フェリックス・ハウスドルフ

フェリックス・ハウスドルフ
生まれる	( 1868-11-08 )1868年11月8日 プロイセン王国ブレスラウ（ 現在のポーランド、ヴロツワフ）
死亡	1942年1月26日（1942-01-26）（享年73歳） ボン、ドイツ
国籍	ドイツ語
母校	ライプツィヒ大学
知られている	η セット 往復法 ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式 ハウスドルフ完成 ハウスドルフ次元 ハウスドルフ距離 ハウスドルフギャップ ハウスドルフ最大原理 ハウスドルフ尺度 ハウスドルフのパラドックス ハウスドルフ空間 ハウスドルフモーメント問題 ハウスドルフ・ヤング不等式
配偶者	シャルロッテ・ハウスドルフ（1873-1942）
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	ボン大学、グライフスヴァルト大学、ライプツィヒ大学
論文	天文学の理論 (1891)
博士課程の指導教員	ハインリヒ・ブルンス アドルフ・メイヤー

フェリックス・ハウスドルフ（/ ˈ h aʊ s d ɔːr f / HOWS -dorf、/ ˈ h aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ; ^[1] 1868年11月8日 - 1942年1月26日^[2]）は、ドイツの数学者で、ペンネームはパウル・モングレ（à mon gré（フランス語）=「私の好みに応じて」）^{[3]であった。現代}位相幾何学の創始者の一人とみなされており、集合論、記述集合論、測度論、関数解析に大きく貢献した。

彼はユダヤ人であり、 1938年の水晶の夜以降、ハウスドルフとその家族の生活は困難になった。翌年、彼は米国への移住に取り組んだが、研究フェローシップを受けるための手配ができなかった。1942年1月26日、フェリックス・ハウスドルフは、妻と義理の妹とともに、エンデニヒ収容所に移れというドイツの命令に従い、そこで起こりうる結果に苦しむことよりも、ベロナールを過剰摂取して自殺した。彼はそのことについて幻想を抱いていなかった。

ハウスドルフの父、ユダヤ人商人のルイス・ハウスドルフ（1843-1896）は、 1870年の秋に幼い家族とともにライプツィヒに移り、リネンや綿製品工場を含むさまざまな会社で働きました。彼は教養のある人物で、 14歳でモレヌになりました。彼はタルムード法の観点からアラム語訳聖書に関する長編作品を含むいくつかの論文を執筆しました。

ハウスドルフの母ヘドヴィグ (1848-1902) は、さまざまな文書でヨハンナとも呼ばれ、ユダヤ人のティーツ家の出身です。この家の別の支族からは、最初の百貨店の創設者で、後に「ヘルマン ティーツ」と呼ばれる百貨店チェーンの共同所有者となったヘルマン ティーツが生まれました。ナチス独裁政権の時代に、名前は「アーリア化」されてヘルティになりました。

フェリックス・ハウスドルフは、1878年から1887年まで、人文主義教育の温床として名高いライプツィヒのニコライ学校に通っていました。彼は優秀な生徒で、長年クラスのリーダーを務め、学校の祝賀会では自作のラテン語やドイツ語の詩をよく朗読していました。

高校時代後半、ハウスドルフにとって主な研究科目を選ぶのは容易なことではなかった。1926年から1932年にかけてハウスドルフの家によく来ていたマグダ・ディルケスマンは、1967年に次のように報告している。

