係数

数学において、係数とは、多項式、級数、またはその他のタイプの式の何らかの項に含まれる乗法的な因数である。係数は単位のない数値である場合があり、その場合には数値因数と呼ばれる。^[1]また、係数は測定単位 を持つ定数である場合もあり、その場合には定数乗数と呼ばれる。^[1]一般に、係数は任意の式（a、b、cなどの変数を含む）である。^{[2] [1]}変数と定数の組み合わせが必ずしも積に含まれていない場合、その組み合わせはパラメータと呼ばれることがある。^[1] たとえば、多項式の係数は 2、−1、3 であり、多項式の変数の累乗には係数パラメータ、、および がある。 ${\displaystyle 2x^{2}-x+3}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

あ定数係数 は、定数項または単に定数とも呼ばれ変数の0 乗に暗黙的に関連付けられる量、または式内の他の変数に関連付けられない量です3 =c ⋅ x⁰c主係数と呼ばれます。たとえば、上記の例の式では、主係数はそれぞれ 2 とa。

微分方程式の文脈では、これらの方程式は、1 つ以上の未知関数とその導関数の多項式で表すことができることが多いです。このような場合、微分方程式の係数はこの多項式の係数であり、これらは非定数関数である可能性があります。係数は、定数関数のときに定数係数です。混乱を避けるために、この文脈では、未知関数またはその導関数に関連しない係数は、一般に定数係数ではなく定数項と呼ばれます。特に、定数係数 を持つ線型微分方程式では、定数係数項は一般に定数関数とは見なされません。

数学において、係数とは、多項式、級数、または任意の式の項に含まれる乗法的な因数です。たとえば、 変数 と を持つ多項式では、最初の 2 つの項の係数は 7 と -3 です。3 番目の項 1.5 は定数係数です。最後の項の係数は 1 で、明示的には書かれません。 $${\displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

多くのシナリオでは、係数は数値ですが (前の例の各項の場合のように)、問題のパラメータ、またはこれらのパラメータの任意の式である可能性があります。このような場合、変数を表す記号とパラメータを表す記号を明確に区別する必要があります。ルネ・デカルトに従って、変数はx、y、... で表され、パラメータはa、b、c、... で表されますが、常にそうであるとは限りません。たとえば、上記の式でy がパラメータと見なされる場合、 xの係数は-3 yになり、定数係数 ( xに関して) は1.5 + yになります。

と書く場合、 一般的にx が唯一の変数であり、a、b、cがパラメータである と想定されます。したがって、この場合、 定数係数はcです。$${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$$

一変数xの任意の多項式は、非負の整数 （係数） についてと表記できます 。これには、いくつかの項が係数 0 を持つ可能性も含まれます。たとえば、 ではの係数は0 で、項 は明示的には現れません。となる最大の（もしあれば） に対して、は多項式の主係数と呼ばれます。たとえば、多項式の主係数 は 4 です。これは、単項式順序 に関する多変数多項式に一般化できます。グレブナー基底 § 主項、係数、単項式を参照してください。 $${\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}}$${\displaystyle x^{3}-2x+1}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 0x^{2}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}\neq 0}$${\displaystyle a_{i}}$$${\displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$$

線型代数では、連立一次方程式は係数行列によって表されることが多い。たとえば、 関連する係数行列が次の方程式系である。係数行列は、ガウス消去法やクラメールの定理 などのアルゴリズムで使用され、系の解を求める。 $${\displaystyle {\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.}$

行列の行の先頭エントリ（先頭係数 [ 要出典 ] と呼ばれることもある）は、その行の最初の非ゼロエントリです。したがって、たとえば、行列の 最初の行の^{先頭係数は} 1、2 行目の先頭係数は 2、3 行目の先頭係数は 4 ですが、最後の行には先頭係数がありません。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},}$$

係数は初等代数学では定数として見られることが多いが、文脈が広がるにつれて変数として見ることもできる。例えば、基底を持つベクトル空間におけるベクトルの座標は 、式における基底ベクトルの係数である。 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n})}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace }$$${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.}$$

• 相関係数
• 多項式の次数
• モニック多項式
• 二項係数

• Sabah Al-hadad と CH Scott (1979) College Algebra with Applications、42 ページ、Winthrop Publishers、ケンブリッジ、マサチューセッツ州ISBN 0-87626-140-3。 
• Gordon Fuller、Walter L Wilson、Henry C Miller、(1982) College Algebra、第 5 版、24 ページ、Brooks/Cole Publishing、カリフォルニア州モントレーISBN 0-534-01138-1。