モジュラーラティス

順序論と呼ばれる数学の分野において、モジュラー格子とは、次の自己双対条件を満たす格子である。

モジュラー法: $a \leq b は$ $a$ $\lor ($ $x$ $\land$ $b$ $) = ($ $a$ $\lor$ $x$ $) \land$ $b$ を意味する

ここで、 $x 、 a 、 b$ は格子内の任意の要素、 ≤ は半順序、 ∨ と ∧ (それぞれjoin と meet と呼ばれる) は格子の演算です。この表現は、サブ格子 $[a 、 b]への射影による解釈、つまり$ ダイヤモンド同型定理として知られる事実を強調しています。^[1] 方程式として述べられる代替的だが同等の条件 (以下を参照) は、モジュラー格子が普遍代数の意味で多様体を形成することを強調しています。

モジュラー格子は、代数学や数学の他の多くの分野で自然に発生します。これらのシナリオでは、モジュラー性は第 2 同型定理の抽象化です。たとえば、ベクトル空間の部分空間 (より一般的には、環上のモジュールの部分モジュール) は、モジュラー格子を形成します。

必ずしもモジュラー格子ではない場合でも、任意の元 $x$ および $a$ ( $a$ $\leq$ $b$ )に関連してモジュラー法則が成立する元 $b$ が存在する場合があります。このような元は右モジュラー元と呼ばれます。さらに一般的には、モジュラー法則は任意の $a$ と固定されたペア $($ $x$ $、$ $b$ $)$ に対して成立する場合があります。このようなペアはモジュラーペアと呼ばれ、この概念および半モジュラー性に関連するモジュラー性のさまざまな一般化があります。

モジュラー格子は、いくつかの例でモジュラー恒等式を発見したリチャード・デデキントにちなんで、デデキント格子と呼ばれることもあります。

導入

モジュラー法則は、ベクトル空間の結合法則 λ(μ x ) = (λμ) xが体上の乗算とスカラー乗算を結び付けるのと同様に、2 つの格子演算を結び付ける制限された結合法則として考えることができます。

制限 $a \leq b は$ 明らかに必要です。なぜなら、 $a \lor (x \land b) = (a \lor x) \land b$ に従うからです。言い換えれば、1 つ以上の要素を持つ格子は、モジュラー法則の無制限の帰結を満たしません。

^[2]から、 $a \leq bで$ あれば、あらゆる格子において $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land bと$ なることは容易に分かる。したがって、モジュラー法則は次のようにも表現できる。

モジュラー法（変形）: $a \leq b$ $ならば(a \lor x) \land b \leq a \lor (x \land b)$ となる。

モジュラー法則は、無条件に成立することが求められる方程式として表現できます。a $\leq$ $b は$ $a$ $= a \land b を$ 意味し、 $a \land b \leq b$ なので、モジュラー法則の定義方程式で $a を$ $a \land b$ に置き換えると、次の式が得られます。

モジュラーアイデンティティ: $(a \land b) \lor (x \land b) = ((a \land b) \lor x) \land b です$ 。

これは、普遍代数の用語を使用すると、モジュラー格子が格子多様体のサブ多様体を形成することを示しています。したがって、モジュラー格子のすべての準同型像、サブ格子、および直積は、やはりモジュラーです。

例

環上の加群の部分加群の格子はモジュラーである。特別なケースとして、アーベル群の部分群の格子はモジュラーである。

グループの正規部分群の格子はモジュラーです。しかし、一般にグループのすべての部分群の格子はモジュラーではありません。たとえば、位数 8 の二面体グループの部分群の格子はモジュラーではありません。

最小の非モジュラー格子は、0 < x < b < 1、0 < a < 1、a はxまたは b と比較できない5 つの要素 0、1、 x、a、bで構成される「五角形」格子N ₅です。この格子では、

x ∨ ( a ∧ b ) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = ( x ∨ a ) ∧ b