彼の多才な音楽的才能は非常に優れていたため、父親の強い勧めによってのみ、彼は音楽を学んで作曲家になるという計画を断念することができた。

彼は自然科学を学ぶことを決意し、1887年の卒業クラスで唯一最高の成績を収めた人物となった。

1887年から1891年ま​​で、ハウスドルフは主に故郷のライプツィヒで数学と天文学を学び、その間に1学期フライブルク（1888年夏）とベルリン（1888/1889年冬）にも留学した。他の学生たちの証言によれば、彼は非常に多才で好奇心旺盛な若者で、数学や天文学の講義のほか、物理学、化学、地理学の講義、哲学や哲学史、言語、文学、社会科学の問題に関する講義にも出席していたという。ライプツィヒでは、音楽学者オスカー・パウルから音楽史の講義を受けた。幼いころから音楽が好きだった彼は生涯にわたって音楽を愛した。さまざまな参加者の証言によると、ハウスドルフの家で家主とピアノを弾き、印象的な音楽の夕べを開いていたという。ライプツィヒの学生時代から、彼はリヒャルト・ワーグナーの音楽の崇拝者であり愛好家でもありました。

学業の後半、ハウスドルフはハインリヒ・ブルンス（1848-1919）と親しくなりました。ブルンスはライプツィヒ大学の天文学教授で天文台の所長でした。ブルンスの指導の下、ハウスドルフは1891年に大気中の光の屈折理論に関する論文で卒業しました。同じ主題で2つの出版物が続き、1895年には大気中の光の吸収に関する論文で天文学士の資格も取得しました。ハウスドルフのこれらの初期の天文学的研究は、その優れた数学的定式化にもかかわらず、最終的には科学界にとってあまり重要ではありませんでした。1つには、ブルンスの根本的なアイデアが後に実現不可能であることが判明しました（天文地平線近くでの屈折観測が必要でしたが、ユリウス・バウシンガーが示すように、必要な精度でこれを得ることはできませんでした）。さらに、気象観測気球からの大気データの直接測定の進歩により、屈折観測によるこのデータの緻密な精度は不要になりました。博士号の取得から学位取得までの期間に、ハウスドルフは 1 年間の兵役義務を終え、ライプツィヒの天文台で2 年間、人間コンピューターとして働きました。

大学資格取得後、ハウスドルフはライプツィヒ大学の講師となり、数学のさまざまな分野で幅広く教え始めました。数学の教育と研究に加えて、彼は文学と哲学への関心も追求しました。多趣味の人であった彼は、ヘルマン・コンラーディ、リヒャルト・デーメル、オットー・エーリッヒ・ハルトレーベン、グスタフ・キルシュタイン、マックス・クリンガー、マックス・レーガー、フランク・ヴェーデキントなど、多くの有名な作家、芸術家、出版者とよく交流していました。1897年から1904年は彼の文学と哲学の創造性の絶頂期であり、この時期に詩集、戯曲、認識論の本、格言集など、22のペンネームの作品のうち18が出版されました。

1899年、ハウスドルフはユダヤ人医師ジーギスムント・ゴールドシュミットの娘シャルロッテ・ゴールドシュミットと結婚した。彼女の継母は有名な女性参政権運動家で幼稚園教師のヘンリエッテ・ゴールドシュミットであった。ハウスドルフの唯一の子供である娘レノーレ（ノラ）は1900年に生まれ、ナチス時代を生き延びて長生きし、1991年にボンで亡くなった。

1901 年 12 月、ハウスドルフはライプツィヒ大学の非常勤准教授に任命されました。ハウスドルフがゲッティンゲン大学から電話を受けたが断ったというよく言われる事実は、確認できず、おそらく間違いです。ハウスドルフのライプツィヒ大学への応募を検討した後、学部長のキルヒナーは、ハインリッヒ・ブルンスが書いた同僚からの非常に肯定的な投票に次の文言を追加せざるを得ないと感じました。

しかし、学部は、今年11月2日に開かれた学部会議で検討された上記の申請が全員の承認ではなく、22対7の票数で承認されたことを王立省に報告する義務があると考えている。ハウスドルフ博士がモーゼの信仰者であるという理由で、少数派が反対した。^[4]

この引用文は、 1873 年の株式市場の暴落後、特にドイツ帝国全体で急激に高まった、当時のあからさまな反ユダヤ主義を強調している。ライプツィヒは、特に学生の間で反ユダヤ主義感情の中心地であり、ハウスドルフがライプツィヒで落ち着かなかった理由はおそらくこれだろう。また、ライプツィヒの教授たちの階級的態度によるストレスも、別の要因だったかもしれない。

