空間を測定する

測度空間は、体積の一般化された概念を研究する数学の一分野である測度論の基本的な対象です。測度空間は、基礎となる集合、測定可能なこの集合の部分集合（ σ代数）、および測定に使用される方法（測度）を含みます。測度空間の重要な例の1つは確率空間です。

測定可能な空間は、特定の尺度を持たない最初の2つの要素から構成される。

測度空間は三つ組である${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ),}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

• ${\displaystyle X}$セット
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$は集合上のσ代数である${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu }$は、​${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

言い換えれば、測度空間は可測空間から構成される。${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$それには、それに関する尺度も含まれている。

セット${\displaystyle X=\{0,1\}}$.${\textstyle \sigma }$上記のような有限集合上の -代数は通常、冪集合 であり、これは（与えられた集合の）すべての部分集合の集合であり、 で表されます。${\textstyle \wp (\cdot ).}$この慣例に従い、 $${\displaystyle {\mathcal {A}}=\wp (X)}$$

この単純なケースでは、冪集合を明示的に書き出すことができます。 $${\displaystyle \wp (X)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}$$

尺度として定義する${\textstyle \mu }$による $${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$$ それで${\textstyle \mu (X)=1}$（尺度の加法性により）${\textstyle \mu (\varnothing )=0}$（尺度の定義による）

これにより、測定空間が導かれる。${\textstyle (X,\wp (X),\mu ).}$これは確率空間です。${\textstyle \mu (X)=1.}$対策${\textstyle \mu }$ベルヌーイ分布に対応し、${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$これは例えば、公平なコイン投げをモデル化するために使用される。

最も重要な測度空間のクラスは、それに関連する測度の性質によって定義されます。これには、一般性の低い順に以下のものが含まれます。

• 確率空間とは、測度が確率測度である測度空間のことである^{[ 1 ]}
• 有限測度空間、ここで測度は有限測度である^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle \sigma }$-有限測度空間、ここで測度は${\displaystyle \sigma }$-有限測度^{[ 3 ]}

測度空間のもう一つのクラスは、完全測度空間である。^{[ 4 ]}