ジョン・フォン・ノイマン

ジョン・フォン・ノイマン
1940年代のフォン・ノイマン
米国原子力委員会委員
在任期間 ：1955年3月15日～1957年2月8日
社長	ドワイト・D・アイゼンハワー
先行	ユージン・M・ザッカート
後継者	ジョン・S・グラハム
個人情報
生まれる	ノイマン・ヤーノシュ・ラヨシュ ( 1903-12-28 )1903年12月28日ハンガリー王国 ブダペスト
死亡	1957年2月8日(1957-02-08)（53歳） ワシントンD.C.、米国
休憩所	プリンストン墓地
市民権	ハンガリー アメリカ合衆国
母校	パズマーニ・ペーテル大学 ベルリン大学 チューリッヒ工科大学
知られている	量子力学の数学的定式化、ゲーム理論、スペクトル理論、エルゴード理論、フォン・ノイマン代数、ジョン・フォン・ノイマンにちなんで名付けられたものの一覧
配偶者たち	マリエッタ・コヴェシ ​ ​ （ 1930年結婚 、 1937年離婚）  クララ・ダン ​ （ 1938年生まれ）
子供たち	マリーナ・フォン・ノイマン・ホイットマン
受賞歴	ボッチャー記念賞（1938年） 海軍優秀民間人賞（1946年） 功労勲章（1946年） 自由勲章（1956年） エンリコ・フェルミ賞(1956) カール・グスタフ・ロスビー研究賞(1957)
科学者としてのキャリア
フィールド	論理学、数学、数理物理学、理論物理学、統計学、経済学、コンピュータサイエンス、理論生物学、化学、コンピューティング
機関	ゲッティンゲン大学 ベルリン大学 ハンブルク大学 プリンストン大学 高等研究所 ロスアラモス研究所 国防研究委員会 米国国防総省 米国原子力委員会
論文	Az általános halmazelmélet axiomatikus felepítése (一般集合論の公理的構築)  (1925)
博士課程の指導教員	リポト・フェイエル
その他の学術アドバイザー	ラースロー・ラーツ ガボル・セゴ マイケル・フェケテ ヨージェフ・キュルシャック[1] デイヴィッド・ヒルベルト エアハルト・シュミット[2] ヘルマン・ワイル ジョージ・ポリア[3]
博士課程の学生	ドナルド・B・ギリーズ イスラエル・ハルペリン[5] フリードリヒ・マウトナー[6]
その他の著名な学生	ユージン・ウィグナー[7] ポール・ハルモス ピーター・ラックス ブノワ・マンデルブロ[8]
サイン

ジョン・フォン・ノイマン（/ v ɒ n ˈ n ɔɪ m ən / von NOY -mən ;ハンガリー語：Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ] ; 1903年12月28日 - 1957年2月8日）は、ハンガリーおよびアメリカの数学者、物理学者、コンピューター科学者、エンジニアである。フォン・ノイマンは、おそらく同時代のどの数学者よりも広範囲にわたる研究対象を持ち、^[9]純粋科学と応用科学を統合し、数学、物理学、経済学、コンピューター科学、統計学など、多くの分野に大きな貢献をした。彼は、量子物理学の数学的枠組みの構築、関数解析の開発、ゲーム理論の先駆者であり、セルオートマトン、万能構築子、デジタルコンピュータなどの概念を導入または体系化しました。自己複製の構造に関する彼の分析は、DNAの構造の発見に先行していました。

第二次世界大戦中、フォン・ノイマンはマンハッタン計画に参加した。彼は爆縮型核兵器に使われる爆発レンズの数学的モデルを開発した。^[10]戦前と戦後、彼は科学研究開発局、陸軍弾道研究所、軍事特殊兵器計画、オークリッジ国立研究所など多くの組織の顧問を務めた。^[11] 1950年代に彼の影響力はピークに達し、戦略ミサイル評価委員会やICBM科学諮問委員会など国防総省の多くの委員会の議長を務めた。彼はまた、国内の原子力開発のすべてを担当する影響力のある原子力委員会のメンバーでもあった。彼はバーナード・シュリーバーやトレバー・ガードナーとともに、米国初のICBM計画の設計と開発において重要な役割を果たした。^{[12]当時、彼は}核兵器に関する国内有数の専門家であり、米国防総省を代表する防衛科学者であると考えられていた。

フォン・ノイマンの貢献と知的能力は、物理学、数学、その他さまざまな分野の同僚から賞賛された。彼が受けた賞賛は、自由勲章から、彼にちなんで名付けられた月のクレーターまで多岐にわたる。

フォン・ノイマンは1903年12月28日、ハンガリー王国（当時はオーストリア＝ハンガリー帝国の一部）のブダペストで裕福で非宗教的なユダヤ人家庭に生まれた。 ^{[13] [14] [15]}彼の出生名はノイマン・ヤーノシュ・ラヨシュであった。ハンガリー語では姓が先に来るため、彼の名は英語のジョン・ルイスに相当する。^[16]

彼は3人兄弟の長男で、2人の弟妹はミハイ（ミヒャエル）とミクローシュ（ニコラス）だった。^[17]父ノイマン・ミクサ（マックス・フォン・ノイマン）は銀行家で、法学の博士号を持っていた。 1880年代末にペーチからブダペストに移住した。 ^{[18]ミクサの父と祖父はハンガリー北部}ゼンプレーン県オンド（現在はシェレンツの一部）で生まれた。ジョンの母はカン・マルギット（マーガレット・カン）^{[19]であり、彼女の両親は}マイゼルス家のカン・ヤカブとマイゼルス・カタリンだった。^[20]カン家の3世代はブダペストのカン・ヘラー事務所の上の広々としたアパートに住んでいた。フォン・ノイマンの家族は最上階の18部屋のアパートに住んでいた。^[21]

1913年2月20日、フランツ・ヨーゼフ皇帝はオーストリア＝ハンガリー帝国への貢献を称え、ヨハンの父をハンガリー貴族に昇格させた。[ ^22]こうしてノイマン家は「マルギッタの」（現在のルーマニア、マルギタ）を意味するマルギタイという世襲称を得た。この家系は町とは何の関係もなかった。この称号はマルガレーテにちなんで選ばれたものであり、3人のマルグリットを描いた紋章もこの由来である。ノイマン・ヤーノシュはマルギッタイ・ノイマン・ヤーノシュ（マルギッタのヨハン・ノイマン）となり、後にドイツ人のヨハン・フォン・ノイマンに改名した。^[23]

フォン・ノイマンは神童で、6歳にして8桁の数字2つを暗算し^{[24] [25]}、古代ギリシャ語で会話することができた。^{[26]彼と彼の兄弟、そして彼のいとこたちは家庭教師から教育を受けた。フォン・ノイマンの父は母国語である}ハンガリー語以外の言語の知識が不可欠であると信じていたので、子供たちは英語、フランス語、ドイツ語、イタリア語の家庭教師を受けた。^[27]フォン・ノイマンは8歳までに微分積分に精通し、12歳までにボレルの『関数理論』を読んでいた。^[28]彼は歴史にも興味があり、ヴィルヘルム・オンケンの46巻からなる世界史シリーズ『Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen 』 (モノグラフによる一般史)を読んだ。^[29]アパートの部屋の一つは図書室と読書室に改装された。^[30]

フォン・ノイマンは1914年にルーテル派のファソーリ・エヴァンゲリクス・ギムナジウムに入学した^。[31] ユージン・ヴィグナーはフォン・ノイマンより1年先輩で、すぐに友人になった。^[32]

フォン・ノイマンの父は、年齢相応の学年レベルの学校に通うよう主張したが、フォン・ノイマンに高度な指導をするために家庭教師を雇うことに同意した。15歳で、彼は分析学者のガーボル・シェゲーのもとで高度な微積分を学び始めた。^[32] 19歳までに、フォン・ノイマンは2つの主要な数学論文を発表し、そのうちの2番目の論文では、ゲオルク・カントールの定義に取って代わる現代的な序数の定義を示した。 ^[33]ギムナジウムでの教育を終える際、彼は数学の国家賞であるエトヴェシュ賞に応募し、受賞した。^[34]

友人のセオドア・フォン・カルマンによると、フォン・ノイマンの父はジョンにも産業界に進んでほしいと考え、カルマンに息子に数学を取らないよう説得するよう頼んだという。^[35]フォン・ノイマンと父は、最善の進路は化学工学だと決めた。これはフォン・ノイマンにはあまり知識がなかったため、ベルリン大学で2年間の非学位課程の化学を履修するよう手配され、その後 チューリッヒ工科大学の入学試験を受け、^[36] 1923年9月に合格した。^[37]同時にフォン・ノイマンはブダペストのパズマーニ・ペーテル大学に入学し、 ^[38]数学の博士課程に在籍した。論文では、カントルの集合論の公理化を示した。^{[39] [40]}彼は1926年にチューリッヒ工科大学で化学工学の学位を取得し、同時に数学の博士号（実験物理学と化学を副専攻）の最終試験に首席で合格した。^{[41] [42]} しかし、シルビア・ナサールの「ビューティフル・マインド」では、フォン・ノイマンはベルリンで数学を学びながら、ブダペスト大学で化学工学を学んでいたと述べられている。 ^[33]

その後、ロックフェラー財団の助成金を得てゲッティンゲン大学に入学し、デイヴィッド・ヒルベルトの下で数学を学んだ。^[43]ヘルマン・ワイルは、1926年から1927年の冬、フォン・ノイマン、エミー・ネーター、そして彼が授業の後に「ゲッティンゲンの寒くて雨に濡れた通り」を歩きながら、超複素数系とその表現について議論していたことを覚えている。^[44]

フォン・ノイマンの資格取得は1927年12月13日に完了し、1928年にベルリン大学の私講師^{として講義を始めた。 [45]}彼は大学史上最年少で私講師に選ばれた人物であった。 ^[46]彼はほぼ毎月1本の数学の主要な論文を書き始めた。^{[47] 1929年に彼は}ハンブルク大学の私講師となり、そこでは終身教授になる見込みがより高かった。^[48]その後、同年10月にプリンストン大学に数理物理学の客員講師として移った。^[49]

フォン・ノイマンは1930年にカトリックの洗礼を受けた。 ^[50]その後まもなく、ブダペスト大学で経済学を学んでいたマリエッタ・コヴェシと結婚した。^[49]フォン・ノイマンとマリエッタの間には1935年に生まれた娘マリーナがおり、彼女は教授となった。^[51]夫婦は1937年11月2日に離婚した。 ^[52] 1938年11月17日、フォン・ノイマンはクララ・ダーンと結婚した。^{[53] [54]}

1933年、フォン・ノイマンはニュージャージー州の高等研究所の終身教授職に就いたが、その研究所はヘルマン・ワイルを教授に任命する計画が失敗したように見えた。^[55]彼の母、兄弟、義理の家族は1939年にフォン・ノイマンを追ってアメリカに渡った。 ^[56]フォン・ノイマンはドイツ貴族の姓であるフォン・ノイマンのまま、名前をジョンと英語化した。^{[23]フォン・ノイマンは1937年に}帰化してアメリカ市民となり、すぐにアメリカ陸軍の将校予備隊の中尉になろうとした。彼は試験に合格したが、年齢を理由に拒否された。^[57]

クララとジョン・フォン・ノイマンは地元の学界で社交的だった。^[58]ウェストコット通りにある彼の白い下見板張りの家はプリンストンでも最大級の私邸だった。^[59]彼はいつもフォーマルなスーツを着ていた。^[60]彼はイディッシュ語と「下品な」ユーモアを楽しんだ。^[28]プリンストンでは、ドイツ行進曲を非常に大きな音で演奏していると苦情を受けた。^[61]フォン・ノイマンは騒々しく混沌とした環境で最高の仕事をした。^[62]チャーチル・アイゼンハートによると、フォン・ノイマンは朝方までパーティーに出席し、8時半に講義をすることができた。^[63]

彼は、あらゆる能力レベルの人々に科学的、数学的なアドバイスを喜んで提供することで知られていました。^{[4] [64] [65]}ウィグナーは、彼が他のどの現代の数学者よりも多くの仕事を（カジュアルな意味で）指導したかもしれないと書いています。^[66]彼の娘は、彼が自分の人生と世界への知的貢献の永続性という2つの側面で自分の遺産を非常に気にかけていたと書いています。^[67]