ハウスドルフは、学士号取得後、光学、非ユークリッド幾何学、超複素数系に関する他の著作と、確率論に関する2本の論文を執筆した。しかし、すぐに彼の主な研究分野は集合論、特に順序集合の理論になった。ハウスドルフがゲオルク・カントールの研究を始めたのは、1897年頃から哲学的な興味からだけであったが、1901年には既に集合論の講義を始めていた。彼の講義は集合論に関する最初の講義の一つであり、1900年から1901年の冬にゲッティンゲン大学で行ったエルンスト・ツェルメロの講義だけがそれより早い。同年、彼は順序型に関する最初の論文を発表し、その中で、次数付き順序型と呼ばれる整列の一般化を検討した。次数付き順序型とは、 2つの線分が同じ順序型を共有しない場合に線型順序が次数付きであるとするものである。彼はカントール・ベルンシュタインの定理を一般化し、可算な順序型の集合は連続体の濃度を持つと述べ、べき等濃度mのすべての次数付き型の集合は濃度が2mであること^を示した。^[5]

1910 年の夏学期、ハウスドルフはボン大学の教授に任命されました。そこで彼は集合論に関する一連の講義を開始し、1912 年の夏学期に向けてそれを大幅に改訂し拡張しました。

1912年の夏、彼は自身の最高傑作である『集合論の基礎』の執筆も開始した。この本は、ハウスドルフが1913年の夏学期に教授として赴任していたグライフスヴァルトで完成し、1914年4月に出版された。

グライフスヴァルト大学はプロイセンの大学の中で最も小規模であった。同大学の数学研究所も小規模で、1916 年の夏から 1916/17 年の冬にかけて、ハウスドルフはグライフスヴァルトで唯一の数学者であった。つまり、ハウスドルフは基礎コースの指導にほぼ完全に忙殺されていた。そのため、ハウスドルフが 1921 年にボンに赴任したことは、彼の学歴にとって大きな進歩であった。同大学では、より幅広いトピックについて自由に教えることができ、最新の研究について講義することが多かった。1923 年の夏学期には、特に注目すべき確率論の講義 (NL ハウスドルフ: カプセル 21: ファズ 64) を行い、この講義で確率論を測度論的公理理論に基礎づけた。これは、AN コルモゴロフの「確率論の基本概念」(全集第 5 巻に全文再録) の 10 年前のことである。ボンでは、ハウスドルフはエドゥアルト・スタディ、後にオットー・テプリッツと友人であり同僚であったが、二人とも傑出した数学者であった。

ナチス党による政権奪取後、反ユダヤ主義は国家の教義となった。ハウスドルフは1914年以前からドイツの公務員であったため、1933年に採択された「専門公務員の復活法」を当初は懸念していなかった。しかし、講義の1つがナチス学生役員によって中断されたため、彼は完全に免れたわけではなかった。1934/1935年の冬学期、ボン大学でナチスドイツ学生連合（NSDStB）の作業セッションがあり、その学期のテーマとして「人種と民族」が選ばれた。ハウスドルフは1934/1935年冬学期の微積分IIIのコースを11月20日にキャンセルしたが、このテーマの選択はハウスドルフの授業のキャンセルと関係があったと推測される。なぜなら、大学講師としての長いキャリアの中で、ハウスドルフは常に自分の講義を最後まで教えてきたからである。

1935 年 3 月 31 日、何度かのやり取りを経て、ハウスドルフはついに名誉教授の地位を与えられました。ドイツの高等教育システムにおける 40 年にわたる功績に対して感謝の言葉は述べられませんでした。

