単位根

確率論と統計学において、単位根は、時系列モデルを含む統計的推論で問題を引き起こす可能性のある、いくつかの確率過程（ランダムウォークなど）の特徴です。線形確率過程は、過程の特性方程式の根が 1 である場合に単位根を持ちます。このような過程は非定常ですが、必ずしも傾向を持つわけではありません。

特性方程式の他の根が単位円の内側にある場合、つまり係数（絶対値）が 1 未満である場合、プロセスの最初の差分は定常になります。そうでない場合、プロセスを定常化するには複数回の差分が必要です。 ^{[1]単位根が}d 個ある場合、プロセスを定常化するにはd回差分する必要があります。 ^[2]この特性により、単位根プロセスは差分定常とも呼ばれます。^{[3] [4]}

単位根過程はトレンド定常過程と混同されることがあります。両者は多くの特性を共有していますが、多くの点で異なります。時系列が非定常であっても、単位根を持たずトレンド定常である可能性があります。単位根過程とトレンド定常過程の両方において、平均は時間の経過とともに増加または減少する可能性があります。ただし、ショックがある場合、トレンド定常過程は平均回帰（つまり、一時的であり、時系列はショックの影響を受けなかった増加する平均に向かって再び収束する）しますが、単位根過程は平均に永続的な影響を与えます（つまり、時間の経過とともに収束しません）。^[5]

プロセスの特性方程式の根が 1 より大きい場合、そのプロセスは爆発プロセスと呼ばれますが、そのようなプロセスは誤って単位根プロセスと呼ばれることもあります。

単位根の存在は単位根検定を使用して検定できます。

離散時間確率過程を考え、それが p次 自己回帰過程として記述できると仮定します。 ${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots )}$

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{tp}+\varepsilon _{t}.}$

ここで、 は、一定分散 を持つ、連続的に相関のないゼロ平均の確率過程です。便宜上、 と仮定します。 が重複度1の特性方程式の根である場合: ${\displaystyle (\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle y_{0}=0}$${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

確率過程は単位根を持つか、あるいは と表記される1 次積分されます。m = 1 が重複度 r の根である場合、確率過程はr次積分され、I ( r ) と表記されます。 ${\displaystyle I(1)}$

1 次自己回帰モデル は、 のときに単位根を持ちます。この例では、特性方程式は です。方程式の根は です。 ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon_{t}}$${\displaystyle a_{1}=1}$${\displaystyle m-a_{1}=0}$${\displaystyle m=1}$

プロセスが単位根を持つ場合、それは非定常時系列です。つまり、確率過程のモーメントは に依存します。単位根の効果を説明するために、 y ₀ = 0から始まる 1 次ケースを考えてみましょう 。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

繰り返し代入することで、 と書くことができます。すると、 の分散は次のように与えられます。 ${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$${\displaystyle y_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

分散はなのでtに依存しますが、 です。 級数の分散は tとともに無限大に発散します。 ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$

単位根の存在を確認するためのさまざまなテストがあり、その一部は次のようになります。

1. ディッキー・フラー検定（DF）または拡張ディッキー・フラー検定（ADF）
2. 複数の係数の有意性を検定する（f検定）
3. フィリップス・ペロン検定(PP)
4. ディッキー・パントゥラテスト

自己回帰（AR）モデルと自己回帰移動平均（ARMA）モデルに加えて、回帰分析では、モデル誤差自体が時系列構造を持つ可能性があり、したがって、上で説明したように、単位根を持つ可能性のあるARまたはARMAプロセスによってモデル化する必要がある他の重要なモデルが発生します。単位根を含む一次ARMA誤差を持つ回帰モデルの有限サンプル特性が分析されています。^{[6] [7]}

自己回帰モデルの傾き係数を推定するために、通常最小二乗法（OLS）がよく使用されます。OLSの使用は、確率過程が定常であることを前提としています。確率過程が非定常である場合、OLSを使用すると無効な推定値が生成されます。GrangerとNewboldは、このような推定値を「偽の回帰」結果と呼びました。^[8] R ²値とt比が高いと、実際の（彼らの文脈では経済的）意味のない結果が生成されます。

