の任意の位相（たとえば、波の波頭）は、位相速度で移動するように見えます。位相速度は、波長 λ（ラムダ）と周期 Tで次のように表されます。 $${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.}$$

群速度は、定義されたエンベロープを持つ波の特性であり、波の振幅の全体的な形状、つまり波の変調またはエンベロープの空間を伝搬する速度 (つまり位相速度) を測定します。

平面波は、値が 1 つの空間方向でのみ変化する波の一種です。つまり、その値はその方向に垂直な平面上では一定です。平面波は、波が変化する方向を示す単位長さのベクトルと、その方向に沿った変位 ( ) と時間 ( )の関数として波がどのように変化するかを表す波プロファイルによって指定できます。波プロファイルはの組み合わせ内の位置にのみ依存するため、 に垂直な方向の変位は場の値に影響しません。 ${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$${\displaystyle {\hat {n}}}$

平面波は、発生源から遠く離れた電磁波をモデル化するためによく使用されます。平面電磁波の場合、電場と磁場自体は伝播方向に対して横向きであり、また互いに垂直です。

定在波は、定常波とも呼ばれ、包絡線が一定の位置に留まる波です。この現象は、反対方向に伝わる 2 つの波の干渉の結果として発生します。

2 つの反対方向に伝播する波 (振幅と周波数が等しい) の合計は、定在波を作成します。定在波は一般に、境界によって波の伝播が妨げられ、波の反射が起こり、反対方向に伝播する波が導入される場合に発生します。たとえば、バイオリンの弦がずれると、横波が弦がブリッジとナットで固定されている場所まで伝播し、そこで波が反射します。ブリッジとナットでは、2 つの反対方向の波は逆位相になり、互いに打ち消し合って節を形成します。2 つの節の中間には腹があり、ここでは 2 つの反対方向に伝播する波が最大限に強め合います。時間の経過とともにエネルギーの正味の伝播はありません。

• 
  1次元定在波;基本モードと最初の5倍音
• 
  ディスク上の2次元定在波。これが基本モードです。
• 
  中心で交差する 2 つの節線を持つ円盤上の定在波。これが倍音です。

ソリトンまたは孤立波は、一定の速度で伝播しながらその形状を維持する自己強化波束です。ソリトンは、媒体内の非線形効果と分散効果の相殺によって発生します。(分散効果は、波の速度が周波数に依存する特定のシステムの特性です。) ソリトンは、物理システムを記述する弱非線形分散偏微分方程式の広範なクラスの解です。

波の伝播とは、波が伝わるあらゆる方法です。伝播方向に対する振動の方向によって、縦波と横波を区別することができます。

電磁波は物質媒体だけでなく真空中でも伝播します。音波などの他の波の伝播は伝送媒体でのみ発生する可能性があります。

平面波の伝播と反射、例えば圧力波 ( P 波) やせん断波 (SH 波または SV 波)は、古典的地震学の分野で初めて特徴付けられた現象で、現在では現代の地震トモグラフィーの基本概念と考えられています。この問題の解析的解法は存在し、よく知られています。周波数領域解は、まず変位場のヘルムホルツ分解を見つけ、それを波動方程式に代入することで得られます。ここから、平面波の固有モードを計算できます。^{[要出典] [要説明]}

半空間におけるSV波の解析解は、特殊なケースを除いて、平面SV波がP波とSV波として領域に反射することを示しています。反射SV波の角度は入射波と同じですが、反射P波の角度はSV波よりも大きくなります。同じ波の周波数では、SV波長はP波長よりも小さくなります。この事実は、このアニメーション画像に描かれています。^[16]

SV 波と同様に、P 入射は一般に P 波と SV 波として反射します。ただし、状況が異なる特殊なケースもあります。^{[説明が必要]}

波速度は、エネルギー (および情報) の伝播に関する波の位相と速度を表す、さまざまな種類の波速度の一般的な概念です。位相速度は次のように表されます 。ここで、 $${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\omega }{k}},}$$