彼の学術的遺産は、ハウスドルフがますます困難を増すこの時代にも数学の研究を続け、関心の高い動向を追い続けていたことを示している。彼は集合論に関する著作の増補版に加えて、位相幾何学と記述的集合論に関する7つの著作を執筆した。これらはポーランドの雑誌に掲載され、1つはStudia Mathematicaに、その他はFundamenta Mathematicaeに掲載された。このとき、ハウスドルフはエーリッヒ・ベッセル＝ハーゲンの支援を受けていた。ベッセル＝ハーゲンはハウスドルフ家の忠実な友人で、ハウスドルフが立ち入ることはもはや許されなくなった大学図書館から書籍や雑誌を入手していた。

1938年の水晶の夜以降、ハウスドルフとその家族が特に受けた屈辱については多くのことが知られています。ベッセル＝ハーゲンの手紙を含め、多くの資料があります。^[6]

1939年、ハウスドルフは数学者リチャード・クーラントに米国への移住のための研究フェローシップを求めたが、無駄だった。1941年半ば、ボンのユダヤ人は、修道女たちが追放されていたボンのエンデニヒにある「永遠の礼拝のための修道院」に移送され始めた。東部の絶滅収容所への移送は後に行われた。ハウスドルフ、彼の妻、そして妻の妹で一緒に住んでいたエディト・パッペンハイムは、1942年1月にエンデニヒ収容所への移動を命じられ、1942年1月26日にベロナールの過剰摂取により3人は自殺した。^{[7]彼らの永眠の地はボンの}ポッペルスドルフ墓地にある。仮収容所に収容されてから自殺するまでの間、彼は手書きのナクラスをエジプト学者で牧師のハンス・ボネットに渡した。ボネットは、自宅が爆撃で破壊されたにもかかわらず、可能な限り多くのナクラスを救った。

ユダヤ人仲間の中にはエンデニヒ収容所について幻想を抱いていた者もいたかもしれないが、ハウスドルフはそうではなかった。ベッセル＝ハーゲンの邸宅で、E・ノイエンシュヴァンダーは、ハウスドルフがユダヤ人であった弁護士ハンス・ウォルシュタインに宛てて書いた別れの手紙を発見した。^{[8] [9]}手紙の冒頭と結末は次の通りである。

親愛なる友人ウォルスタイン！

もしあなたがこれらの手紙を受け取っているなら、私たち（3人）は、あなたがいつも私たちを思いとどまらせようとしてきた方法とは別の方法で問題を解決したことになります。あなたが私たちに予測してくれた、移転の困難を乗り越えれば得られるであろう安心感は、まだ私たちの手に届いていません。それどころか、エンデニヒは終わりではないかもしれません！

ここ数ヶ月にユダヤ人に対して起こった出来事は、彼らが我々をこれ以上耐えられる状況に導かないのではないかという正当な恐怖を呼び起こす。

ハウスドルフは友人たちに感謝し、落ち着いて葬儀と遺言に関する最後の願いを述べた後、次のように書いている。

死後もなおご苦労をおかけして申し訳ありません。あなたはできることを（おそらく大したことではないでしょうが）やっていると私は確信しています。私たちの見捨てられたことをお許しください。あなたとすべての友人がより良い時を過ごせるよう願っています。

あなたの真の献身

フェリックス・ハウスドルフ

残念ながら、この願いは叶わなかった。ハウスドルフの弁護士、ウォルシュタインはアウシュビッツで殺害されたのだ。

ハウスドルフの蔵書は、彼の義理の息子で唯一の相続人であるアーサー・ケーニッヒによって売却された。ハンス・ボネットによって保存されたハウスドルフの「ナハラス」の一部は現在、ボン大学とボン州立図書館に所蔵されている。「ナハラス」は目録化されている。^[10]