_{が成り立ち、モジュラー法則に反する。すべての非モジュラー格子には}N5のコピーが部分格子として含まれる。^[3]

プロパティ

すべての分配格子はモジュール化されている。^[4]^[5]

ディルワース（1954）は、すべての有限モジュラー格子において、結合不可元数の数は、会合不可元数の等しいことを証明した。より一般的には、すべての $kに対して、ちょうど$ $k$ 個の他の元を覆う格子の元数は、ちょうど $k個の$ 他の元によって覆われる元数に等しい。^[6]

格子がモジュラーではないことを示す便利な特性は次のとおりです。

格子

G

がモジュラーである必要十分条件は、任意の

a, b, c \in G

に対して、

{\Big (}(c\leq a){\text{ かつ }}(a\wedge b=c\wedge b){\text{ かつ }}(a\vee b=c\vee b){\Big )}\Rightarrow (a=c)

証明の概要: G をモジュラーとし、含意の前提が成り立つとします。すると、吸収とモジュラー恒等式を使用して次のようになります。

c = ( c ∧ b ) ∨ c = ( a ∧ b ) ∨ c = a ∧ ( b ∨ c ) = a ∧ ( b ∨ a ) = a

逆方向については、定理の含意が G で成り立つとします。a、b、c をG の任意の元とし、 c ≤ aとします。x = ( a ∧ b ) ∨ c、y = a ∧ ( b ∨ c ) とします。モジュラー不等式からx ≤ yが直ちに導かれます。 x ∧ b = y ∧ b、x ∨ b = y ∨ bであることが示されれば、仮定を用いるとx = yが成り立つはずです。証明の残りは、最小値、最大値、不等式を使った通常の操作です。^{[引用が必要]}

ダイヤモンド同型定理

モジュラー格子の任意の2つの元a、bに対して、[ a ∧ b、b ]と[ a、a ∨ b ]の区間を考えることができる。これらは順序保存写像によって接続される。

φ: [ a ∧ b , b ] → [ a , a ∨ b ] かつ

ψ: [ a , a ∨ b ] → [ a ∧ b , b ]

φ( x ) = x ∨ aおよび ψ( y ) = y ∧ bで定義されます。

モジュラー格子では、矢印で示される写像 φ と ψ は相互に逆同型です。
非モジュラ格子におけるダイヤモンド同型定理の失敗。

合成 ψφ は区間 [ a ∧ b , b ] からそれ自身への順序保存写像であり、不等式 ψ(φ( x )) = ( x ∨ a ) ∧ b ≥ xも満たします。この例は、この不等式が一般に厳密になり得ることを示しています。しかし、モジュラー格子では等式が成り立ちます。モジュラー格子の双対もモジュラーなので、 φψ は [ a , a ∨ b ] 上の単位元でもあり、したがって 2 つの写像 φ と ψ はこれら 2 つの区間間の同型です。この結果は、モジュラー格子のダイヤモンド同型定理と呼ばれることもあります。格子がモジュラーであるためには、すべての要素のペアに対してダイヤモンド同型定理が成り立つ必要があります。

モジュラー格子のダイヤモンド同型定理は代数学における第2同型定理に類似しており、格子定理の一般化です。

モジュラーペアと関連概念

任意の格子において、モジュラーペアとは、 a ∧ b ≤ x ≤ b を満たすすべてのxに対して、 ( x ∨ a ) ∧ b = xが成り立つような要素のペア ( a, b ) のことです。つまり、そのペアに対してダイヤモンド同型定理の半分が成り立つ場合です。^[7]格子の要素bは、 ( a, b ) がすべての要素aに対してモジュラーペアである場合に右モジュラー要素と呼ばれ、 ( a, b )がすべての要素bに対してモジュラーペアである場合に左モジュラー要素と呼ばれます。^[8]

