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メタ数学とは、数学的手法を用いて数学そのものを研究する学問である。この研究によってメタ理論が生み出される。メタ理論とは、他の数学理論に関する数学理論である。メタ数学への重点（そしておそらくこの用語自体の創造）は、20世紀初頭にデイヴィッド・ヒルベルトが数学の基礎を確立しようと試みたことに由来する。メタ数学は「数学と論理学のさまざまな基礎問題を調査するための厳密な数学的手法」を提供する（Kleene 1952、p. 59）。メタ数学の重要な特徴は、システム内部からの推論とシステム外部からの推論を区別することに重点を置いている点である。この非公式な例としては、「2+2=4」という命題を数学に属するものと分類し、「'2+2=4'は妥当である」という命題をメタ数学に属するものと分類することが挙げられる。
数学そのものに関するメタ数学的メタ定理は、もともと19世紀に通常の数学的定理とは区別され、当時「数学の基礎的危機」と呼ばれていた問題に焦点を当てるために考案された。英語における実数の特定の「定義」に関するリチャードのパラドックス（Richard 1905）は、数学とメタ数学を区別しないと容易に生じる矛盾の一例である。同様のことは、よく知られているラッセルのパラドックス（自身を含まないすべての集合の集合は、自身を含むか？）についても言える。
メタ数学は数理論理学と密接に結びついており、19世紀後半から20世紀初頭にかけての両分野の初期の歴史は大きく重なり合っている。近年では、数理論理学は集合論、圏論、再帰理論、純粋モデル理論といった新しい純粋数学の研究をしばしば包含するようになっている。
本格的なメタ数学的考察は、ゴットロープ・フレーゲの著作、特に1879年に出版された彼の『概念書』から始まった。
デイヴィッド・ヒルベルトは、20世紀初頭に「メタ数学」という用語を規則的に用いた最初の人物である（ヒルベルトのプログラムを参照）。彼にとってそれは、現代の証明論に似た意味を持ち、様々な公理化された数学的定理を研究するために有限的な方法が用いられるものであった（クリーネ 1952、p. 55）。
この分野におけるその他の著名な人物としては、バートランド・ラッセル、トーラルフ・スコレム、エミール・ポスト、アロンゾ・チャーチ、アラン・チューリング、スティーブン・クリーネ、ウィラード・クワイン、ポール・ベナセラフ、ヒラリー・パトナム、グレゴリー・チャイティン、アルフレッド・タルスキー、ポール・コーエン、クルト・ゲーデルなどが挙げられる。
今日では、メタ論理学とメタ数学は広く重なり合っており、どちらも学術界では数理論理学にほぼ完全に吸収されている。
双曲幾何学の発見は、メタ数学にとって重要な哲学的意義をもたらした。発見以前は、幾何学と数学は一つしか存在せず、別の幾何学が存在するという考えはあり得ないと考えられていた。
ガウスが双曲幾何学を発見したとき、彼は「ボイオティア人の騒動」を恐れて何も発表しなかったと言われている。それは、彼が数学者の王子（ラテン語で「数学者の王子」）としての地位を失うことを恐れたからである。[ 1 ] 「ボイオティア人の騒動」は起こり、そして収まり、メタ数学に拍車をかけ、数学的厳密性、分析哲学、論理学に大きな進歩をもたらした。
Begriffsschrift （ドイツ語で「概念スクリプト」の意）は、ゴットロープ・フレーゲによる論理学に関する書籍で、1879年に出版され、その書籍の中で提示された形式体系を指す。
Begriffsschriftは通常、概念記述または概念記法と訳されますが、本書の正式名称は「純粋思考の算術をモデルとした数式言語」と定義しています。フレーゲが論理学への形式的アプローチを開発した動機は、ライプニッツが計算論的推論器を開発した動機と似ています（ただし、フレーゲは序文で、この目的を達成したこと、また、ライプニッツのような理想的な言語を構築することが主な目的ではないことを明確に否定しています。フレーゲは、それは非常に困難で理想主義的ではあるものの、不可能ではない課題だと述べています）。フレーゲはその後、次の四半世紀にわたって行った数学の基礎に関する研究で、自身の論理計算法を用いました。