1897年に出版されたハウスドルフの格言集は、ポール・モングレというペンネームで出版された最初の作品である。その題名は『サンティラリオ：ツァラトゥストラの風景からの思索』である。副題は、ハウスドルフがジェノヴァ近郊のリグリア海岸での療養中に本を完成させたこと、そして同じ地域でフリードリヒ・ニーチェが『ツァラトゥストラはかく語りき』の最初の2部を書いたという事実をまず取り上げている。また、ハウスドルフはニーチェとの精神的な近さにも言及している。週刊紙『未来』に掲載されたサンティラリオに関する記事で、ハウスドルフはニーチェへの恩義をはっきりと言葉で認めている。

ハウスドルフはニーチェを模倣したり、超えようとしたりはしなかった。当時の評論では「ニーチェの模倣の痕跡はない」と評されている。彼はニーチェに従い、個人の思考を解放し、時代遅れの基準に疑問を投げかける自由を求めた。ハウスドルフはニーチェの晩年の著作に対して批判的な距離を保っていた。ニーチェ アーカイブに残されたメモからまとめた「権力への意志」という本に関するエッセイで、彼は次のように述べている。

ニーチェの中には狂信者が輝いている。彼の繁殖の道徳は、私たちの現在の生物学的、生理学的知識の基盤の上に築かれた。それは、異端審問や魔女裁判が無害な逸脱行為へと消え去る、世界史的なスキャンダルになり得る。

彼の批判基準はニーチェ自身から得たものであり、

親切で謙虚で理解力のあるニーチェから、そして冷静で教条にとらわれず体系化されていない懐疑論者ニーチェの自由な精神から...

1898年、ハウスドルフはポール・モングレというペンネームで「宇宙の選択におけるカオス」と題する認識論的実験を出版した。この本で提起された形而上学批判は、ニーチェの永劫回帰の考えに対するハウスドルフの対決に端を発している。究極的には、それはあらゆる種類の形而上学を破壊することである。ハウスドルフが言うように、世界そのもの、世界の超越的核心については、我々は何も知らず、何も知ることもできない。我々は「世界そのもの」を不確定で不確定なもの、単なるカオスとして想定しなければならない。我々の経験の世界、我々の宇宙は、我々が理解力に応じて本能的に行ってきた選択の結果であり、これからも常に行っていくであろう。そのカオスから見れば、他のすべての枠組み、他の宇宙が考えられる。つまり、私たちの宇宙の世界からは、超越的な世界についていかなる結論も引き出す​​ことはできないのです。

1904年、雑誌「ニュー・ルントシャウ」にハウスドルフの戯曲、一幕劇『名誉博士』が掲載された。これは決闘と、発展途上のブルジョア社会では時代錯誤的になりつつあったプロイセン将校団の伝統的な名誉と貴族の概念を粗野に風刺したものである。『名誉博士』はハウスドルフの最も人気のある文学作品であった。1914年から1918年にかけて、30以上の都市で数多くの公演が行われた。ハウスドルフは後にこの劇のエピローグを書いたが、当時は上演されなかった。このエピローグは2006年にボンで開催されたドイツ数学会の年次総会で初めて初演された。2021年に『名誉博士』の最初の英語訳がボンのハウスドルフ数学センターから出版された。

上述の作品の他に、ハウスドルフは当時の有力な文芸雑誌に多数のエッセイを寄稿した。また、詩集『エクスタシー』 （1900年）も著した。彼の詩のいくつかは、オーストリアの作曲家ヨーゼフ・マルクスによって曲付けされた。

ハウスドルフが順序集合の徹底的な研究を始めたきっかけの一つは、カントールの連続体問題、すなわち、基数は 数列 のどこに置かれるべきか、という問題であった。1904 年 9 月 29 日のヒルベルト宛の手紙で、彼はこの問題について「ほとんど偏執狂のように私を悩ませてきた」と述べている。^[11]ハウスドルフは、集合 にこの問題に取り組む新しい戦略を見出していた。カントールは を疑っていたが、 しか示せなかった。 は可算集合の可能な整列の「数」であるが、は今や、そのような量の可能なすべての順序の「数」として現れた。したがって、順序よりも特殊だが整列よりも一般的なシステムを研究するのは自然なことだった。ハウスドルフは、1901 年の最初の巻で、「次数付き集合」の理論的研究を出版し、まさにそれを行った。しかし、クルト・ゲーデルとポール・コーエンの結果から、連続体問題を解決するためのこの戦略は、カントール・ベンディクソン原理を閉集合から一般の無数集合に一般化することを目指したカントールの戦略と同じくらい効果がないことがわかります。 ${\displaystyle \aleph =2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \{\aleph _{\alpha }\}}$${\displaystyle \mathrm {card} (T(\aleph _{0}))=\aleph }$${\displaystyle \aleph =\aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph \geq \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph}$