( a, b ) がモジュラーペアであれば、 ( b, a ) もモジュラーペアであるという性質を持つ格子は、 M対称格子と呼ばれる。^[9] したがって、M対称格子では、すべての右モジュラー要素は左モジュラーでもあり、その逆も同様である。格子がモジュラーであるためには、すべての要素のペアがモジュラーである必要があるため、明らかにすべてのモジュラー格子はM対称である。上記の格子N ₅では、ペア ( b, a ) はモジュラーであるが、ペア ( a, b ) はモジュラーではない。したがって、N ₅はM対称ではない。中心六角形格子S ₇はM対称だがモジュラーではない。N _{5 は}S ₇の部分格子であるため、M対称格子は格子多様体のサブ多様体を形成しないことになる。

M 対称性は自己双対概念ではありません。双対モジュラーペアは双対格子内でモジュラーであるペアであり、格子は双対が M 対称である場合に双対 M 対称またはM ^*対称と呼ばれます。有限格子がモジュラーであるのは、M 対称かつ M ^*対称である場合のみであることが示されます。同じ同値性は、昇順チェーン条件(または降順チェーン条件) を満たす無限格子にも当てはまります。

あまり重要ではないが、いくつかの概念も密接に関連しています。すべてのモジュラーペア ( a, b ) に対して、ペア ( b, a ) が双対モジュラーである場合、格子は交差対称です。交差対称性は M 対称性を意味しますが、M ^*対称性は意味しません。したがって、交差対称性は双対交差対称性とは同等ではありません。最小元 0 を持つ格子は、a ∧ b = 0 を満たすすべてのモジュラーペア ( a, b )に対して、ペア ( b, a ) もモジュラーである場合、 ⊥ 対称です。

歴史

モジュラリティの定義は、退職後に関連論文のほとんどを発表したリチャード・デデキントによるものです。1894 年に発表された論文^[要出典]で、彼は「モジュールの代数」の一部として双対群(ドイツ語: Dualgruppen ) と名付けた格子を研究し、イデアルが現在モジュラー法則と呼ばれるものを満たすことを観察しました。また、格子一般では、モジュラー法則はその双対と同等であることも観察しました。

1897年の別の論文で、デデキントはgcdとlcmを演算として用いて因子の束を研究し、その格子の順序は割り切れるかどうかで決まるとしている。^[10] 彼は余談で、一般的な文脈で格子を正式に紹介し研究した。^[10]^{: 10–18}彼は、モジュールの部分モジュールの束がモジュラー恒等式を満たすことを観察した。彼はそのような束をモジュール型の双対群（Dualgruppen vom Modultypus）と呼んだ。彼はまた、モジュラー恒等式とその双対が同値であることを証明した。^[10]^{: 13}

同じ論文で、デデキントは、モジュラー単位元のより強い形式である^[10]^{: 14}も研究した。これは自己双対でもある: ^[10]^{: 9}

( x ∧ b ) ∨ ( a ∧ b ) = [ x ∨ a ] ∧ bです。

彼はこの恒等式を満たす格子をイデアル型の双対群（Dualgruppen vom Idealtypus）と呼んだ。^[10]^{: 13}現代の文献では、これらは分配格子と呼ばれることが多い。彼はモジュラーでない格子とイデアル型でないモジュラー格子の例を示した。^[10]^{: 14}

デデキントが1900年に発表した論文では格子が中心的なテーマとなっており、3つの要素によって生成される自由モジュラー格子、つまり28の要素を持つ格子について説明しました（図を参照）。^[11]

参照

モジュラーグラフ、モジュラー格子のハッセ図を含むグラフのクラス
ヤング・フィボナッチ格子、数字1と2の文字列上に定義される無限モジュラー格子
オルソモジュラー格子
超可解格子
岩沢グループ