『プリンキピア・マテマティカ』 、あるいはしばしば「PM」と略されるこの著作は、記号論理学において、原理的にはすべての数学的真理を証明できる公理と推論規則の集合を記述しようとする試みであった。そのため、この野心的なプロジェクトは、数学と哲学の歴史において非常に重要なものであり、[ 2 ]このような試みが達成可能であるという信念の最も重要な成果の一つである。しかし、1931年にゲーデルの不完全性定理によって、PM、そして実際には他のいかなる試みも、この目標を達成することは決してできないことが決定的に証明された。つまり、数学を包含するために提案されたいかなる公理と推論規則の集合に対しても、実際にはそれらから演繹できない数学的真理が存在するということである。
PMの主な着想と動機の一つは、ゴットロープ・フレーゲの論理学に関する初期の研究であり、ラッセルはそれによって逆説的な集合が構築できることを発見した。PMは、任意の集合を無制限に作成することを排除することで、この問題を回避しようとした。これは、一般的な集合の概念を、異なる「型」の集合の階層の概念に置き換えることによって達成された。ある型の集合は、厳密に下位の型の集合のみを含むことが許される。しかし、現代の数学では、ツェルメロ＝フレンケル集合論の体系など、ラッセルのパラドックスのような問題をより扱いやすい方法で回避するのが一般的であるが、型理論は依然として広く用いられている。
ゲーデルの不完全性定理は、算術演算が可能な最も単純な公理系を除くすべての公理系に内在する限界を確立する、数学論理学の2つの定理である。1931年にクルト・ゲーデルによって証明されたこれらの定理は、数学論理学と数学哲学の両方において重要である。この2つの結果は、広く（ただし普遍的ではない）解釈ではあるが、すべての数学に対して完全かつ無矛盾な公理系を見つけようとするヒルベルトの計画は不可能であることを示し、ヒルベルトの第2問題に否定的な答えを与えるものとされている。
第一不完全性定理は、定理を「有効な手順」（例えばコンピュータプログラムだが、どのようなアルゴリズムでも構わない）で列挙できるような、一貫性のある公理系は、自然数（算術）の関係に関するすべての真理を証明できないと述べている。そのような系には必ず、自然数に関する真であるが、その系内では証明できない命題が存在する。第二不完全性定理は、第一不完全性定理の拡張であり、そのような系は自身の一貫性を証明できないことを示している。
Tスキーマまたは真理スキーマ（「規約T 」と混同しないように）は、アルフレッド・タルスキの真理の意味論的理論の実現の中核をなす真理の帰納的定義を与えるために用いられる。一部の著者はこれを「等価スキーマ」と呼んでいるが、これはマイケル・ダメットによって導入された同義語である。[ 3 ]
Tスキーマは自然言語で表現されることが多いが、多ソート述語論理や様相論理で形式化することもできる。このような形式化はT理論と呼ばれる。T理論は哲学論理学における多くの基礎研究の基盤となっており、分析哲学におけるいくつかの重要な論争にも応用されている。
半自然言語で表現すると（ここで「S」は文の名前をSと略記したもの）： 「S」は、Sが真である場合に限り真である。
例：「雪は白い」という命題は、雪が白い場合に限り真である。
Entscheidungsproblem （ドイツ語で「決定問題」）は、 1928年にデイヴィッド・ヒルベルトによって提起された課題です。[4] Entscheidungsproblemは、一階述語論理の命題（通常の一階述語論理の公理に加えて有限個の公理を持つ場合もある）を入力として受け取り、その命題が普遍的に妥当であるかどうか、つまり公理を満たすすべての構造において妥当であるかどうかに応じて「はい」または「いいえ」と答えるアルゴリズムを求めています。一階述語論理の完全性定理によれば、命題が普遍的に妥当であるのは、それが公理から演繹できる場合のみであるため、Entscheidungsproblemは、与えられた命題が論理の規則を使用して公理から証明可能かどうかを判断するアルゴリズムを求めていると考えることもできます。
1936年、アロンゾ・チャーチとアラン・チューリングはそれぞれ独立した論文[ 5 ]を発表し、「実質的に計算可能」という直感的な表記がチューリングマシンで計算可能な関数（あるいは同等に、ラムダ計算で表現可能な関数）によって捉えられると仮定すると、決定問題の一般的な解は不可能であることを示した。この仮定は現在、チャーチ＝チューリングのテーゼとして知られている。