1904年にハウスドルフは彼の名を冠した再帰法を出版した。これは、すべての非極限順序数に対して、${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \aleph _{\mu }^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\mu }\;\aleph _{\mu -1}^{\aleph _{\alpha }}。 }$

この公式は、後にハウスドルフによって導入された共終性という概念とともに、アレフ累乗のその後のすべての結果の基礎となった。ハウスドルフはこの種の漸化式に関する優れた知識を持っていたため、 1904年にハイデルベルクで開催された国際数学者会議でのユリウス・ケーニヒの講義の誤りを発見することもできた。その講義でケーニヒは、連続体は整列することはできないので、その濃度はアレフではないと主張し、大きな騒動を引き起こした。この誤りを明らかにしたのがハウスドルフであったという事実は、ハイデルベルクでの出来事に関する誤った印象が50年以上続いたため、特別な意味を持っている。^[12]

1906年から1909年にかけて、ハウスドルフは順序集合に関する画期的で基礎的な研究を行った。理論全体にとって根本的に重要なのは、ハウスドルフが導入した共終性の概念である。順序数は、それより小さい順序数と共終する場合に正則とされ、そうでない場合は特異とされる。ハウスドルフの疑問、つまり極限順序数を指数付ける正則数が存在するかどうかは、到達不可能基数の理論の出発点であった。ハウスドルフは、そのような数が存在する場合、その数は「法外な大きさ」でなければならないことにすでに気づいていた。^[13]

ハウスドルフによる次の定理も根本的に重要です。各非有界かつ順序付けられた稠密集合には、 がと共終的でと共始的である2 つの一意に決定された正規初期数があります(ここで、 * は逆順序を示します)。この定理は、たとえば、順序付けられた集合の要素とギャップを特徴付ける手法を提供します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega _{\xi },\omega _{\eta }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega _{\xi }}$${\displaystyle \omega _{\eta }^{*}}$

があらかじめ決められた文字の集合（要素文字とギャップ文字）である場合、文字集合が正確に である順序集合が存在するかどうかという疑問が生じます。 の必要条件は簡単に見つけることができますが、ハウスドルフはこの条件が十分であることも示すことができました。 このためには、順序集合の豊富な蓄積が必要ですが、ハウスドルフは一般積と一般べき乗の理論によってそれを作り出すこともできました。^[14]この蓄積の中には、ハウスドルフ正規型のような興味深い構造が見つかります。ハウスドルフはこれに関連して、一般化連続体仮説 を初めて定式化しました。ハウスドルフの-集合は、飽和構造の重要なモデル理論の研究の出発点となりました。^[15]${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \eta _{\alpha }}$${\displaystyle \eta _{\alpha }}$

ハウスドルフの一般積と基数の累乗は、半順序集合の概念を研究するきっかけとなった。半順序集合の任意の順序部分集合が最大順序部分集合に含まれるかどうかという問いは、ハウスドルフが整列定理を用いて肯定的に答えた。これはハウスドルフ最大原理であり、整列定理または選択公理のいずれかから導かれ、結局のところ選択公理と同等である。^[16]

1908年にアーサー・モーリッツ・シェーンフリースは集合論に関する報告書の中で、新しい順序集合理論（カントールの拡張後に生まれたもの）はほぼハウスドルフによるものだと結論付けた。^[17]