多くの人は彼を、個人的または組織的な問題には比較的簡単に譲歩するが、技術的な問題には強く主張する、優れた委員長だとみなした。ハーバート・ヨークは、彼が参加した多くの「フォン・ノイマン委員会」を「スタイルと成果の両面で注目に値する」と評した。フォン・ノイマンが委員長を務めた委員会が、必要な軍や企業と直接かつ密接に連携した方法は、空軍のすべての長距離ミサイル計画の青写真となった。^[68]フォン・ノイマンを知る多くの人は、軍や権力構造全般に対する彼の関係に困惑した。 [69]スタニスワフ・ウラムは、他人の考えや意思決定に影響を与える可能性のある人々や組織に対して、彼がひそかに尊敬の念を抱いているのではないかと疑った。^{[ 70]}

彼はまた、若い頃に学んだ言語の知識を維持していた。ハンガリー語、フランス語、ドイツ語、英語を流暢に話し、イタリア語、イディッシュ語、ラテン語、古代ギリシャ語も会話レベルで話せた。スペイン語はそれほど完璧ではなかった。^[71]彼は古代史に情熱を持ち、百科事典のような知識を持っていた。 ^{[72] [73]また、}古代ギリシャの歴史家が書いた原文のギリシャ語を読むのが好きだった。ウラムは、これらの知識が、将来の出来事がどのように展開するか、そして人間の性質や社会が一般的にどのように機能するかについての彼の見解を形成したのではないかと考えていた。^[74]

フォン・ノイマンのアメリカにおける最も親しい友人は数学者スタニスワフ・ウラムであった。^[75]フォン・ノイマンは、自分の数学的思考の多くは直感的に生じたものだと信じていた。問題を解かないまま眠りにつき、目覚めると答えを知っていることがよくあった。 ^[62]ウラムは、フォン・ノイマンの思考方法は視覚的ではなく、むしろ聴覚的かもしれないと指摘した。^[76]ウラムは、「抽象的なウィットを好むこととはまったく関係なく、彼はより現実的なタイプのコメディやユーモアを強く評価していた（ほとんど渇望と言ってもいいかもしれない）。」と回想している。^[77]

1955年、フォン・ノイマンの鎖骨近くに腫瘤が見つかり、骨格、膵臓、または前立腺に由来する癌であることが判明した。（腫瘍が転移していたことについては一般的な見解があるが、原発癌の位置については情報源が異なっている。）^{[78] [79]}悪性腫瘍はロスアラモス国立研究所での放射線被曝によって発生した可能性がある。^[80]死期が近づくと、彼は司祭を頼み、カトリックに改宗したが、司祭は後に、フォン・ノイマンは改宗や臨終の儀式にほとんど慰めを見出せなかったと回想している 。彼は依然として死を恐れ、それを受け入れられなかった。^{[81] [82] [83] [84]}フォン・ノイマンは自身の宗教観について、「非信者が永遠の罰を受ける可能性がある限り、最後には信者でいる方が論理的だ」とパスカルの賭けに言及して語ったと伝えられている。彼は母親に「神はいるはずだ。もし神がいるなら、多くのことは説明しやすい」と打ち明けた。^{[85] [86]}

彼は1957年2月8日にウォルター・リード陸軍医療病院で亡くなり、プリンストン墓地に埋葬された。^{[87] [88]}

20世紀初頭、素朴集合論に数学の基礎を置く取り組みは、ラッセルのパラドックス（自分自身に属さないすべての集合の集合に関するもの）のために挫折した。 ^[89]集合論の適切な公理化の問題は、約20年後にエルンスト・ツェルメロとアブラハム・フランケルによって暗黙的に解決された。ツェルメロ-フランケル集合論は、数学の日常的な実践で使用される集合の構築を可能にする一連の原理を提供したが、自分自身に属する集合の存在の可能性を明示的に排除しなかった。1925年の博士論文で、フォン・ノイマンはそのような集合を排除する2つの手法、基礎公理とクラスの概念を示した。^[90]

基礎公理は、ツェルメロ＝フランケル原理によって、あらゆる集合は下から上へと順序立てて構築できると提唱した。ある集合が他の集合に属する場合、最初の集合は必然的に2番目の集合より先に来なければならない。これにより、集合がそれ自身に属する可能性は排除される。この新しい公理を他の公理に加えても矛盾が生じないことを示すために、フォン・ノイマンは内部モデル法を導入した。これは集合論において不可欠な証明手段となった。^[90]

集合が自分自身に属する問題に対する2番目のアプローチは、クラスの概念を基礎とし、集合を他のクラスに属するクラスとして定義し、一方、真クラスは他のクラスに属さないクラスとして定義される。ツェルメロ-フランケルのアプローチでは、公理が、自分自身に属さないすべての集合の集合の構築を妨げる。対照的に、フォン・ノイマンのアプローチでは、自分自身に属さないすべての集合のクラスは構築できるが、それは集合ではなく真クラスである。^[90]

全体として、集合論におけるフォン・ノイマンの主な業績は、「集合論の公理化と（それに関連して）序数と基数のエレガントな理論、そして超限帰納法による定義の原理の最初の厳密な定式化」であった。^[91]

フェリックス・ハウスドルフ（1914）のハウスドルフのパラドックスを基に、ステファン・バナッハとアルフレッド・タルスキは1924年に3次元球を互いに素な集合に分割し、これらの集合を平行移動および回転させて同じ球の2つの同一コピーを形成する方法を示した。これがバナッハ・タルスキのパラドックスである。彼らはまた、2次元円板にはそのような逆説的な分解がないことも証明した。しかし1929年に^[92]フォン・ノイマンは円板を有限個の部分に分割し、平行移動と回転の代わりに面積保存アフィン変換を使用してそれらを2つの円板に再配置した。その結果はアフィン変換の自由群を見つけることに依存しており、これは後にフォン・ノイマンが測度論の研究で拡張した重要な手法であった。^[93]

集合論におけるフォン・ノイマンの貢献により、集合論の公理系は、それ以前の体系の矛盾を回避し、一貫性の証明がないにもかかわらず、数学の基礎として使えるようになった。次の疑問は、それが提起できるすべての数学的な質問に決定的な答えを提供しているかどうか、あるいはより広範な定理を証明するために使用できるより強力な公理を追加することで改善できるかどうかであった。 ^[94]

1927年までに、フォン・ノイマンはゲッティンゲンで、初等算術がペアノの公理に従うかどうかについての議論に参加していた。^[95]アッカーマンの研究を基に、彼は（ヒルベルト学派の有限主義的方法を用いて）一階算術の無矛盾性を証明しようと試み始めた。彼は（帰納法の制限を用いて）自然数の算術の断片の無矛盾性を証明することに成功した。^[96]彼は証明論の方法を用いて古典数学の無矛盾性のより一般的な証明を探し続けた。^[97]

それが決定的かどうかという問いに対する強く否定的な答えは、1930年9月の「正確科学の認識論に関する第二回会議」で出された。この会議でクルト・ゲーデルは不完全性に関する第一定理を発表した。それは、通常の公理体系は、その言語で表現できるすべての真理を証明できないという意味で不完全である、というものである。さらに、これらの体系の一貫した拡張はすべて、必然的に不完全のままである、というものである。^[98]会議でフォン・ノイマンはゲーデルに、整数に関する決定不可能な命題に対する彼の結果を変換してみるよう提案した。^[99]

それから1ヶ月も経たないうちに、フォン・ノイマンはゲーデルに彼の定理の興味深い帰結を伝えた。それは、通常の公理体系はそれ自身の一貫性を証明することができないということである。^{[98]ゲーデルは、現在}第二不完全性定理として知られるこの帰結をすでに発見しており、両方の結果を含む論文のプレプリントを送ると返事したが、それは出版されなかった。^{[100] [101] [102]}フォン・ノイマンは次の手紙でゲーデルの優先性を認めた。^[103]しかし、フォン・ノイマンの証明方法はゲーデルのものと異なり、また第二不完全性定理はゲーデルが考えていたよりもずっと大きな打撃をヒルベルトのプログラムに与えたという意見であった。^{[104] [105]}この発見により、フォン・ノイマンは数学の厳密さに関する考え方が劇的に変わり、数学とメタ数学の基礎研究をやめ、代わりに応用に関連した問題に時間を費やすようになった。^[106]

1932年に発表された一連の論文で、フォン・ノイマンはエルゴード理論に基礎的な貢献をした。エルゴード理論は不変測度を持つ力学系の状態を扱う数学の一分野である。^[107] 1932年のエルゴード理論に関する論文について、ポール・ハルモスは「フォン・ノイマンが他に何もしていなかったとしても、それらの論文は彼の数学的不滅を保証するのに十分だっただろう」と書いている。^{[108]その時までにフォン・ノイマンは既に}作用素理論に関する論文を書いており、この研究の応用は平均エルゴード定理に役立った。^[109]

この定理は任意の1パラメータ ユニタリ群に関するもので、 ヒルベルト空間内の任意のベクトルに対して、ヒルベルトノルムによって定義される計量の意味で存在し、すべての に対してとなるようなベクトルであることを述べている。これは最初の論文で証明された。2番目の論文でフォン・ノイマンは、ここでの結果はボルツマンのエルゴード仮説に関連する物理的応用には十分であると主張した。彼はまた、エルゴード性はまだ達成されていないことを指摘し、これを将来の研究のために切り離した。^[110]${\displaystyle {\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}}$${\displaystyle \phi }$${\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle V_{t}(\psi )=\psi }$${\displaystyle t}$

その年の後半に彼は、エルゴード性の体系的な研究の始まりとなるもう一つの影響力のある論文を発表した。彼は、実数直線のエルゴード測度保存作用が、すべての測度保存作用を構築できる基本的な構成要素であることを示す分解定理を提示し、証明した。他のいくつかの重要な定理も提示され、証明された。この論文とポール・ハルモスとの共著による他の論文の結果は、数学の他の分野に重要な応用がある。^{[110] [111]}

測度論では、 n次元ユークリッド空間 R ⁿの「測度の問題」は、「 R ⁿのすべての部分集合のクラス上に、正で正規化された不変の加法集合関数が存在するか？」と述べられることがある。 ^[112]フェリックス・ハウスドルフとステファン・バナッハの研究は、測度の問題は、n = 1またはn = 2の場合に正の解を持ち、それ以外の場合は負の解（バナッハ＝タルスキーのパラドックスのため）を持つことを示唆していた。フォン・ノイマンの研究は、「問題は本質的に群論的な性質である」と主張した。測度の存在は、与えられた空間の変換群の特性を見ることで決定できる。最大 2 次元の空間に対する正の解と、それより高い次元に対する負の解は、ユークリッド群が最大 2 次元に対しては解ける群であり、それより高い次元に対しては解けないという事実に由来する。 「したがって、フォン・ノイマンによれば、違いを生むのは群の変化であり、空間の変化ではない。」^[113] 1942年頃、彼はドロシー・マハラムに、すべての完全な σ有限 測度空間が乗法的リフティングを持つことを証明する方法を授けた。彼はこの証明を公表せず、彼女は後に新しい証明を思いついた。^[114]

フォン・ノイマンの多くの論文では、彼が用いた議論の方法が結果よりもさらに重要であると考えられている。フォン・ノイマンは、後の作用素の代数における次元理論の研究を見越して、有限分解による同値性の結果を使用し、測度の問題を関数の観点から再定式化した。^{[115]フォン・ノイマンが測度理論に果たした大きな貢献は、}ハールの問いに答えるために書かれた論文の結果であった。その問いとは、実数直線上のすべての有界関数の代数が存在し、それらが「ほぼどこでも等しい測定可能な有界関数のクラスの代表の完全なシステム」を形成するかどうかであった。 ^[116]彼はこれを肯定的に証明し、後の論文ではストーンとこの問題のさまざまな一般化と代数的側面について議論した。^[117]彼はまた、さまざまな一般的なタイプの測度の崩壊の存在を新しい方法で証明した。フォン・ノイマンはまた、関数の平均値を用いたハール測度の一意性に関する新たな証明も行ったが、この方法はコンパクト群に対してのみ有効であった。^{[116]これを}局所コンパクト群に適用するには、まったく新しい手法を考案する必要があった。^{[118]彼はまた、}ラドン・ニコディムの定理に対する新しい独創的な証明も行った。^[119]高等研究所での測度論に関する講義ノートはその当時アメリカでこのテーマに関する重要な知識源となり、後に出版された。^{[120] [121] [122]}