注記

^ 「モジュラー格子はなぜ重要なのか?」Mathematics Stack Exchange 。 2018年9月17日閲覧。
^ 任意の格子に対して、 $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land (a \lor b)$ が成り立ちます。また、 $a \leq b$ のときはいつでも、 $a \lor b = b$ です。
^ Blyth, TS (2005). 「モジュラー格子」.格子と順序付き代数構造. Universitext. ロンドン: Springer. 定理 4.4. doi :10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0。
^ Blyth, TS (2005). 「モジュラー格子」.格子と順序付き代数構造. Universitext. ロンドン: Springer. p. 65. doi :10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0。
^ 分配格子では、次が成り立ちます。さらに、吸収法則は任意の格子に対して成り立ちます。これを前の式の右辺の 2 番目の共役に代入すると、モジュラー単位元が得られます。 $(a\wedge b)\vee (x\wedge b)=((a\wedge b)\vee x)\wedge ((a\wedge b)\vee b)$ $(a\wedge b)\vee b=b$
^ ディルワース、RP (1954)、「有限モジュラー格子に関する予想の証明」、数学年報、第2シリーズ、60 (2): 359–364、doi :10.2307/1969639、JSTOR 1969639、MR 0063348.ボガート、ケネス P.、フリーズ、ラルフ、クン、ジョセフ PS 編 (1990)、「有限モジュラー格子に関する予想の証明」、ディルワース定理: ロバート P. ディルワースの選集、現代数学者、ボストン: バークハウザー、pp. 219–224、doi :10.1007/978-1-4899-3558-8_21、ISBN に再録 978-1-4899-3560-1
^ モジュラーペアのフランス語はcouple modulaireです。ペア( a ,b )は、( a,b )と( b,a )の両方がモジュラーペアである場合、フランス語でa paire modulaireと呼ばれます。
^ モジュラー元は、右モジュラー（Stern (1999, p. 74)）、左モジュラー（Orlik & Terao (1992, 定義 2.25)）、左モジュラーと右モジュラー（またはデュアル右モジュラー）（Sagan (1999), Schmidt (1994, p. 43)）、モジュラーランク条件を満たす（Stanley (2007, 定義 4.12)）など、さまざまな著者によって定義されています。これらの概念はセミモジュラー格子では同等ですが、一般にはそうではありません。
^ Fofanova (2001) などの著者は、このような格子を半モジュラー格子と呼んでいます。すべての M 対称格子は半モジュラーであり、有限長の格子ではその逆が成り立つため、無限長の格子では混乱を招くだけです。
^ abcdefg Dedekind、Richard (1897)、「Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler」(PDF)、Festschrift der Herzogl. Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte in Braunschweig , Friedrich Vieweg und Sohn
^ リチャード・デデキント (1900)、「Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe」、Mathematische Annalen、53 (3): 371–403、doi :10.1007/BF01448979、S2CID 122529830

参考文献

コリー、レオ（2003-11-27）、現代代数学と数学的構造の台頭（第2版）、pp. 121–129、ISBN 978-3-7643-7002-2
Fofanova, T. S. (2001) [1994]、「半モジュラー格子」、数学百科事典、EMS プレス
前田修一郎（1965）「原子格子におけるモジュラー関係の対称性について」広島大学理学雑誌、29：165-170
ピーター・オルリック;寺尾宏明(1992)、超平面の配置、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 300、Springer-Verlag、土井：10.1007/978-3-662-02772-1
Rota, Gian-Carlo (1997)、「格子理論の多面性」(PDF)、アメリカ数学会誌、44 (11): 1440–1445、ISSN 0002-9920
Skornyakov, L. A. (2001) [1994]、「モジュラー格子」、数学百科事典、EMS Press
セーガン、ブルース(1999)、「なぜ特性多項式因数なのか」、アメリカ数学会報、36 (2): 113–133、arXiv : math/9812136、doi :10.1090/S0273-0979-99-00775-2
Schmidt、Roland (1994)、群のサブグループ格子、de Gruyter Expositions in Mathematics、vol. 14、Walter de Gruyter & Co.、土井：10.1515/9783110868647、ISBN 3-11-011213-2
スタンレー、リチャード P. (2007)、「超平面配置入門」、幾何学的組合せ論、IAS/パークシティ数学シリーズ、第 13 巻、アメリカ数学会、pp. 389–496、ISBN 978-0-8218-3736-8
スターン、マンフレッド（1999）、セミモジュラー格子、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-46105-4
ワイススタイン、エリック W.、「モジュラーラティス」、MathWorld—Wolfram Web リソース、 2024 年11 月 26 日取得