• v _{p は}位相速度（SI単位はm/s）であり、
• ωは角周波数（SI単位はrad/s）です。
• k は波数です（SI 単位は rad/m）。

位相速度は、離散周波数で波の一定位相の点が移動する速度を示します。角周波数ωは波数kから独立して選択することはできませんが、両者は分散関係によって関連しています。 $${\displaystyle \omega =\Omega (k).}$$

特殊なケースΩ( k ) = ck（ cは定数）では、すべての周波数が同じ位相速度cで伝わるため、波は非分散的と呼ばれます。たとえば、真空中の電磁波は非分散的です。分散関係の他の形式の場合は、分散波になります。分散関係は、波が伝わる媒体と波の種類（たとえば、電磁波、音波、水波）によって異なります。

狭い範囲の周波数から生成された波束が移動する速度は群速度と呼ばれ、分散関係の勾配から決定されます。 $${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$$

ほとんどの場合、波は主に媒体を通るエネルギーの動きです。ほとんどの場合、群速度はエネルギーがこの媒体を移動する速度です。

波は、次のようないくつかの標準的な状況下で共通の動作を示します。

波は通常、伝送媒体中を直線的に移動します。このような媒体は、次の 1 つ以上のカテゴリに分類できます。

• 範囲が有限であれば境界のある媒体、そうでなければ境界のない媒体
• 媒体内の任意の特定の点における異なる波の振幅を加算できる場合、線形媒体である。
• 均一媒体または均質媒体とは、空間内の異なる場所で物理的特性が変化しない媒体である。
• 異方性媒体とは、1つ以上の物理的特性が1つ以上の方向で異なる媒体である。
• 等方性媒体とは、その物理的特性がすべての方向で同じである媒体である。

波は通常、波のエネルギーのほとんどまたはすべてが損失なく伝播できる媒体で定義されます。ただし、材料が波からエネルギーを取り除き、通常は熱に変換する場合、その材料は「損失がある」と特徴付けられることがあります。これは「吸収」と呼ばれます。透過または反射のいずれかで波のエネルギーを吸収する材料は、複素屈折率で特徴付けられます。吸収の量は一般に波の周波数 (波長) によって決まります。これは、たとえば、物体が色付きで見える理由を説明しています。

波が反射面に当たると、方向が変わり、入射波と表面の法線とのなす角度が、反射波と同法線とのなす角度と等しくなり ます。

屈折とは、波の速度が変化する現象です。数学的には、位相速度の大きさが変化することを意味します。通常、屈折は波が 1 つの媒体から別の媒体に渡されるときに発生します。波が物質によって屈折する量は、物質の屈折率によって決まります。入射方向と屈折方向は、スネルの法則によって 2 つの物質の屈折率と関連しています。

波は、波を曲げる障害物に遭遇したとき、または開口部から出た後に広がったときに回折を示します。回折効果は、障害物または開口部のサイズが波の波長に匹敵する場合に、より顕著になります。

線形媒体（通常の場合）の波が空間領域で互いに交差する場合、実際には相互作用するのではなく、もう一方の波が存在しないかのように進み続けます。ただし、その領域のどの点でも、それらの波を記述する場の量は重ね合わせの原理に従って加算されます。波が同じ周波数で固定位相関係にある場合、通常、2 つの波が同位相で振幅が加算される位置と、位相がずれて振幅（部分的または完全に）が打ち消される位置があります。これは干渉パターンと呼ばれます。

偏光現象は、波動が 2 つの直交方向に同時に発生する場合に発生します。たとえば、横波は偏光できます。偏光が修飾語なしで記述子として使用される場合、通常は線形偏光の特殊で単純なケースを指します。横波は、1 つの方向または平面でのみ振動する場合に線形偏光されます。線形偏光の場合、振動が発生する移動方向に垂直な平面の相対的な方向 (たとえば、偏光面が地面と平行である場合は「水平」) を追加すると便利なことがよくあります。たとえば、自由空間を伝播する電磁波は横方向であり、偏光フィルターを使用して偏光できます。