フォン・ノイマンは測度論に関する以前の研究を利用して、群上の概周期関数に関する論文から始まり、位相群の理論にいくつかの貢献をした。この論文では、フォン・ノイマンはボーアの概周期関数の理論を任意の群に拡張した。 ^[123]彼はボッホナーと共同で別の論文を発表し、概周期理論を改良して、線形空間の要素を数ではなく値として取る関数を含めた。 ^[124] 1938年、これらの論文に関連した解析学の研究で、彼はボッホナー記念賞を受賞した。 ^{[125] [126]}

1933年の論文で、彼はコンパクト群の場合のヒルベルトの第5問題の解決に、新たに発見されたハール測度を使用した。^{[127]この背後にある基本的な考え方は、数年前にフォン・ノイマンが}線型変換の群の解析的性質に関する論文を発表し、一般線型群の閉部分群がリー群であることを発見したときに発見された。^{[128]これは後に}カルタンによって閉部分群定理の形で任意のリー群に拡張された。^{[129] [116]}

フォン・ノイマンは抽象ヒルベルト空間を公理的に定義した最初の人物である。彼はそれをエルミート・スカラー積を持つ複素ベクトル空間として定義し、対応するノルムは可分かつ完全であるとした。同じ論文で彼はまた、それまで特定の例でしか知られていなかったコーシー・シュワルツの不等式の一般形を証明した。 ^[130]彼は1929年から1932年にかけて3つの独創的な論文でヒルベルト空間の作用素のスペクトル理論の発展を続けた。 ^[131]この研究は彼の『量子力学の数学的基礎』にまとめられ、これは同じ年のストーンとバナッハの他の2冊の本と並んでヒルベルト空間理論に関する最初のモノグラフとなった。^{[132]他の人によるそれ以前の研究では、}弱い位相の理論はシーケンスを使用しても得られないことが示されていた。フォン・ノイマンは、困難を克服する方法のプログラムを初めて概説し、その結果、局所凸空間と位相ベクトル空間を初めて定義しました。さらに、当時彼が定義した他のいくつかの位相的性質（彼はハウスドルフの新しい位相的アイデアをユークリッド空間からヒルベルト空間に適用した最初の数学者の一人でした）^[133]、例えば境界性や全境界性などは現在でも使用されています。^[134] 20年間、フォン・ノイマンはこの分野の「誰もが認める巨匠」と見なされていました。^{[116]これらの発展は主に}量子力学の必要性によって促され、フォン・ノイマンはエルミート作用素のスペクトル理論を境界付きの場合から境界なしの場合に拡張する必要性を認識しました。^{[135]これらの論文における他の主要な業績としては、}正規作用素のスペクトル理論の完全な解明、正作用素のトレースの最初の抽象的な提示、^{[136] [137]当時の}リースのヒルベルトのスペクトル定理の提示の一般化、および自己随伴作用素とは異なるヒルベルト空間におけるエルミート作用素の発見があり、これにより、与えられたエルミート作用素を拡張するすべてのエルミート作用素の記述が可能になった。彼は、当時スペクトル理論で一般的だった無限行列は、エルミート作用素の表現としては不十分であった。彼の作用素論に関する研究は、純粋数学における最も深遠な発明、フォン・ノイマン代数、そして一般に作用素代数の研究につながった。^[138]

後の作用素環に関する研究は、スペクトル理論に関する研究を再検討し、ヒルベルト空間の直接積分を用いて幾何学的内容を扱う新しい方法を提供することにつながった。^[135]測度論に関する研究と同様に、彼はいくつかの定理を証明したが、それらは公表する時間がなかった。彼はナフマン・アロンザインとKT・スミスに、1930年代初頭に不変部分空間問題に取り組んでいるときに、ヒルベルト空間内の完全連続作用素に対する適切な不変部分空間の存在を証明したと語った。^[139]

彼はIJシェーンベルクとともに、実数直線上の変換不変ヒルベルト計量に関するいくつかの論文を書き、その結果、計量の完全な分類に至った。その動機は、計量空間をヒルベルト空間に埋め込むことに関するさまざまな疑問にある。^{[140] [141]}

彼はパスクアル・ジョルダンとともに、平行四辺形の恒等式を用いて内積から与えられたノルムを初めて導出する短い論文を書いた。^[142]彼のトレース不等式は、行列近似問題で使用される行列理論の重要な結果である。^[143]彼はまた、ユニタリ不変ノルムと対称ゲージ関数（現在は対称絶対ノルムとして知られている）の理論を議論した最初の主要論文で、プレノルムの双対がノルムであるというアイデアを初めて提示した。^{[144] [145] [146]この論文は自然に対称}作用素イデアルの研究につながり、対称作用素空間の現代的な研究の出発点となっている。^[147]

後にロベルト・シャッテンとともにヒルベルト空間上の核作用素の研究を開始し、^{[148] [149]} バナッハ空間のテンソル積^[150]、トレース類作用素^[151]のイデアル、コンパクト作用素との双対性、有界作用素とのプレデュアリティ^[152]を導入して研究した。このテーマをバナッハ空間上の核作用素の研究に一般化したことは、アレクサンダー・グロタンディークの最初の業績の一つ​​であった。^{[153] [154]}フォン・ノイマンは1937年にこの分野でいくつかの結果を発表しており、例えば、 の異なるクロスノルムの1パラメータスケールを与え、現在シャッテン–フォン・ノイマン・イデアルとして知られているものに関するいくつかの他の結果を証明している。^[155]${\displaystyle {\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}}$

フォン・ノイマンは、フォン・ノイマン代数（当初は W*-代数と呼ばれていた）を通じて、作用素環の研究を確立した。作用素環に関する彼の独自のアイデアは1930 年にはすでに存在していたが、彼がその研究を深く始めたのは、数年後にFJ マレーと出会うまでなかった。 ^{[156] [157]}フォン・ノイマン代数は、弱作用素位相で閉じられ、恒等作用素を含むヒルベルト空間上の有界作用素の*-代数である。^[158]フォン・ノイマンの二可換定理は、解析的定義が二可換 と等しい純粋に代数的な定義と同値であることを示している。^[159]可換代数の場合の研究を解明した後、フォン・ノイマンは1936年にマレーと部分的に協力して、非可換の場合、つまりフォン・ノイマン代数の因数分類の一般的な研究に着手した。1936年から1940年の間に彼がその理論を展開した6つの主要な論文は「20世紀の解析学の傑作に数えられる」。 [ ^160]これらの論文は多くの基礎的な結果を集め、その後数十年にわたって数学者が取り組む作用素代数理論のいくつかのプログラムを開始した。一例は因数の分類である。^[161]さらに1938年に彼は可分ヒルベルト空間上のすべてのフォン・ノイマン代数は因数の直接積分であることを証明した。彼は1949年までこの結果を発表する時間がなかった。^{[162] [163]}フォン・ノイマン代数は非可換積分の理論と密接に関係しており、フォン・ノイマンは研究の中でそれをほのめかしていたが、明示的には書き記していなかった。^{[164] [165]}極分解に関するもう一つの重要な結果は1932年に発表された。^[166]

1935年から1937年にかけて、フォン・ノイマンは格子理論、すなわち2つの要素ごとに最大下限と最小上限を持つ半順序集合の理論に取り組んだ。ギャレット・バーコフは「ジョン・フォン・ノイマンの優れた頭脳は格子理論を流星のように輝かせた」と記している。^[167]フォン・ノイマンは伝統的な射影幾何学と現代代数学（線型代数、環理論、格子理論）を融合させた。それまで幾何学的であった多くの結果が、環上の一般加群の場合に解釈できるようになった。彼の研究は、射影幾何学における現代の研究の一部に基礎を置いた。^[168]

彼の最大の貢献は連続幾何学の分野を創設したことである。^[169]これは作用素環に関する画期的な研究に続くものである。数学において連続幾何学は複素射影幾何学の代替物であり、離散集合内の部分空間の次元の代わりに単位区間の要素とすることができる。それより前に、メンガーとバーコフは複素射影幾何学をその線型部分空間の格子の性質の観点から公理化した。フォン・ノイマンは作用素環に関する研究に続いて、それらの公理を弱め、より広い格子のクラスである連続幾何学を記述した。 ${\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

射影幾何学の部分空間の次元は離散集合（非負の整数）であるが、連続幾何学の要素の次元は単位区間 にわたって連続的に変化する。フォン・ノイマンは、次元関数が連続的な次元範囲を取るフォン・ノイマン代数の発見に動機づけられ、射影空間以外の連続幾何学の最初の例は、超有限タイプII因子の射影であった。^{[170] [171]}${\displaystyle [0,1]}$

より純粋な格子理論の研究において、彼は（任意の分割環上の連続次元射影幾何学）の類を格子理論の抽象言語で特徴付けるという困難な問題を解決した。^{[172]フォン・ノイマンは、完備}補完モジュラー位相格子（内積空間の部分空間の格子に生じる性質）における次元の抽象的な探求を行った。${\displaystyle {\mathit {CG(F)}}}$ ${\displaystyle {\mathit {F}}\,}$

次元は、正の線形変換を除き、次の 2 つの特性によって決定されます。次元は、透視写像 (「パースペクティビティ」) によって保存され、包含によって順序付けられます。証明の最も深い部分は、パースペクティビティと「分解による射影性」の等価性に関するもので、その帰結としてパースペクティビティの推移性が求められます。

任意の整数に対して、次元抽象射影幾何学はすべて、（唯一の）対応する分割環上の次元ベクトル空間の部分空間格子に同型である。これはヴェブレン・ヤングの定理として知られている。フォン・ノイマンは、射影幾何学におけるこの基本的な結果を連続次元の場合に拡張した。^[173]この座標定理は、抽象射影幾何学と格子理論におけるかなりの研究を刺激し、その多くはフォン・ノイマンの手法を使用して継続された。^{[168] [174]}バーコフはこの定理を次のように説明した。${\displaystyle n>3}$${\displaystyle {\mathit {n}}}$${\displaystyle {\mathit {n}}}$ ${\displaystyle V_{n}(F)}$${\displaystyle F}$

n ≥ 4の対の視点要素の「基底」を持つ任意の補完モジュラー格子L は、適切な正則環Rのすべての主右イデアルの格子ℛ( R )と同型です。この結論は、まったく新しい公理を含む 140 ページに及ぶ鮮やかで鋭い代数の集大成です。フォン・ノイマンの頭脳の鋭さについて忘れられない印象を得たい人は、この正確な推論の連鎖を自分で追ってみるだけで十分です。その 5 ページは、しばしば、リビングルームの書き物机に座り、朝食前に書き留められたものであることに気付くでしょう。^[175]

この研究には正則環の作成が必要だった。^[176]フォン・ノイマン正則環とは、任意の に対してとなる元が存在する環である。^{[175]これらの環はフォン・ノイマン代数、} AW*-代数、さまざまな種類のC*-代数に関する研究に由来し、それらと関連している。^[177]${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle axa=a}$

上記の定理の創造と証明の過程で、特に分配性（無限分配性など）に関する多くの小さな技術的成果が証明され、フォン・ノイマンは必要に応じてそれらを発展させた。彼はまた、格子における付値の理論を開発し、計量格子の一般理論の開発に協力した。^[178]

バーコフはフォン・ノイマンに関する死後の論文で、これらの結果のほとんどは2年間の集中的な研究期間で開発されたものであり、1937年以降も格子理論への関心は続いたが、それらは周辺的なものとなり、主に他の数学者への手紙の中で生じたと述べている。1940年の最後の貢献は、バーコフと高等研究所でこのテーマについて共同で行ったセミナーで、σ完全格子整列環の理論を展開した。彼はこの研究を出版するために書き上げることはなかった。^[179]