外部リンク

「モジュラー格子」。PlanetMath。
OEISシーケンス A006981 (n 個の要素を持つラベルなしモジュラー格子の数)
無料のモジュラーラティスジェネレーターいくつかの無料のモジュラーラティスを生成および視覚化できる、オープンソースのブラウザーベースの Web アプリケーションです。

[1] 「モジュラー格子はなぜ重要なのか?」Mathematics Stack Exchange 。 2018年9月17日閲覧。

[2] 任意の格子に対して、 $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land (a \lor b)$ が成り立ちます。また、 $a \leq b$ のときはいつでも、 $a \lor b = b$ です。

[:0-3] Blyth, TS (2005). 「モジュラー格子」.格子と順序付き代数構造. Universitext. ロンドン: Springer. 定理 4.4. doi :10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0。

[4] Blyth, TS (2005). 「モジュラー格子」.格子と順序付き代数構造. Universitext. ロンドン: Springer. p. 65. doi :10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0。

[5] 分配格子では、次が成り立ちます。さらに、吸収法則は任意の格子に対して成り立ちます。これを前の式の右辺の 2 番目の共役に代入すると、モジュラー単位元が得られます。 $(a\wedge b)\vee (x\wedge b)=((a\wedge b)\vee x)\wedge ((a\wedge b)\vee b)$ $(a\wedge b)\vee b=b$

[6] ディルワース、RP (1954)、「有限モジュラー格子に関する予想の証明」、数学年報、第2シリーズ、60 (2): 359–364、doi :10.2307/1969639、JSTOR 1969639、MR 0063348.ボガート、ケネス P.、フリーズ、ラルフ、クン、ジョセフ PS 編 (1990)、「有限モジュラー格子に関する予想の証明」、ディルワース定理: ロバート P. ディルワースの選集、現代数学者、ボストン: バークハウザー、pp. 219–224、doi :10.1007/978-1-4899-3558-8_21、ISBN に再録 978-1-4899-3560-1

[7] モジュラーペアのフランス語はcouple modulaireです。ペア( a ,b )は、( a,b )と( b,a )の両方がモジュラーペアである場合、フランス語でa paire modulaireと呼ばれます。

[8] モジュラー元は、右モジュラー（Stern (1999, p. 74)）、左モジュラー（Orlik & Terao (1992, 定義 2.25)）、左モジュラーと右モジュラー（またはデュアル右モジュラー）（Sagan (1999), Schmidt (1994, p. 43)）、モジュラーランク条件を満たす（Stanley (2007, 定義 4.12)）など、さまざまな著者によって定義されています。これらの概念はセミモジュラー格子では同等ですが、一般にはそうではありません。

[9] Fofanova (2001) などの著者は、このような格子を半モジュラー格子と呼んでいます。すべての M 対称格子は半モジュラーであり、有限長の格子ではその逆が成り立つため、無限長の格子では混乱を招くだけです。

[Dedekind.1897-10] Dedekind、Richard (1897)、「Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler」(PDF)、Festschrift der Herzogl. Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte in Braunschweig , Friedrich Vieweg und Sohn

[11] リチャード・デデキント (1900)、「Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe」、Mathematische Annalen、53 (3): 371–403、doi :10.1007/BF01448979、S2CID 122529830

導入

例

プロパティ

ダイヤモンド同型定理

モジュラーペアと関連概念

歴史

参照

注記

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外部リンク

関連するトピック

次元

ハッセ図は

st平面グラフ

順序論