以前の概念によれば、集合論には一般集合論と点集合論だけでなく、次元と測度論も含まれていました。ハウスドルフの教科書は、この広い意味での集合論のすべてを体系的に、完全な証明とともに提示した最初の教科書でした。ハウスドルフは、厳密さと真実を求める一方で、人間の心がいかに簡単に誤りを犯す可能性があるかを認識していたため、著書の序文で次のように約束しています。

… 人間が持つ誤りという特権をできるだけ節約すること。

この本は、すでに知られている概念を巧みに描写したという点をはるかに超えており、著者による一連の重要な独自の貢献も含まれています。

最初の数章では、一般集合論の基本概念を扱っています。冒頭で、ハウスドルフは、いくつかの先駆的な新しい概念 (差分チェーン、集合環と集合体、- システムと- システム) を含む詳細な集合代数を提供します。集合とその関係に関する導入段落には、たとえば、関数の現代の集合論的概念が含まれています。第 3 章から第 5 章では、基数、順序型、序数の古典的な理論について説明し、第 6 章「順序付き集合と整順序集合の関係」では、ハウスドルフは、とりわけ、順序付き集合に関する自身の研究の最も重要な結果を提示しています。 ${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \sigma}$

「点集合」に関する章、つまり位相に関する章で、ハウスドルフは、既知の近傍公理に基づいて初めて位相空間の体系的な理論を展開し、さらに後に彼の名にちなんで名付けられた分離公理を追加しました。この理論は、他の数学者の以前のアプローチと、空間の問題に関するハウスドルフ自身の考察を包括的に統合して生まれました。古典的な点集合論の概念と定理は、可能な限り一般的なケースに転用され、新しく作成された一般的な位相、つまり集合論的位相の一部になります。しかし、ハウスドルフは、この「翻訳作業」を行っただけでなく、コア形成 (開コア、自己密集コア) やシェル形成 (閉包) などの位相の基本的な構築方法も開発し、開集合の概念 (彼は「面積」と呼んでいました) とフレシェによって導入されたコンパクト性の概念の基本的な重要性を解明しました。彼はまた、特に「成分」と「準成分」という用語の導入を通じて、連結集合の理論を創始し、発展させました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

最初のハウスドルフ可算公理、そして最終的には2番目の可算公理によって、考慮される空間は徐々にさらに特殊化されていった。可算な最初の公理を満たす空間の大きなクラスは距離空間である。これらは1906年にフレシェによって「クラス(E)」という名前で導入された。「距離空間」という用語はハウスドルフに由来する。彼は『原理』で距離空間の理論を展開し、ハウスドルフ距離、完全、全有界性、-連結性、可約集合といった一連の新しい概念によってそれを体系的に豊かにした。フレシェの研究は特に有名ではない。ハウスドルフの『原理』によって初めて距離空間は数学者にとって常識となった。 ${\displaystyle \rho}$

測度と積分理論の原理の図解に関する章と最終章は、資料の一般性と表現の独創性によって充実している。ハウスドルフが確率に対する測度論の重要性について言及したことは、その簡潔さにもかかわらず、歴史的に大きな影響を及ぼした。この章には、エミール・ボレルの大数の強法則の最初の正しい証明がある。最後に、付録には、この本全体で最も素晴らしい結果である、 のすべての有界部分集合に対して体積を定義することはできないというハウスドルフの定理が含まれている。この証明は、ハウスドルフの逆説的な球分解に基づいており、その生成には選択公理が必要である。^[18]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 3}$

20 世紀には、公理的集合論に基づいて数学理論を構築することが標準となりました。一般位相幾何学などの公理に基づいた一般化理論の作成は、さまざまな特定のケースや領域に共通の構造コアを特定し、これらすべての部分を特殊なケースとして含む抽象理論を構築することに役立ちました。これは、簡素化と調和という形で大きな成功をもたらし、最終的には思考の経済性をもたらしました。ハウスドルフ自身も『原理』でこの側面を強調しています。位相幾何学の章では、基本概念は方法論的に先駆的な取り組みであり、現代数学の発展への道を開いたのです。