フォン・ノイマンは数理統計学に根本的な貢献をした。1941年、彼は独立かつ同一に正規分布する変数の連続差の平均二乗と標本分散の比の正確な分布を導いた。^[180]この比は回帰モデルの残差に適用され、誤差が連続的に独立しているという帰無仮説と、誤差が定常な一次自己回帰に従うという対立仮説を検定するためのダービン・ワトソン統計量^[181]としてよく知られている。^[181]

その後、デニス・サーガンとアロック・バーガヴァは、回帰モデルの誤差がガウスランダムウォーク（つまり単位根を持つ）に従うかどうかと、それが定常一次自己回帰であるという代替案をテストするために結果を拡張した。^[182]

フォン・ノイマンは、若い頃に集合論的実解析と数論に関する論文をいくつか発表した。^[183]​​ 1925年の論文で、彼は 内の任意の稠密な点列に対して、それらの点が に一様分布する並び替えが存在することを証明した。^{[184] [185] [186] 1926年に彼が発表した唯一の論文は、}プリューファーのイデアル代数的数の理論に関するもので、そこで彼はイデアル代数的数を構成する新しい方法を発見し、それによってプリューファーの理論をすべての代数的数体に拡張し、それらのp 進数との関係を明らかにした。^{[187] [188] [189] [190] [191]} 1928年に彼はこれらのテーマを継続する2つの論文を発表した。最初の論文は、区間を可算な数の合同な部分集合に分割することを扱ったものである。フォン・ノイマンは、確かに、半開区間、開区間、閉区間のいずれであっても、すべての区間は平行移動で - 割り切れる（つまり、これらの区間は平行移動によって合同な部分集合に分解できる）ことを証明した。^{[192] [193] [194] [195]}彼の次の論文は、選択公理によらずに代数的に独立した実数が存在するという構成的証明を与えることについて扱った。彼は、 が に対して代数的に独立であることを証明した。したがって、連続体の大きさの完全な代数的に独立した実数集合が存在する。^{[196] [197] [198] [199]彼の初期の}キャリアからのその他の小さな結果には、変分法の分野における最小化関数の勾配に対する最大原理の証明、^{[200] [201] [202] [203]および幾何整数論における}ヘルマン・ミンコフスキーの定理の小さな簡略化がある。^{[204] [205] [206]その後、}パスクアル・ジョーダンとユージン・ウィグナー とともに、有限次元の形式的に実なジョルダン代数を分類し、アルバート代数を発見する基礎論文を執筆し、より良い代数を求める試みを行った。${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}}$${\displaystyle r>0}$ 量子論のための数学的形式主義。^{[207] [208]} 1936年に彼は、無限次元の場合を研究する論文の中で、以前のヒルベルト空間計画の公理をジョルダン代数の公理に置き換えるプログラムをさらに進めようとした。[ ^{209 ] 彼はこのテーマについて少なくとももう1本の論文を書くつもりだったが、結局書かなかった。[210]それにもかかわらず、これらの公理は、}アーヴィング・シーガルによって始められた代数量子力学のさらなる研究の基礎となった。^{[211] [212]}

フォン・ノイマンは、1932年に発表された影響力の大きい著書『量子力学の数学的基礎』において、量子力学の厳密な数学的枠組み、いわゆるディラック・フォン・ノイマン公理を確立した最初の人物である。^[213]集合論の公理化を終えた後、彼は量子力学の公理化に取り組み始めた。1926年に彼は、量子系の状態は（複素）ヒルベルト空間内の点として表すことができ、その空間は一般に単一の粒子に対しても無限次元になり得ることに気づいた。量子力学のこの形式主義では、位置や運動量などの観測可能な量は、量子系に関連付けられたヒルベルト空間に作用する線形演算子として表される。^[214]

量子力学の物理学は、それによってヒルベルト空間とそこに作用する線型作用素の数学に還元された。例えば、粒子の位置の決定は運動量の決定を妨げるし、その逆もまた真であるという不確定性原理は、2つの対応する作用素の非可換性に変換される。この新しい数学的定式化には、ハイゼンベルクとシュレーディンガーの両方の定式化が特別なケースとして含まれていた。^[214]

フォン・ノイマンの抽象的な扱いにより、彼は決定論と非決定論という根本的な問題に立ち向かうことができ、その本の中で、量子力学の統計的結果は、古典的な統計力学のように、決定された「隠れた変数」の基礎となる集合の平均ではあり得ないという証明を提示した。1935年、グレーテ・ヘルマンは、その証明には概念的な誤りがあり、したがって無効であると主張する論文を発表した。^{[215]ヘルマンの研究は、1966年に}ジョン・S・ベルが本質的に同じ主張をするまで、ほとんど無視されていた。 ^[216] 2010年、ジェフリー・バブは、ベルがフォン・ノイマンの証明を誤解していると主張し、その証明はすべての隠れた変数理論に有効ではないものの、明確に定義された重要なサブセットを排除していると指摘した。バブはまた、フォン・ノイマンはこの限界を認識しており、彼の証明が隠れた変数理論を完全に排除したとは主張していなかったことを示唆している。^[217]バブの議論の妥当性は、今度は論争の的となっている。 1957年のグリーソンの定理は、フォン・ノイマンの定理に沿った隠れた変数に対する反論を提示したが、より根拠があり、物理的に意味があると考えられる仮定に基づいていた。^{[218] [219]}

フォン・ノイマンの証明は、ベルの定理と1982年のアラン・アスペクトの実験を通じて、量子物理学は古典物理学とは本質的に異なる現実の概念を必要とするか、特殊相対性理論に明らかに違反する非局所性を含まなければならないという実証につながる一連の研究の幕開けとなった。^[220]

量子力学の数学的基礎の章で、フォン・ノイマンはいわゆる測定問題を深く分析した。彼は、物理的宇宙全体を普遍的な波動関数に従わせることができると結論付けた。波動関数を崩壊させるには「計算外」の何かが必要であるため、フォン・ノイマンは崩壊は実験者の意識によって引き起こされると結論付けた。彼は、量子力学の数学では、波動関数の崩壊は、測定装置から人間の観察者の「主観的意識」までの因果連鎖のどの位置でも起こる可能性があると主張した。言い換えれば、観察者と観察対象の間の線はさまざまな場所に引くことができるが、理論は観察者がどこかに存在する場合にのみ意味をなす。^[221]意識が崩壊を引き起こすという考えはユージン・ウィグナーによって受け入れられたが、^[222]フォン・ノイマン・ウィグナーの解釈は大多数の物理学者の間で受け入れられることはなかった。^[223]

量子力学の理論は進化し続けていますが、ほとんどのアプローチの根底にある量子力学の問題の数学的形式論の基本的な枠組みは、フォン・ノイマンが最初に使用した数学的形式論と手法にまで遡ることができます。理論の解釈とその拡張に関する議論は現在、主に数学的基礎に関する共通の仮定に基づいて行われています。^[213]

数理物理学者アーサー・ワイトマンは、量子力学に関するフォン・ノイマンの研究をヒルベルトの第六問題の解決の一部とみなし、 1974年に彼の量子論の公理化はおそらく今日までの物理理論の公理化で最も重要なものであると述べた。1932年の著書によって、量子力学は概念上の問題に明確な答えを与える正確な数学的形式を持つという意味で成熟した理論となった。^[224]しかし、フォン・ノイマンは晩年、彼が開発したすべての数学にもかかわらず、量子論全体に対する満足のいく数学的枠組みを見つけられなかったため、科学的研究のこの側面で失敗したと感じていた。^{[225] [226]}

フォン・ノイマン・エントロピーは、量子情報理論の枠組みの中で、さまざまな形（条件付きエントロピー、相対エントロピーなど）で広く使用されています。^{[227]エンタングルメントの尺度は、フォン・ノイマン・エントロピーに直接関連する何らかの量に基づいています。}密度行列を持つ量子力学システムの統計的集団が与えられた場合、それは次のように与えられます。古典情報理論の同じエントロピー尺度の多くは、ホレボ・エントロピー^[228]や条件付き量子エントロピーなど、量子の場合にも一般化できます。量子情報理論は、主にフォン・ノイマン・エントロピーの解釈と使用に関係しており、これは量子情報理論の発展の基礎となっています。一方、シャノン・エントロピーは古典情報理論に適用されます。^[229] ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).\,}$

密度演算子と密度行列の形式主義は、フォン・ノイマン^[230]によって1927年に導入され、レフ・ランダウ^[231]とフェリックス・ブロッホ^{[232]によってそれぞれ1927年と1946年に独立して、しかしそれほど体系的ではない形で導入されました。密度行列は、}純粋状態しか表現できない波動関数とは対照的に、量子状態の確率的混合（混合状態）を表現することを可能にします。^[233]

量子デコヒーレンス理論の祖先であるフォン・ノイマン測定方式は、量子物体として扱われる測定装置を考慮して測定を射影的に表現する。フォン・ノイマンによって導入された「射影測定」方式は、量子デコヒーレンス理論の発展につながった。^{[234] [235]}

フォン・ノイマンは1932年の論文『量子力学の数学的基礎』で初めて量子論理を提案し、ヒルベルト空間への射影は物理的観測量に関する命題として見ることができると指摘した。量子論理の分野はその後、量子論理を初めて紹介したフォン・ノイマンとギャレット・バーコフによる1936年の論文で幕を開けた。^[236]この論文でフォン・ノイマンとバーコフは、量子力学にはすべての古典的論理とは実質的に異なる命題計算が必要であることを初めて証明し、量子論理の新しい代数構造を厳密に分離した。量子論理のための命題計算を作成するという概念は、フォン・ノイマンの1932年の論文の短いセクションで初めて概説されたが、1936年には、新しい命題計算の必要性がいくつかの証明を通じて実証された。例えば、光子は垂直に偏光した（例えば、水平と垂直に）2つの連続するフィルターを通過することはできない。したがって、斜めに偏光した3つ目のフィルターが連続する他の2つのフィルターの前または後に追加されると、光子は通過できなくなる。しかし、3つ目のフィルターが他の2つのフィルターの間に追加されると、光子は確かに通過する。この実験的事実は、連言の非可換性として論理に翻訳できる。古典論理の分布法則、およびは、量子論では有効ではないことも実証された。 ^[237]${\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)}$${\displaystyle P\lor (Q\land R)={}}$${\displaystyle (P\lor Q)\land (P\lor R)}$${\displaystyle P\land (Q\lor R)={}}$${\displaystyle (P\land Q)\lor (P\land R)}$

その理由は、量子的選言は古典的選言の場合とは異なり、両方の選言が偽であっても真となる可能性があり、これは量子力学では選択肢のペアが意味的に決定的であるのに対し、その各要素は必然的に不確定であることが多いという事実に起因する。したがって、古典的論理の分配法則はより弱い条件に置き換えられなければならない。^[237]分配格子の代わりに、量子システムに関する命題は、そのシステムに関連付けられたヒルベルト空間の部分空間の格子に同型なオルトモジュラー格子を形成する。^[238]

しかし、彼は量子論理の研究に決して満足しなかった。彼は量子論理を形式論理と確率論の統合とすることを意図していたが、 1945年にワシントン哲学協会で行ったヘンリー・ジョセフ講演の論文を書こうとしたとき、当時は戦争で忙しかったこともあり、それができなかった。1954年の国際数学者会議での演説で、彼はこの問題を将来の数学者が取り組むべき未解決の問題の1つとして挙げた。^{[239] [240]}

フォン・ノイマンは、爆風に対する古典的な流れの解^[241]や、爆発物のZND爆発モデルの共同発見（ヤコフ・ボリソヴィッチ・ゼルドヴィッチとヴェルナー・デーリングがそれぞれ独立して）など、流体力学の分野で基本的な貢献をした。 ^{[242] 1930年代に、フォン・ノイマンは}成形炸薬の数学の権威となった。^[243]

その後、ロバート・D・リヒトマイヤーとともに、フォン・ノイマンは人工粘性を定義するアルゴリズムを開発し、衝撃波の理解を深めました。コンピュータが流体力学や空気力学の問題を解くとき、急激な不連続（衝撃波）の領域に計算グリッドポイントを多く配置しすぎていました。人工粘性の数学は、基本的な物理学を犠牲にすることなく、衝撃波の遷移を滑らかにしました。^[244]