音波などの縦波は偏光を示しません。これらの波では、振動の方向は 1 つだけ、つまり移動方向に沿っています。

波は、位相速度または群速度のいずれかが波の周波数に依存するときに分散します。分散は、白色光をプリズムに通すことによって最も簡単に確認でき、その結果、虹の色のスペクトルが生成されます。アイザック・ニュートンは光とプリズムの実験を行い、白色光はいくつかの色で構成されており、これらの色はそれ以上分解できないという発見を光学（1704）で発表しました。^[17]

ドップラー効果またはドップラーシフトは、波源に対して移動する観測者に対する波の周波数の変化です。 ^[18]この現象は1842年に オーストリアの物理学者クリスチャン・ドップラーにちなんで名付けられました。

機械波は物質の振動であり、媒体を介してエネルギーを伝達します。^[19]波は長距離を移動できますが、伝達媒体である物質の動きには制限があります。したがって、振動する物質は初期位置から遠く移動しません。機械波は、弾性と慣性を備えた媒体でのみ生成されます。機械波には、横波、縦波、表面波の3種類があります。

弦の横振動は張力と慣性の関数であり、両端が固定されているため弦の長さによって制約されます。この制約により、可能な定常モードが制限され、それによって周波数も制限されます。振動する弦に沿って伝わる横波の速度( v ) は、弦の張力( T )の平方根と線質量密度( μ )に正比例します。

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

ここで、線密度μは弦の単位長さあたりの質量です。

音響波または音波は、次式で与えられる速度で実体波として伝わる圧縮波です。

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}},}$

または、断熱体積弾性係数を媒体の周囲密度で割った値の平方根（音速を参照）。

• 池の表面の波紋は、実際には横波と縦波の組み合わせであるため、表面上の点は軌道を描きます。
• 音 – 気体、液体、固体、プラズマを通じて伝播する機械的な波。
• 回転する流体で発生し、コリオリの力によって復元される慣性波。
• 海面波は水を介して伝播する擾乱である。

実体波は、密度と弾性率 (剛性) の観点から材料特性によって制御される経路に沿って媒体の内部を伝わります。密度と弾性率は、温度、組成、材料相によって異なります。この効果は光波の屈折に似ています。2 種類の粒子運動により、一次波と二次波という 2 種類の実体波が発生します。

地震波は、地球の地層を伝わるエネルギーの波であり、地震、火山の噴火、マグマの動き、大規模な地滑り、および低周波の音響エネルギーを放出する大規模な人工爆発によって発生します。地震波には、実体波（一次波（P波）と二次波（S波））と、レイリー波、ラブ波、ストンリー波などの表面波が含まれます。

衝撃波は伝播する擾乱の一種である。波が流体中の局所的な音速よりも速く移動するとき、それは衝撃波である。通常の波と同様に、衝撃波はエネルギーを運び、媒体中を伝播することができるが、媒体の圧力、温度、密度の突然の、ほぼ不連続な変化を特徴とする。 ^[20]

せん断波は、せん断剛性と慣性による実体波です。せん断波は固体のみを伝わり、十分に高い粘度を持つ液体でも伝わりにくい場合があります。

• 交通波、つまり自動車の密度の違いによる伝播などは運動波としてモデル化できる^{[21] [22]}
• メタクロナル波とは、協調された連続的な動作によって生成される進行波の出現を指します。

電磁波は、電場と磁場の振動である 2 つの波で構成されています。電磁波は、両方の場の振動方向に対して直角の方向に進みます。19 世紀に、ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、真空中では、電場と磁場はどちらも光速に等しい速度で波動方程式を満たすことを示しました。このことから、光は電磁波であるという考えが生まれました。光と電磁波の統一は、1880 年代末にヘルツによって実験的に確認されました。電磁波は異なる周波数 (したがって波長) を持つことができ、電波、マイクロ波、赤外線、可視光、紫外線、X 線、ガンマ線などの波長帯に分類されます。これらの各帯域の周波数の範囲は連続しており、各帯域の制限は、通常の人間の目で見える必要がある可視光を除いて、ほぼ任意です。

