ハウスドルフのパラドックス

ハウスドルフのパラドックスは、数学におけるフェリックス・ハウスドルフにちなんで名付けられたパラドックスです。これは球面 （ 内の 3 次元球の表面）に関するものです。これは、 から特定の可算部分集合を除いた場合、残りを 3 つの互いに素な部分集合 および に分割でき、とはすべて と同型であると述べています。特に、 では、合同な集合の測度が等しいような有限加法測度がすべての部分集合上で定義されることはないということになります（これは、 の測度が同時に、、およびが球面全体の非ゼロ測度の となることを意味するため）。 ${\displaystyle {S^{2}}}$${\displaystyle {\mathbb {R} ^{3}}}$${\displaystyle {S^{2}}}$${\displaystyle {A,B}}$${\displaystyle {C}}$${\displaystyle {A,B,C}}$${\displaystyle {B\cup C}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle {B\cup C}}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 2/3}$

このパラドックスは1914 年にMathematische Annalenに掲載され、同年にハウスドルフの著書Grundzüge der Mengenlehreでも発表されました。より有名なバナッハ-タルスキーのパラドックスの証明には、ハウスドルフの考えが使われています。このパラドックスの証明は選択公理に依存しています。

このパラドックスは、すべての部分集合上で定義され、合同な部分上で等しい球面上の有限加法測度が存在しないことを示しています。(ハウスドルフは、同じ論文で、すべての部分集合上で定義される可算加法測度は存在しないというより簡単な結果を初めて示しました。)球面上の回転群の構造はここで重要な役割を果たします。この記述は平面や直線上では正しくありません。実際、後にバナッハによって示されたように、^{[1]ユークリッド平面上の}すべての有界部分集合の「面積」(および実数直線上の「長さ」) を、合同な集合が等しい「面積」を持つような方法で定義することができます。(ただし、このバナッハ測度は有限加法のみであるため、完全な意味での測度ではありませんが、ルベーグ測度が存在する集合上のルベーグ測度に等しくなります。) これは、平面(または実数直線)の2つの開部分集合が等分解可能であれば、それらの面積が等しいことを意味します。

• バナッハ・タルスキのパラドックス – 幾何定理
• 集合論のパラドックス

• ハウスドルフ、フェリックス (1914)。 「Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen」。数学アンナレン。75 (3): 428–434。土井：10.1007/bf01563735。S2CID  123243365。（原文記事；ドイツ語）
• ハウスドルフ、フェリックス (1914)。 Grundzüge der Mengenlehre (ドイツ語)。

• ProofWiki のハウスドルフのパラドックス