フォン・ノイマンはすぐにコンピュータモデリングをこの分野に応用し、弾道学研究用のソフトウェアを開発した。第二次世界大戦中、彼は衝撃波をシミュレートするために100分子の1次元モデルを計算するコンピュータプログラムを持って、米陸軍の弾道学研究所所長であるRHケントに近づいた。フォン・ノイマンは友人のセオドア・フォン・カルマンを含む聴衆に彼のプログラムに関するセミナーを行った。フォン・ノイマンが終わった後、カルマンは「もちろん、ラグランジュも連続体力学をシミュレートするためにデジタルモデルを使用していたことはご存じでしょう」と言った。フォン・ノイマンはラグランジュの解析力学を知らなかった。^[245]

物理学では数学ほど多作ではなかったが、それでも彼は他の注目すべき貢献をいくつかした。ランダムに分布する恒星によって生成される変動する重力場の統計に関する、スブラマニアン・チャンドラセカールとの先駆的な論文は傑作とみなされた。^[246]この論文で彼らは二体緩和理論を展開し^[247]、ホルツマーク分布を使用して恒星系のダイナミクスをモデル化した^[248]。^[249]彼は恒星構造に関する他の未発表の原稿をいくつか執筆し、そのいくつかはチャンドラセカールの他の研究に含まれた。^{[250] [251]}オスワルド・ヴェブレンが主導した初期の研究で、フォン・ノイマンはロジャー・ペンローズのツイスター理論につながるスピノルに関する基本的なアイデアの開発に貢献した。^{[252] [253]}これらの多くは、1930年代にIASで開催されたセミナーで行われた。 ^[254]この研究から、彼はAHタウブ、ヴェブレンとともに、座標、スピン、ゲージ変換に関する不変性の維持に重点を置いたディラック方程式を射影相対論に拡張した論文を執筆した。これは1930年代の量子重力の潜在的理論に関する初期の研究の一環であった。 ^[255]同じ時期に、彼は同僚に対して、新しく作られた量子場の理論の問題に対処し、時空の量子化を行うための提案をいくつか行ったが、同僚も彼もそのアイデアを有益とは考えず、追求しなかった。^{[256] [257] [258]それでも、彼は少なくともいくらかの関心を持ち続け、1940年に}ド・ジッター空間におけるディラック方程式に関する原稿を執筆した。^[259]

フォン・ノイマンはゲーム理論という分野を数学の分野として創始した。^[260]彼は1928年にミニマックス定理を証明した。これは、完全情報を伴うゼロサムゲーム（すなわち、プレイヤーが毎回、それまでに行われたすべての動きを知っているゲーム）において、両方のプレイヤーがそれぞれ最大損失を最小化できる一対の戦略が存在することを証明するものである。 ^{[261]このような戦略は}最適と呼ばれる。フォン・ノイマンは、それらのミニマックスが（絶対値で）等しく、（符号で）逆であることを示した。彼はミニマックス定理を改良し、不完全情報を伴うゲームや2人以上のプレイヤーがいるゲームを含むように拡張し、この結果をオスカー・モルゲンシュテルンと共著した1944年の著書「ゲームと経済行動の理論」で発表した。この研究に対する一般の関心は高く、ニューヨーク・タイムズ紙は一面で記事を掲載した。^[262]この本の中で、フォン・ノイマンは、最大作用素が微分可能関数を保存しないため、経済理論では伝統的な微分計算ではなく、関数解析、特に凸集合と位相不動点定理を使用する必要があると主張した。^[260]

フォン・ノイマンの機能解析的手法、すなわち価格と数量を表すための実ベクトル空間の双対性ペアの使用、支持超平面と分離超平面および凸集合の使用、および不動点理論は、それ以来数理経済学の主要なツールとなっている。^[263]

フォン・ノイマンは、いくつかの影響力のある出版物で経済学の数学的レベルを高めた。拡大経済のモデルでは、彼はブラウワー不動点定理の一般化を使用して均衡の存在と一意性を証明した。^[260]フォン・ノイマンの拡大経済モデルは、非負行列 AとBを持つ行列ペンシル A  − λ Bを考慮した。フォン・ノイマンは、経済効率を表す 2 つの不等式システムとともに相補方程式を解く確率ベクトルpと qおよび正の数 λを求めた。このモデルでは、（転置された）確率ベクトルp は商品の価格を表し、確率ベクトル q は生産プロセスが実行される「強度」を表す。唯一の解λ は、経済成長率に 1 を加えた成長係数を表す。成長率は金利に等しい。^{[264] [265]}  ${\displaystyle p^{T}(A-\lambda B)q=0}$

フォン・ノイマンの結果は、彼のモデルが非負行列のみを使用する線型計画法の特殊なケースと見なされてきた。拡大経済の彼のモデルの研究は、数理経済学者の関心を引き続けている。 ^{[266] [267]}この論文は、不動点定理、線型不等式、相補的緩み、鞍点双対性の導入を認めた数人の著者によって、数理経済学における最も偉大な論文と呼ばれている。^[268]フォン・ノイマンの成長モデルに関する会議の議事録で、ポール・サミュエルソンは、多くの数学者が経済学者に役立つ手法を開発してきたが、フォン・ノイマンは経済理論自体に大きな貢献をした点で独特であると述べた。^[269]一般均衡と不動点定理の方法論に関する研究の永続的な重要性は、1972年にケネス・アロー、1983年にジェラール・ドブリュー、そして1994年に博士論文で非協力ゲームと交渉問題の均衡を確立するために不動点定理を使用したジョン・ナッシュにノーベル賞が授与されたことで強調されています。アローとドブリューも線形計画法を使用していましたが、ノーベル賞受賞者のチャリング・クープマンス、レオニード・カントロヴィッチ、ワシリー・レオンチェフ、ポール・サミュエルソン、ロバート・ドーフマン、ロバート・ソロー、レオニード・ハーヴィッツも同様でした。^[270]

フォン・ノイマンがこのテーマに興味を持ったのは、1928年と1929年にベルリンで講義をしていたときだった。彼は経済学者ニコラス・カルドアと同様にブダペストで夏を過ごした。カルドアはフォン・ノイマンに数理経済学者レオン・ワルラスの本を読むよう勧めた。フォン・ノイマンは、ワルラスの一般均衡理論とワルラスの法則が連立一次方程式を導き、マイナスの量の製品を生産して販売することで利益を最大化できるという不合理な結果を生み出す可能性があることに気づいた。彼は方程式を不等式に置き換え、動的均衡などを導入し、最終的に論文を作成した。^[271]

フォン・ノイマンは、行列ゲームに関する成果と拡大経済モデルを基に、線形計画法における双対性の理論を考案した。ジョージ・ダンツィグが数分で彼の研究を説明したため、せっかちなフォン・ノイマンは要点を述べるよう要求した。ダンツィグは、フォン・ノイマンが凸集合、不動点理論、双対性について1時間講義し、行列ゲームと線形計画法の同等性を推測するのを呆然と聞いていた。^[272]

その後、フォン・ノイマンはポール・ゴーダン（1873）の同次線型システムを使った新しい線型計画法を提案し、これは後にカルマルカーのアルゴリズムによって普及した。フォン・ノイマンの方法は単体間のピボットアルゴリズムを使用し、ピボットの決定は凸制約（アクティブ単体の凸包にゼロベクトルを投影する）を伴う非負最小二乗サブ問題によって決定された。フォン・ノイマンのアルゴリズムは線型計画法の最初の内点法であった。^[273]

フォン・ノイマンはコンピューティングの創始者の一人であり、^{[274]コンピューティングハードウェアの設計、}理論計算機科学、科学計算、および計算機科学の哲学に多大な貢献をしました。

フォン・ノイマンは陸軍の弾道研究所の顧問を務め、最も有名なのはENIACプロジェクト^[275]で、科学諮問委員会のメンバーとして活動した。^[276]単一メモリのプログラム内蔵アーキテクチャは一般にフォン・ノイマン・アーキテクチャと呼ばれているが、このアーキテクチャはENIAC とその後継機であるEDVACの発明者であるJ. プレスパー・エッカートとジョン・モークリーの研究に基づいている。ペンシルバニア大学で EDVAC プロジェクトの顧問を務めていたとき、フォン・ノイマンはEDVAC に関する報告書の未完成の第一稿を書いた。この論文は時期尚早に配布されたためエッカートとモークリーの特許請求が無効となったが、紙テープやプラグボードにプログラムを別々に保存していた初期のコンピュータとは異なり、データとプログラムの両方を同じアドレス空間に保存するコンピュータについて記述していた。このアーキテクチャは、ほとんどの現代のコンピュータ設計の基礎となった。^[277]

次に、フォン・ノイマンはニュージャージー州プリンストンの高等研究所でIASマシンを設計した。彼は資金調達を手配し、コンポーネントは近くのRCA研究所で設計および製造された。フォン・ノイマンは、防衛コンピュータの愛称で呼ばれるIBM 701に磁気ドラムを組み込むことを推奨した。これはIASマシンの高速バージョンであり、商業的に成功したIBM 704の基礎となった。^{[278] [279]}

フォン・ノイマンは1945年にマージソートアルゴリズムを発明した。このアルゴリズムでは、配列の前半と後半をそれぞれ再帰的にソートしてからマージする。^{[280] [281]}

フォン・ノイマンの水素爆弾研究の一環として、彼とスタニスワフ・ウラムは流体力学計算のシミュレーションを開発した。また、複雑な問題の解を近似するために乱数を使用するモンテカルロ法の開発にも貢献した。^[282]

フォン・ノイマンのアルゴリズムは、偏ったコインで公平なコインをシミュレートするものであり、一部のハードウェア乱数生成器の「ソフトウェアホワイトニング」段階で使用されている。^[283]「真の」乱数を得るのは非現実的であったため、フォン・ノイマンは中二乗法を使用した疑似乱数の一種を開発した。彼は、この粗雑な方法が他のどの方法よりも高速であると正当化し、「乱数を生成する算術的方法を検討する人は、もちろん罪を犯している」と書いている。^[283]また、この方法がうまくいかなかったときは、他の方法が微妙に間違っている場合とは異なり、明らかにうまくいかなかったと指摘した。^[283]

確率的計算は1953年にフォン・ノイマンによって導入されたが^[284] 、 1960年代の計算技術の進歩まで実装されることはなかった。^{[285] [286] 1950年頃、彼は}計算の時間計算量について最初に語った一人でもあり、これは最終的に計算複雑性理論の分野に発展した。^[287]

フォン・ノイマンによる自己複製構造の数学的分析は、DNAの構造の発見に先立って行われた。^{[289]ウラムとフォン・ノイマンは、1940年代に生物システムの簡略化された数学モデルとして}セルオートマトンという分野を創始したことでも広く知られている。^[290]

1948年と1949年の講義で、フォン・ノイマンは運動学的自己増殖オートマトンを提案した。^{[291] [292]} 1952年までに、彼はこの問題をより抽象的に扱うようになった。彼は、セルの初期構成を自動的にコピーする精巧な2Dセルオートマトンを設計した。 ^[293] フォン・ノイマン・セルオートマトンに基づくフォン・ノイマン万能構築子は、彼の死後に発表された『自己増殖オートマトン理論』で具体化された。^{[294] 2次元グリッド内の各セルが4つの直交するグリッドセルを隣人として持つ}フォン・ノイマン近傍は 、他のセルオートマトンにも引き続き使用されている。^[295]

おそらく「科学計算史上最も影響力のある研究者」とみなされている^[296]フォン・ノイマンは、技術的にも管理的にもこの分野に多くの貢献をした。彼はフォン・ノイマン安定性解析手順を開発した。[ ^{297]これは今でも}線形偏微分方程式の数値計算法で誤差が蓄積するのを避けるために広く使われている。^[298] 1947 年にハーマン・ゴールドスタインと共著した論文は、暗黙的ではあるが、逆誤差解析を初めて説明した。 ^{[299]彼はまた、}ヤコビ法について最初に書いた人の 1 人でもある。^[300]ロスアラモスでは、ガス力学の問題を数値的に解くことに関する機密レポートをいくつか書いた。しかし、これらの非線形問題に対する解析的手法の進歩がないことには不満を感じていた。その結果、彼は計算手法に目を向けた。^[301]彼の影響下で、ロスアラモスは 1950 年代から 1960 年代初頭にかけて計算科学のリーダーとなった。^[302]