シュレーディンガー方程式は、量子力学における粒子の波動的な振る舞いを記述します。この方程式の解は、粒子の確率密度を記述するために使用できる 波動関数です。

ディラック方程式は、電磁相互作用を詳細に記述する相対論的波動方程式です。ディラック波は、水素スペクトルの細部を非常に厳密に説明しました。また、波動方程式は、これまで疑われず、観測もされていなかった新しい形態の物質、反物質の存在を示唆し、実験的に確認されました。量子場理論の文脈では、ディラック方程式は、スピン1 ⁄ 2粒子に対応する量子場を記述するために再解釈されます。

ルイ・ド・ブロイは、運動量を持つすべての粒子は波長を持つ と仮定した。

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

ここで、hはプランク定数、p は粒子の運動量の大きさです。この仮説は量子力学の基礎となりました。現在、この波長はド・ブロイ波長と呼ばれています。たとえば、CRTディスプレイの電子のド・ブロイ波長は約 10 ⁻¹³  m です。

k方向に移動する粒子を表す波は、波動関数によって次のように表されます。

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\,t=0)=Ae^{i\mathbf {k\cdot r} },}$

ここで波長は波数ベクトル kによって次のように決定されます。

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}},}$

そして勢いは:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .}$

しかし、このような明確な波長を持つ波は空間に局在していないため、空間に局在した粒子を表すことはできません。粒子を局在化するために、ド・ブロイは波束[24]の中心値の周りを囲む異なる波長の重ね合わせを提案しました。^波束は量子力学で粒子の波動関数を記述するためによく使用される波形です。波束では、粒子の波長は正確ではなく、局所的な波長は主波長値の両側にずれています。

局在粒子の波動関数を表現する際に、波束はしばしばガウス形状をとるとみなされ、ガウス波束と呼ばれる。^{[25] [26] [27]}ガウス波束は水波の解析にも使用される。^[28]

例えば、ガウス波動関数ψは次の形を取る：^[29]

${\displaystyle \psi (x,\,t=0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}+ik_{0}x\right),}$

ある初期時刻t = 0 において、中心波長は中心波数ベクトルk ₀とλ ₀ = 2π / k _{0の関係にある。}フーリエ解析の理論^[30]やハイゼンベルクの不確定性原理(量子力学の場合) から、局在した波束を生成するには狭い範囲の波長が必要であり、エンベロープが局在するほど必要な波長の広がりが大きくなることはよく知られている。ガウス分布のフーリエ変換は、それ自体がガウス分布である。^[31]ガウス分布を考えると:

${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)},}$

フーリエ変換は次のようになります。

${\displaystyle {\tilde {f}}(k)=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2}.}$

したがって、空間内のガウス分布は波で構成されています。

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\ {\tilde {f}}(k)e^{ikx}\ dk;}$

つまり、kλ = 2 π となるような波長λの波の数です。

パラメータ σ はx軸に沿ったガウス分布の空間的な広がりを決定しますが、フーリエ変換は1/ σによって決定される波数ベクトル kの広がりを示します。つまり、空間の広がりが小さいほど、 kの広がりは大きくなり、したがってλ = 2π/ kの広がりが大きくなります。

重力波は、重力または浮力が平衡を回復しようと働くときに、流体媒体内または 2 つの媒体の境界面で生成される波です。最もよく知られている例は、水面上の表面波です。

重力波も宇宙を伝わってきます。重力波の最初の観測は2016年2月11日に発表されました。 ^{[32]重力波は}時空 の曲率の乱れであり、アインシュタインの一般相対性理論によって予言されています。

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