恒等関数

数学において、恒等関数（恒等関係、恒等写像、恒等変換とも呼ばれる）とは、引数として使用された値を常に変更せずに返す関数のことである。つまり、${\displaystyle f}$は恒等関数であり、等号は${\displaystyle f(x)=x}$すべての値に対して真である${\displaystyle x}$それに${\displaystyle f}$適用可能です。

正式には、もし${\displaystyle X}$は集合であり、恒等関数は${\displaystyle f}$の上${\displaystyle X}$は、${\displaystyle X}$定義域および値域として、

${\displaystyle f(x)=x}$すべての要素について${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$[ ^{1 ]​}

言い換えれば、関数値は${\displaystyle f(x)}$終域において${\displaystyle X}$入力要素と常に同じです${\displaystyle x}$ドメインにおいて${\displaystyle X}$恒等関数${\displaystyle X}$は明らかに単射関数であり、全射関数でもある（その終域は値域でもある）ので、全単射である。^{[ 2 ]}

恒等関数${\displaystyle f}$の上${\displaystyle X}$はしばしば次のように表される${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$。

集合論では、関数は特定の種類の二項関係として定義され、恒等関数は恒等関係、または対角線によって与えられます。${\displaystyle X}$[ ^{3 ]​}

もし${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$は任意の関数である。${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{X}=f=\mathrm {id} _{Y}\circ f}$、 どこ "${\displaystyle \circ }$「」は関数合成を表す。^{[ 4 ]}特に、${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$は、すべての関数のモノイドの単位元です。${\displaystyle X}$に${\displaystyle X}$（関数合成において）

モノイドの単位元は一意であるため、^{[ 5 ]}単位関数を次のように定義することができる。${\displaystyle M}$この同一要素となる。このような定義は、圏論における同一射の概念に一般化され、その自己準同型は${\displaystyle M}$関数である必要はない。

• 恒等関数は、ベクトル空間に適用すると線形演算子となる。^{[ 6 ]}
• では${\displaystyle n}$-次元ベクトル空間では、恒等関数は単位行列で表されます。${\displaystyle I_{n}}$空間の基準が何であれ、それは変わりません。 ^{[ 7 ]}
• 正の整数上の恒等関数は、数論において完全乗法関数（本質的には1による乗算）として考えられている。^{[ 8 ]}
• 距離空間において、恒等関数は自明に等長変換である。対称性を持たない対象は、この等長変換のみを含む自明な群（対称タイプ）を対称群とする。${\displaystyle \mathrm {C} _{1}}$[ ^{9 ]​}
• 位相空間では、恒等関数は常に連続である。^{[ 10 ]}
• 恒等関数は冪等である。^{[ 11 ]}
• 単一要素の集合からそれ自身への写像は、必ず恒等写像となる。

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