この研究から、フォン・ノイマンは、計算が単に数値的に問題を解くためのツールではなく、問題を解析的に解くための洞察力も提供できることに気付きました。 ^[303]また、コンピュータが役立つ科学的および工学的問題は非常に多様であり、その中で最も重要なのは非線形問題であることに気づきました。^[304] 1945年6月、第1回カナダ数学会議で、彼は数値的に流体力学の問題を解く一般的なアイデアについて初めて講演しました。^[245]彼はまた、風洞が実際にはアナログコンピュータであり、デジタルコンピュータがそれらに取って代わり、流体力学の新しい時代をもたらす方法についても説明しました。ギャレット・バーコフはそれを「忘れられないセールストーク」と評しました。 彼はゴールドスタインとのこの講演を原稿「大規模計算機の原理について」にまで拡大し、科学計算のサポートを促進するために使用しました。彼の論文では、逆行列、ランダム行列、楕円境界値問題を解くための自動緩和法の概念も発展させた。^[305]

コンピュータの応用可能性に関する研究の一環として、フォン・ノイマンは天気予報に興味を持ち、この分野の問題とマンハッタン計画で取り組んだ問題との類似点に気づいた。^[306] 1946年、フォン・ノイマンは高等研究所に「気象プロジェクト」を設立し、気象局、アメリカ空軍、アメリカ海軍の気象局からプロジェクトの資金を確保した。^{[307]当時、理論気象学者の第一人者と考えられていた}カール・グスタフ・ロスビーとともに、フォン・ノイマンは20人の気象学者を集め、この分野のさまざまな問題に取り組んだ。しかし、戦後の他の仕事を考えると、プロジェクトの適切な指導に十分な時間を割くことができず、成果はほとんどなかった。

しかし、若きジュール・グレゴリー・チャーニーがロスビーからプロジェクトの共同リーダーを引き継いだことで状況は一変した。^[308] 1950年までにフォン・ノイマンとチャーニーは世界初の気候モデリングソフトウェアを書き、それを使ってフォン・ノイマンが用意したENIACコンピュータで世界初の数値天気予報を行った。 ^[307]フォン・ノイマンと彼のチームはその結果を「順圧渦度方程式の数値積分」として発表した。^[309]彼らは協力して、海と空気のエネルギーと水分の交換を気候研究に統合する取り組みで主導的な役割を果たした。^[310]原始的ではあったが、ENIACの予報のニュースはすぐに世界中に広まり、他の場所でもいくつかの並行プロジェクトが開始された。^[311]

1955年、フォン・ノイマン、チャーニーとその協力者は資金提供者を説得し、メリーランド州スーツランドに共同数値気象予報ユニット（JNWPU）を開設し、日常的なリアルタイムの天気予報を開始しました。^[312]次に、フォン・ノイマンは気候モデルの研究プログラムを提案しました。

このアプローチは、まず短期予測を試み、次に任意の長期間にわたって持続する可能性のある循環の特性の長期予測を試み、最後に、単純な流体力学理論では扱うには長すぎ、平衡理論の一般原則では扱うには短すぎる中長期の予測を試みるというものである。^[313]

1955年のノーマン・A・フィリップスの肯定的な結果は即座に反応を引き起こし、フォン・ノイマンはプリンストンで「大循環の問題への数値積分技術の応用」に関する会議を開催した。彼は再び、気象局と軍からの継続的な支援を確実にするために、このプログラムを予測的なものとして戦略的に組織し、JNWPUの隣に大循環研究セクション（現在の地球物理流体力学研究所）を設立した。 ^[314]彼はモデリングの技術的問題とこれらのプロジェクトへの継続的な資金提供の確保の両方について研究を続けた。^[315] 19世紀後半、スヴァンテ・アレニウスは、人間の活動が大気中に二酸化炭素を放出することで地球温暖化を引き起こす可能性があると示唆した。 ^{[316] 1955年、フォン・ノイマンは、これがすでに始まっているかもしれないと観察した。「}石炭と石油の燃焼によって大気中に放出された二酸化炭素は、その半分以上が前世代で、大気の組成を十分に変え、世界全体の気温を華氏約1度上昇させた可能性がある。」^{[317] [318]気象システムと気象予測に関する研究から、彼は}極地の氷冠に着色剤を散布して太陽放射の吸収を高める（アルベドを減らす）ことで環境を操作することを提案した。^{[319] [320] [319] [320]} しかし、彼は大気改変のいかなるプログラムにも注意を促した。

もちろん、何ができるかは、何をすべきかの指標にはなりません...実際、全体的な寒冷化または全体的な温暖化の最終的な結果を評価することは複雑な問題です。変化は海面レベルに影響し、したがって大陸棚の居住可能性に影響します。海の蒸発は、したがって一般的な降水量と氷河レベルに影響します。...しかし、結果を予測するために必要な分析を実行し、任意の規模で介入し、最終的にかなり素晴らしい結果を達成できることにはほとんど疑いがありません。^[318]

彼はまた、気象と気候制御が軍事的に利用される可能性があると警告し、 1956年に議会で、それらはICBMよりもさらに大きなリスクをもたらす可能性があると述べた。^[321]

技術的文脈における特異点の概念の最初の使用はフォン・ノイマンによるものとされ^[322] 、ウラムによれば、ノイマンは「技術の進歩と人間の生活様式の変化が加速し続けており、人類の歴史において、それを超えると我々が知っているような人間の営みは継続できなくなる本質的な特異点に近づいているように見える」と論じた。^{[323]この概念は後に}アルビン・トフラーの著書『未来の衝撃』で具体化された。

1930年代後半から、フォン・ノイマンは爆発という数学的にモデル化するのが困難な現象に関する専門知識を培った。この時期、彼は成形炸薬の数学の第一人者であり、多数の軍事コンサルタント会社に所属し、その結果としてマンハッタン計画に関わるようになった。この関与には、ニューメキシコ州ロスアラモス研究所にある計画の秘密研究施設への頻繁な訪問も含まれていた。 ^[38]

フォン・ノイマンは、後に長崎に投下されたファットマン兵器のプルトニウム核を圧縮するのに必要な爆発レンズの構想と設計において、原爆に大きく貢献した。^[324]フォン・ノイマンは「爆縮」の構想を考案したわけではないが、その最も粘り強い支持者の一人であり、そのような設計は実行不可能だと感じていた多くの同僚の本能に反して、その開発を奨励した。彼はまた、最終的に、より強力な成形爆薬と核分裂しにくい物質を使用して「組み立て」の速度を大幅に上げるというアイデアを思いついた。^[325]

ウラン235が1個以上の爆弾を作るには足りないことが判明すると、爆縮レンズ計画は大幅に拡大され、フォン・ノイマンのアイデアが実現した。爆縮は、ハンフォード・サイトから入手可能なプルトニウム239で使用できる唯一の方法だった。^{[326]彼は必要な}爆縮レンズの設計を確立したが、「エッジ効果」と爆薬の不完全性に関する懸念が残った。^[327]彼の計算によると、爆縮は球対称性から5％以上離れなければ機能すると示された。^[328]モデルによる一連の失敗の後、これはジョージ・キスティアコフスキーによって達成され、トリニティ爆弾の製造は1945年7月に完了した。^[329]

1944年9月にロスアラモスを訪れたフォン・ノイマンは、衝撃波の入射角が90度からある限界角の間であれば、固体からの爆発衝撃波の反射による圧力上昇がこれまで考えられていたよりも大きいことを示した。その結果、原子爆弾の有効性は、地上ではなく標的から数キロメートル上空で爆発した方が高まると判断された。^{[330] [331]}

フォン・ノイマンは、日本の広島と長崎を原爆の最初の投下目標として選ぶ目標選定委員会に加わっていた。フォン・ノイマンは、予想される爆風の大きさ、推定死者数、衝撃波の伝播を最適にするために爆弾を爆発させるべき地上からの距離に関する計算を監督した。文化の中心地である京都がフォン・ノイマンの第一候補であり、^{[332]マンハッタン計画のリーダーであるレスリー}・グローブス将軍もこの選択を支持した。しかし、この目標は陸軍長官 ヘンリー・L・スティムソンによって却下された。^[333]

1945 年 7 月 16 日、フォン・ノイマンとマンハッタン計画の多数の関係者は、コード名トリニティと呼ばれる最初の原子爆弾爆発実験を目撃した。この実験は、ニューメキシコ州のアラモゴード爆撃場で爆縮法装置のテストとして実施された。フォン・ノイマンは、自分の観察のみに基づいて、この実験でTNT 火薬 5 キロトン(21  TJ ) に相当する爆発が起きたと推定したが、エンリコ・フェルミは、衝撃波が彼の位置を通過したときに破った紙切れを落とし、それがどれだけ遠くまで飛散するかを観察して、10 キロトンというより正確な推定値を出した。爆発の実際の威力は 20 から 22 キロトンの間だった。^[334]フォン・ノイマンの 1944 年の論文で初めて「キロトン」という表現が登場した。^[335]

フォン・ノイマンは平静に研究を続け、エドワード・テラーとともに水素爆弾プロジェクトを支えた一人となった。彼は爆弾のさらなる開発でクラウス・フックスと協力し、1946年に2人は核融合を開始するために核分裂爆弾を使用して核融合燃料を圧縮する方式の概要を示す秘密特許を申請した。^[336]フックスとフォン・ノイマンの特許は放射線爆縮を使用していたが、最終的な水素爆弾の設計であるテラー・ウラム設計で使用されたものと同じ方法ではなかった。しかし、彼らの研究はグリーンハウス作戦の「ジョージ」ショットに組み込まれ、最終設計に組み込まれた概念をテストする上で有益であった。^{[337]フックスとフォン・ノイマンの研究は、フックスの}核スパイ活動の一環としてソ連に引き継がれたが、ソ連独自のテラー・ウラム設計の開発には使用されなかった。歴史家ジェレミー・バーンスタインは、皮肉なことに「ジョン・フォン・ノイマンとクラウス・フックスは1946年に水素爆弾開発の全過程を変える可能性のある素晴らしい発明をしたが、爆弾が成功裏に作られるまで完全には理解されなかった」と指摘している。^[337]

フォン・ノイマンは戦時中の功績により、 1946年7月に海軍功労民間人賞を受賞し、1946年10月には功労勲章を授与された。 ^[338]

1950年、フォン・ノイマンは兵器システム評価グループの顧問となった。^[339]このグループの機能は、統合参謀本部と米国国防長官に新技術の開発と使用について助言することであった。^{[340]彼はまた、}核兵器の軍事的側面を担当する軍事特殊兵器プロジェクトの顧問にもなった。^[339]その後の2年間で、彼は米国政府全体の顧問となった。^[341]これには、中央情報局（CIA）、原子力委員会の影響力のある一般諮問委員会のメンバー、新設されたローレンス・リバモア国立研究所の顧問、米国空軍の科学諮問グループのメンバーなどが含まれる。 ^[339]この間、彼はペンタゴンの「スーパースター」防衛科学者となった。彼の権威は、米国政府と軍の最高レベルで絶対的なものと考えられていた。^[342]

アメリカ空軍の諮問委員会の数回の会議で、フォン・ノイマンとエドワード・テラーは、 1960年までに米国はロケットの上に載せられるほど軽い水素爆弾を製造できるようになると予測した。1953年、会議に出席していたバーナード・シュリーバーは、この可能性を確認するためプリンストンのフォン・ノイマンを個人的に訪問した。 ^[343]シュリーバーはトレバー・ガードナーに協力を求め、ガードナーは数週間後にフォン・ノイマンを訪問し、ワシントンでそのような兵器を推進する前に将来の可能性を十分に理解した。^[344]現在、戦略ミサイルと核兵器を扱ういくつかの委員会で議長または委員を務めているフォン・ノイマンは、これらの分野とアメリカの爆撃機に対する戦略的防衛の両方におけるソ連の潜在的な進歩に関するいくつかの重要な議論を政府の報告書に盛り込み、 ICBMの開発を主張することができた。^[345]ガードナーは何度か米国防総省との会議にフォン・ノイマンを連れて行き、さまざまな高官と彼の報告書について話し合った。^[346]これらの報告書に記された慣性誘導機構などの設計上の決定は、その後のすべてのICBMの基礎となるものであった。^{[347] 1954年までに、フォン・ノイマンはICBM計画への継続的な支援を確実にするために、}議会の様々な軍事小委員会で定期的に証言していた。^[348]