傾き係数を推定するには、まず単位根検定を実施する必要があります。この検定の帰無仮説は、単位根が存在するというものです。この仮説が棄却された場合は、OLS を使用できます。ただし、単位根の存在が棄却されない場合は、系列に差分演算子を適用する必要があります。別の単位根検定で差分された時系列が定常であることが示された場合は、この系列に OLS を適用して傾き係数を推定できます。

たとえば、AR(1)の場合、は定常です。 ${\displaystyle \Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _{t}}$

AR(2)の場合、は次のように書けます。ここで、Lは、変数の時間インデックスを1周期だけ減らすラグ演算子です。 の場合、モデルは単位根を持ち、 と定義できます。 ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}}$${\displaystyle (1-\lambda _{1}L)(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}}$${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$${\displaystyle \lambda _{2}=1}$${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$

${\displaystyle z_{t}=\lambda _{1}z_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

は定常である場合に成立します。OLS を使用して傾き係数を推定できます。 ${\displaystyle |\lambda _{1}|<1}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

プロセスに複数の単位根がある場合、差分演算子を複数回適用できます。

• 単位根過程へのショックには永続的な影響があり、その影響は過程が定常である場合のようには減衰しない。
• 上で述べたように、単位根過程はtに依存した分散を持ち、無限大に発散する。
• ある級数が単位根を持つことが分かっている場合、その級数を差分して定常とすることができます。例えば、級数が I(1) の場合、その級数 は I(0) (定常) です。したがって、これは差分定常級数と呼ばれます。^{[引用が必要]}${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$

経済学者は、さまざまな経済統計、特に生産量が単位根を持つか、それともトレンド定常であるかについて議論している。^[9]ドリフトを伴う単位根過程は、一次の場合次のように表される。

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

ここで、c は「ドリフト」項と呼ばれる定数項であり、ホワイトノイズです。ノイズ項の非ゼロ値は、1 期間のみ発生し、グラフに示されているように の値に永続的に影響するため、線からの偏差は非定常であり、トレンド線への回帰はありません。対照的に、トレンド定常プロセスは次のように表されます。 ${\displaystyle e_{t}}$${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle y_{t}=a+ct}$

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

ここで、kはトレンドの傾き、はノイズです (最も単純なケースではホワイト ノイズですが、より一般的には、ノイズは定常自己回帰プロセスに従います)。ここでは、グラフにも示されているように、一時的なノイズによって、がトレンド ライン上にある長期的な傾向が変わることはありません。このプロセスは、トレンド ラインからの偏差が定常であるため、トレンド定常であると言われています。 ${\displaystyle u_{t}}$${\displaystyle y_{t}}$

この問題は、特に景気循環に関する文献でよく取り上げられている。^{[10] [11]} このテーマの研究は、GNPと他の生産量集計に関する論文でこれらの系列に対する単位根仮説を否定できなかったネルソンとプロッサーから始まった。^[12] それ以来、統計手法に関する技術的な論争と絡み合った論争が続いている。一部の経済学者^[13]は、GDPには単位根または構造的ブレークがあり、景気後退により長期的にはGDPレベルが恒久的に低下することを意味すると主張している。他の経済学者は、GDPはトレンド定常である、つまり、景気後退時にGDPがトレンドを下回ったとしても、後にトレンドが示唆するレベルに戻るため、生産量が恒久的に減少することはない、と主張している。単位根仮説に関する文献は統計手法に関する難解な議論で構成されているかもしれないが、この仮説は経済予測と政策に重要な実際的意味合いを持っている。

• ディッキー・フラー検定
• 拡張ディッキー・フラー検定
• ADF-GLSテスト
• 単位根検定
• フィリップス・ペロン検定
• 共和分、単位根を持つ2つの変数の関係を決定する
• 重み付き対称単位根検定 (WS)
• Kwiatkowski、Phillips、Schmidt、Shin テスト ( KPSS テストとも呼ばれる)