しかし、これだけでは十分ではなかった。ICBM計画をフル稼働させるには、米国大統領の直接の行動が必要だった。^{[349]彼らは1955年7月の直接会談で}アイゼンハワー大統領を説得し、1955年9月13日に大統領指令が出された。その指令では、ソ連が米国より先にICBMを開発した場合、「国家安全保障と自由世界の結束に最も重大な影響が出る」と述べ、ICBM計画を「他のすべてに勝る最優先の研究開発計画」に指定した。国防長官は「最大限の緊急性」をもって計画を開始するよう命じられた。^[350]後に証拠が明らかになり、ソ連は当時すでに中距離弾道ミサイルをテストしていたことが判明した。 ^{[351]フォン・ノイマンは、死去するまで、ICBMに関する重要な顧問として、}ペンシルベニア州ゲティスバーグの自宅を含め、大統領や他の政府高官と面会し続けた。^[352]

1955年、フォン・ノイマンは原子力委員会（AEC）の委員となった。これは当時、政府内の科学者が就ける最高位の役職であった。^[353]（任命に伴い、他のコンサルタント契約をすべて解消することが正式に求められたが、^[354]空軍と数人の重要な上院議員が懸念を表明した後、フォン・ノイマンにはいくつかの重要な軍事委員会での仕事を続けるための例外が認められた。^{[352] ）彼はこの地位を利用して、}大陸間弾道ミサイル（ICBM）の運搬に適した小型水素爆弾の製造を推進した。彼は、これらの兵器に必要なトリチウムとリチウム6の深刻な不足の是正に取り組み、陸軍が望んでいた中距離ミサイルに落ち着くことに反対した。彼は、ICBMによって敵地の奥深くに運ばれる水素爆弾が最も効果的な兵器であり、ミサイルの相対的な精度の低さは水素爆弾では問題にならないと断固として主張した。彼はロシアも同様の兵器システムを開発しているだろうと述べ、実際にその通りになった。^{[355] [356]}ルイス・シュトラウスが1955年後半に不在の間、フォン・ノイマンが委員会の委員長代理に就任した。 ^[357]

癌で亡くなる前の晩年、フォン・ノイマンは米国政府の極秘のICBM委員会の委員長を務め、同委員会は時々彼の自宅で会合を開いていた。その目的は、熱核兵器を搭載できるほどのICBMを建造できるかどうかを決定することだった。フォン・ノイマンは、技術的な障害は大きいが、克服できると長い間主張していた。SM -65アトラスは、彼の死後2年後の1959年に最初の完全機能テストに合格した。^[358]より先進的なタイタンロケットは1962年に配備された。どちらもフォン・ノイマンが委員長を務めたICBM委員会で提案されていた。^[352] ICBMの実現可能性は、ロケット技術の発展だけでなく、誘導や耐熱性の問題がない改良された小型弾頭に大きく依存しており、前者に対する彼の理解は彼のアドバイスを非常に貴重なものにした。^{[358] [352]}

フォン・ノイマンが政府職員になった主な理由は、自由と文明が生き残るためには、アメリカ合衆国がナチズム、ファシズム、ソビエト共産主義による全体主義に打ち勝つ必要があると感じたからである。^[60]上院委員会の公聴会で、彼は自身の政治思想を「激しく反共産主義的で、通常よりもはるかに軍国主義的」であると述べた。^{[359] [360]}

ハーマン・ゴールドスタインは、フォン・ノイマンが隠れた誤りを直観し、古い資料を完璧に記憶する能力を持っていると評した。^{[361] [362]}彼は困難に直面しても苦労せず、家に帰って一晩考え、後で解決策を持って戻ってくる。^[363]この「最も抵抗の少ない道を選ぶ」スタイルは、時には脱線してしまうことを意味した。また、最初から難しさが大きかった場合は、突破口を見つけようとせず、単に別の問題に切り替えることを意味した。^[364]時には、標準的な数学文献を知らないこともあり、参考文献を追いかけるよりも、必要な基本情報を再び導き出す方が簡単だと感じた。^[365]

第二次世界大戦が始まると、彼は学問と軍務の両方で非常に忙しくなり、講演をまとめたり結果を公表したりしないという彼の習慣は悪化した。^[366]彼にとって、あるテーマがすでに頭の中で成熟していない限り、それを正式に文章で議論することは容易ではなかった。そうでなければ、彼自身の言葉によれば、「衒学的主義と非効率性の最悪の特徴を身につけてしまう」ことになる。^[367]

数学者ジャン・デュドネは、フォン・ノイマンについて「かつては栄え、数多く存在した偉大な数学者たちのグループの最後の代表者だったかもしれない。彼らは純粋数学と応用数学の両方に精通し、生涯を通じて両方向で着実に成果を上げ続けた」と述べている。^[160]デュドネによれば、彼の特別な才能は解析学と「組合せ論」にあり、組合せ論は非常に広い意味で理解されており、以前は数学とはほとんど関係がないように思われた複雑な研究​​を組織化し、公理化する彼の能力を表していた。彼の解析学のスタイルは、線型代数と一般位相幾何学を基礎とするドイツ学派に従っていた。フォン・ノイマンは百科事典的な背景を持っていたが、純粋数学における彼の範囲はポアンカレ、ヒルベルト、さらにはワイルほど広くはなかった。フォン・ノイマンは数論、代数位相幾何学、代数幾何学、微分幾何学で重要な研究をすることはなかった。しかし、応用数学においては彼の業績はガウス、コーシー、ポアンカレの業績に匹敵した。^[116]

ヴィグナーによれば、「誰も科学のすべてを知っているわけではない。フォン・ノイマンでさえもだ。しかし数学に関しては、彼は数論と位相幾何学を除くすべての部分に貢献した。それは、私が思うにユニークなことだ。」^[368]ハルモスは、フォン・ノイマンは数学を多く知っていたが、最も顕著な欠落は代数的位相幾何学と数論にあったと指摘し、フォン・ノイマンがトーラスの位相的定義を認識できなかった事件を思い出した。 [ ^{369]フォン・ノイマンはヘルマン・ゴールドスタインに、自分は位相幾何学にはまったく疎く、決して快くは感じなかったと認め、ゴールドスタインは後に}ヘルマン・ワイルと比較した際にこのことを持ち出した。ワイルはより深く広い知識を持っていると考えていた。^[363]

フォン・ノイマンの伝記の中で、ザロモン・ボクナーは、フォン・ノイマンの純粋数学における研究の多くは有限次元および無限次元のベクトル空間に関するものであり、当時は数学の全領域の大部分をカバーしていたと書いている。しかし、それでも数学の重要な部分、特に「大域的な意味での」幾何学、位相幾何学、微分幾何学、調和積分、代数幾何学などの分野をカバーしていないと指摘した。フォン・ノイマンはこれらの分野でほとんど研究しておらず、ボクナーの見方では、これらの分野にあまり親和性を持っていなかった。^[129]

フォン・ノイマンの最後の論文の1つで、彼は純粋数学者がもはやその分野のほんの一部についてさえ深い知識を得ることができないと嘆いた。^[370] 1940年代初頭、ウラムは彼の知識の弱点を見つけるために博士号試験のような試験を考案した。フォン・ノイマンは微分幾何学、数論、代数のそれぞれの質問に満足のいく答えを出すことができなかった。彼らは博士号試験に「永続的な意味はほとんどない」と結論付けた。しかし、ワイルが20世紀の数学の歴史を書くという申し出を、一人ではできないと主張して断ったとき、ウラムはフォン・ノイマンがそれを志すかもしれないと考えた。^[371]

ウラムは、ほとんどの数学者は 1 つの手法を習得してそれを繰り返し使用できるが、フォン・ノイマンは 3 つの手法を習得していたと述べています。

1. 線形演算子の記号操作の機能。
2. 新しい数学理論の論理構造に対する直感的な感覚。
3. 新しい理論の組み合わせ的上部構造に対する直感的な感覚。^[372]

彼は一般的に分析家と評されていたが、かつては代数学者と自称していたことがあり^[373]、彼のスタイルは代数的技法と集合論的直観が混ざり合ったものが多かった。^[374]彼は細部にこだわり、過剰な繰り返しや過度に明示的な表記を問題視しなかった。その一例は、作用素環に関する論文で、通常の関数表記を まで拡張した。しかし、このプロセスは何度も繰り返され、最終結果は のような方程式となった。1936 年の論文は学生の間で「フォン・ノイマンのタマネギ」^[375]として知られるようになった。なぜなら、方程式は「理解する前に皮をむく必要があった」からである。全体的に、彼の著作は明快で力強いが、すっきりとしていてエレガントではなかった。^[376]技術的には力強いが、彼の主な関心は数学的なパズルの解決よりも、科学の基本的な問題や疑問を明確かつ実行可能な形で形成することにあった。^[375]${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi ((x))}$${\displaystyle (\psi ((((a)))))^{2}=\phi ((((a))))}$

ウラムによれば、フォン・ノイマンは次元の推定と代数計算を頭の中で流暢に行い、物理学者を驚かせたという。ウラムはそれを目隠しチェスに例えた。フォン・ノイマンは物理的な状況を具体的な視覚化ではなく抽象的な論理的演繹によって分析していたという印象を受けた。^[377]

ゴールドスタインは彼の講義をガラスの上のように滑らかで明快だと評した。それに比べて、ゴールドスタインは彼の科学論文ははるかに厳しい方法で書かれ、はるかに洞察力に欠けていると考えていた。^[64] ハルモスは彼の講義を「目もくらむほど」と評し、彼のスピーチは明快で、迅速で、正確で、すべてを網羅していた。ゴールドスタインと同様に、彼も講義ではすべてが「とても簡単で自然」に思えたが、後になって考えてみると不可解だったと評した。^[365]彼は早口だった。バネシュ・ホフマンは速記でさえメモを取るのが非常に困難だったと感じた。^[378]またアルバート・タッカーは、フォン・ノイマンが話すのを遅らせて、彼が提示しているアイデアをじっくり考えさせるために、人々はしばしば彼に質問しなければならなかったと述べている。フォン・ノイマンはこのことを知っており、彼が速すぎると聴衆が指摘してくれたことに感謝していた。^[379]彼は講義の準備に時間を費やしたが、メモを使うことはほとんどなく、代わりに何をどのくらいの期間議論するかの要点を書き留めていた。^[365]

フォン・ノイマンは、特に象徴的な類の映像記憶力でも有名でした。ハーマン・ゴールドスタインは次のように書いています。

彼の驚くべき能力の一つは、絶対記憶力でした。私が知る限り、フォン・ノイマンは一度本や記事を読んだら、それをそのまま引用することができました。しかも、何年も経ってからでも躊躇なく引用することができました。また、原語から英語にスピードを落とさずに翻訳することもできました。ある時、私は彼の能力を試すために、二都物語の始まりを話してくれないかと尋ねました。すると、彼は間を置かずにすぐに第一章を暗唱し始め、10分から15分ほど経って止めるように言われるまで続けました。^[380]

フォン・ノイマンは電話帳のページを暗記することができたと伝えられている。彼は友人たちにページ番号をランダムに呼んでもらい、そこに書かれた名前、住所、番号を暗唱して楽しませた。^{[29] [381]} スタニスワフ・ウラムはフォン・ノイマンの記憶は視覚的ではなく聴覚的であると信じていた。^[382]

フォン・ノイマンの数学的な流暢さ、計算速度、そして一般的な問題解決能力は、彼の同僚たちから広く注目されていた。ポール・ハルモスは彼の計算速度を「畏敬の念を抱かせる」と呼んだ。^[383] ロータール・ヴ​​ォルフガング・ノルトハイムは彼を「私が出会った中で最も頭の回転が速い」と評した。 ^[384] エンリコ・フェルミは物理学者ハーバート・L・アンダーソンにこう語った。「ハーブ、ジョニーは頭の中で私の10倍速く計算できるんだ！そして私は君の10倍速く計算できるんだ、ハーブ。だからジョニーがどれだけすごいか分かるだろう！」^[385] エドワード・テラーは「彼に追いつくことはできなかった」と認めた。^[386]イズラエル・ハルペリンは追いつこうとすることは「三輪車に乗ってレーシングカーを追いかけるようなもの」だと表現した。^[387]

彼は斬新な問題を素早く解く並外れた能力を持っていた。フォン・ノイマンが学生として出席していたチューリッヒ工科大学で講義を受けていたジョージ・ポリアは、「ジョニーは私が恐れていた唯一の学生だった。講義中に未解決の問題を述べると、講義の終わりに紙切れに完全な解答を走り書きした紙を持って来る可能性が高かった」と語っている。^[388]ジョージ・ダンツィグが「普通の人間にするように」線形計画法の未解決の問題をフォン・ノイマンに持ち込んだとき、その問題については文献が出版されていなかったが、フォン・ノイマンが「ああ、それか！」と言い、それまで考えられなかった双対性理論を使って問題を解く方法を何気なく1時間以上講義した後、ダンツィグは驚いた。^[389]

^{フォン・ノイマンが有名なハエのパズル[390]}に遭遇した話は、数学の伝説になっています。このパズルでは、2 台の自転車が 20 マイル離れたところから出発し、それぞれが時速 10 マイルで互いに向かい、衝突します。一方、ハエは衝突で押しつぶされるまで、時速 15 マイルで自転車の間を行ったり来たりし続けます。質問者はハエが合計でどのくらいの距離を移動したかを尋ねます。素早く答えるための「コツ」は、ハエの個々の移動は重要ではなく、時速 15 マイルで 1 時間移動していることだけであることを理解することです。ユージン・ウィグナーが語るところによると、^[391] マックス・ボルンがフォン・ノイマンにこの謎を出しました。彼がこの謎を出題した他の科学者たちは苦労して距離を計算していたので、フォン・ノイマンが 15 マイルという正しい答えをすぐに用意したとき、ボルンは彼がトリックを推測したに違いないと考えました。「どんなトリックですか?」フォン・ノイマンは答えました。 「私がしたのは等比級数を足しただけだ。」^[392]

ロータは、フォン・ノイマンは「根深く、繰り返される自己不信」を抱いていたと書いている。^[393] ジョン・L・ケリーは1989年に「ジョニー・フォン・ノイマンは、クルト・ゲーデルがピタゴラスと共に記憶される一方で自分は忘れ去られるだろうと言ったが、我々はジョニーを畏敬の念を持って見ていた」と回想している。^[394]ウラムは、自身の創造性に関する自己不信の一部は、他の人が発見したいくつかの重要なアイデアを彼が発見できなかったという事実から来ているのではないかと示唆している。彼は、不完全性定理やバーコフの 点ごとのエルゴード定理を例に挙げて、そうする能力を十分に持っていたにもかかわらず、そうしなかった。フォン・ノイマンは複雑な推論を追う名人芸と卓越した洞察力を持っていたが、一見不合理な証明や定理、あるいは直感的な洞察の才能は自分にはないと考えていたのかもしれない。ウラムは、プリンストンに滞在していたとき、フォン・ノイマンが作用素環、連続幾何学、量子論理に取り組んでいたとき、フォン・ノイマンは自分の研究の重要性を確信しておらず、独創的な技術的トリックや新しいアプローチを見つけたときだけ、それに喜びを感じていたと述べている。 [ ^395]しかし、ロータによると、ウラムをより創造的な数学者と評したにもかかわらず、フォン・ノイマンは友人と比べて「比較にならないほど強力な技術」を持っていた。^[393]

ノーベル賞受賞者のハンス・ベーテは「フォン・ノイマンのような脳は、人間よりも優れた種族の証拠ではないかと、時々考えたことがある」と述べた。^[29] エドワード・テラーは「フォン・ノイマンは私の3歳の息子と会話をし、2人は対等に話していた。彼が私たちと話すときも同じ原理を使っているのではないかと、時々思った」と述べた。^[396] ピーター・ラックスは「フォン・ノイマンは考えること、特に数学について考えることに夢中だった」と書いた。^[366] ユージン・ウィグナーは「彼は数学の問題を、その初期の面だけでなく、その完全な複雑さを理解していた」と述べた。 [ ^397] クロード・シャノンは彼を「私が今まで会った中で最も賢い人」と呼んだが、これは一般的な意見である。^[398] ジェイコブ・ブロノウスキーは「彼は例外なく、私が知る限り最も賢い人だった。彼は天才だった」と書いた。^[399]フォン・ノイマンは、その広範な影響力と多くの分野への貢献により、博学者として広く考えられている。^{[400] [401] [402]}

ヴィグナーはフォン・ノイマンの並外れた頭脳に注目し、彼はフォン・ノイマンが自分が知る誰よりも頭の回転が速い人だと述べ、次のように述べた。^[397]

私は生涯で非常に多くの聡明な人々と知り合いました。マックス・プランク、マックス・フォン・ラウエ、ヴェルナー・ハイゼンベルクを知っていました。ポール・ディラックは私の義理の兄弟でした。レオ・シラードとエドワード・テラーは私の親友でした。アルバート・アインシュタインも良き友人でした。そして私は最も聡明な若い科学者の多くを知っています。しかし彼らの中にヤンチ・フォン・ノイマンほど機敏で鋭敏な頭脳を持つ者はいませんでした。私はこれらの人々の前でしばしばこのことを述べてきましたが、誰も私に異論を唱えませんでした。

「科学者の影響を科学以外の分野への影響まで広く解釈するならば、ジョン・フォン・ノイマンはおそらく史上最も影響力のある数学者だったと言えるだろう」とミクローシュ・レデイは書いている。^{[403]ピーター・ラックスは、フォン・ノイマンがもっと長生きしていたら}ノーベル経済学賞を受賞していただろうし、「もしコンピュータ科学と数学のノーベル賞があったら、彼はそれらも受賞していただろう」とコメントしている。^[404]ロータは「彼はコンピューティングの無限の可能性を最初に思い描いた人物であり、最初の大型コンピュータの構築につながる膨大な知的および工学的資源を集める決意を持っていた」と書き、その結果「今世紀、文明の進路にこれほど深く永続的な影響を与えた数学者は他にいない」と書いている。 ^[405]彼は20世紀で最も偉大で影響力のある数学者および科学者の一人として広く認められている。^[406]

神経生理学者 レオン・ハーモンも同様にノイマンを描写し、彼が出会った中で唯一の「真の天才」と呼んだ。「ノイマンの頭脳は万能だった。彼はどんな分野の問題も解決できた。…そして彼の頭脳は常に働いていて、常に落ち着きがなかった。」^[407]学術以外のプロジェクトのコンサルタントとして活躍する一方で、ノイマンは卓越した科学的能力と実用性を兼ね備えていたため、軍人、技術者、実業家の間で他の科学者の追随を許さない高い信頼を得ていた。ハーバート・ヨークによれば、核ミサイル分野では彼は「明らかに支配的な顧問」と考えられていた。^[408]経済学者ニコラス・カルドアは、ノイマンは「間違いなく私が出会った中で天才に最も近い存在」だったと述べた。^[268]同様に、ポール・サミュエルソンは「我々経済学者はフォン・ノイマンの天才に感謝している。彼がガウスだったのか、ポアンカレだったのか、ヒルベルトだったのかを計算するのは我々の仕事ではない。彼は比類のないジョニー・フォン・ノイマンだった。彼は我々の領域に短期間飛び込んできたが、それ以来我々の領域は変わってしまった。」と書いている。^[409]

フォン・ノイマンを称えて名付けられた行事や賞には、オペレーションズ・リサーチ・マネジメント科学研究所の毎年恒例のフォン・ノイマン理論賞^[410]、 IEEEフォン・ノイマン・メダル[ ^411]、工業応用数学協会のフォン・ノイマン賞^[412]などがある。月面のフォン・ノイマンクレーター[413]と小惑星22824フォン・ノイマンは、どちらも彼^にちなんで名付けられている。^{[414] [415]}

フォン・ノイマンは、 1947年に功労勲章、 1956年に自由勲章、^[416]、同じく1956年にエンリコ・フェルミ賞などを受賞した。アメリカ芸術科学アカデミーや米国科学アカデミーなど、複数の名誉協会の会員に選出され、8つの名誉博士号を授与された。^{[417] [418] [419]} 2005年5月4日、アメリカ合衆国郵政公社は、芸術家ビクター・スタービンがデザインしたアメリカの科学者記念切手シリーズを発行した。描かれた科学者は、フォン・ノイマン、バーバラ・マクリントック、ジョサイヤ・ウィラード・ギブス、リチャード・ファインマンである。^[420]

ジョン・フォン・ノイマン大学 [hu]は、ケチケメート大学の後継として、2016 年にハンガリーのケチケメートに設立されました。 ^[421]

フォン・ノイマンが最初に発表した論文は、マイケル・フェケテとの共著である『ある最小多項式の零点の位置について』で、フォン・ノイマンが18歳のときに出版された。19歳のとき、彼の単独論文『超限数の導入について』が出版された。 ^[422]彼は2番目の単独論文『集合論の公理化』を拡張して博士論文を作成した。^[423]彼の最初の著書『量子力学の数学的基礎』は1932年に出版された。 ^[424]その後、フォン・ノイマンはドイツ語での出版から英語での出版に切り替え、彼の出版物はより選択的になり、純粋数学を超えて拡大した。 1942年の『デトネーション波の理論』は軍事研究に貢献し、^[425]コンピューティングに関する研究は未発表の1946年の『大規模コンピューティングマシンの原理について』から始まり、天気予報に関する出版物は1950年の『順圧渦度方程式の数値積分』から始まった。^[426]後期の論文の他に、同僚や一般大衆に向けた非公式のエッセイも執筆されており、例えば1947年の『数学者』^{[427] は}「純粋数学への別れ」と評され、1955年の『我々はテクノロジーを生き残れるか?』では核戦争や意図的な気候変動を含む暗い未来を考察した。^[428]彼の全集は6巻セットにまとめられている。^[422]

• コンピュータサイエンスの先駆者リスト
• ティーポット委員会
• マニアック、2023年フォン・ノイマンに関する本
• ドイツ語: Abenteuer eines Mathematikers (英語タイトル: Adventures of a Mathematician ) スタニスワフ・ウラムの伝記映画にはジョン・フォン・ノイマンも登場します。

• ネルソン・HF・ビーブによるジョン・フォン・ノイマンの出版物のほぼ完全な書誌
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ジョン・フォン・ノイマン」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• Google Scholarのフォン・ノイマンのプロフィール
• オーラル ヒストリー プロジェクト - 1930 年代のプリンストン数学コミュニティには、プリンストン大学および高等研究所コミュニティにおけるフォン ノイマンと他の人々との交流や逸話を説明するインタビューが多数含まれています。
• 口述歴史インタビュー（ミネソタ大学チャールズ・バベッジ研究所より）：アリス・R・バークス、アーサー・W・バークス、ユージン・P・ウィグナー、ニコラス・C・メトロポリス。
• zbMATH プロフィール
• 高等研究所のデジタルリポジトリで「フォン ノイマン」を検索します。
• 量子論と数学的厳密さに関するフォン・ノイマン対ディラック –スタンフォード哲学百科事典より
• 量子論理と確率論 -スタンフォード哲学百科事典より
• ジョン・フォン・ノイマンに関するFBIのファイルがFOIを通じて公開される
• デビッド・ブレイルスフォード（ノッティンガム大学ジョン・ダンフォード名誉教授、コンピューターサイエンス）による伝記ビデオ
• ジョン・フォン・ノイマン: 21世紀の預言者 2013年Arteによるジョン・フォン・ノイマンと現代世界における彼の影響に関するドキュメンタリー (ドイツ語とフランス語、英語字幕付き)。
• ジョン・フォン・ノイマン - ドキュメンタリー 1966 年にアメリカ数学協会が制作した詳細なドキュメンタリーで、ウラム、ウィグナー、ハルモス、モルゲンシュテルン、ベーテ、ゴールドスタイン、シュトラウス、テラーなど、彼の同僚数名の発言が含まれています。