集合論の原理は、ヨーロッパの科学生活に劇的な影響を与えた第一次世界大戦の前夜、1914年4月に発表されました。このような状況下で、ハウスドルフの数学的思考に関する本の影響は、発表後5〜6年間は見られませんでした。戦後、新しい世代の若い研究者が、この研究に含まれる豊富な提案を拡張しようとしました。間違いなく、位相幾何学が主な注目の的でした。1920年にポーランドで創刊されたジャーナルFundamenta Mathematicaeは、ハウスドルフのアイデアの受容に特別な役割を果たしました。これは、集合論、位相幾何学、実関数の理論、測度と積分理論、関数解析、論理学、数学の基礎を特に重視した最初の数学ジャーナルの1つでした。この範囲全体で、位相幾何学に特別な焦点が当てられました。ハウスドルフの原理はFundamenta Mathematicaeの最初の巻で引用されており、引用数を数えると、その影響は驚くべき速度で継続しました。 1920年から1933年にかけて Fundamenta Mathematicae の最初の20巻に掲載された558の著作（ハウスドルフ自身の3つの著作は含まれない）のうち、88の著作が『原理』を引用している。ハウスドルフのアイデアが一般的になるにつれて、それを明示的に引用していない多くの著作でもそのアイデアが使用されるようになったという事実も考慮する必要がある。

パウル・アレクサンドロフとパウル・ウリゾーンによって創設されたロシア位相学派は、ハウスドルフの『原理』に大きく基づいていた。これは、ハウスドルフとウリゾーンの『後日談』に残っている書簡、特にアレクサンドロフとウリゾーンの『カントリエンヌの多重奏者に関する回想録』^[19]に示されている。これは書籍ほどの大きさの著作で、ウリゾーンはその中で次元理論を展開し、『原理』は60回以上引用されている。

第二次世界大戦後、ハウスドルフの本の需要が高まり、チェルシーでは 1949 年、1965 年、1978 年に 3 回再版されました。

1916年、アレクサンドロフとハウスドルフは独立にボレル集合の連続体問題を解いた^[20] 。完全な可分距離空間内のすべてのボレル集合は可算であるか、連続体の濃度を持つ。この結果は、そのような命題が の閉集合に対して成り立つというカントール・ベンディクソンの定理を一般化したものである。線型集合についてはウィリアム・ヘンリー・ヤングが1903年にこの結果を証明しており^[21] 、集合についてはハウスドルフが1914年に原理で対応する結果を得ている。アレクサンドロフとハウスドルフの定理は、記述的集合論のさらなる発展への強い推進力となった。^[22]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle G_{\delta}}$${\displaystyle G_{\delta \sigma \delta }}$

グライフスヴァルト時代のハウスドルフの出版物の中で、1919 年の著書『次元と外測度』は特に傑出している。この著書で、現在ハウスドルフ測度およびハウスドルフ次元として知られる概念が紹介された。この著書はその後も非常に話題となり、後年、1910 年から 1920 年の 10 年間で最も引用された数学の著書の 1 つとなった。

ハウスドルフ次元の概念は、「非常に不安定な量」の特徴付けと比較に役立ちます。次元と外測度の概念は、力学系理論、幾何学的測度理論、自己相似集合とフラクタル理論、確率過程理論、調和解析、ポテンシャル理論、数論など、多くの分野で応用され、さらに発展してきました。^[23]

ハウスドルフの重要な分析的仕事は、ボンでの2度目の在任中に行われた。1921年の著書『総和法とモーメント列I』で、彼は発散級数に対する総和法のクラス全体を開発したが、これは今日ハウスドルフ法と呼ばれている。ハーディの古典的な著書『発散級数』では、1章丸々がハウスドルフ法に充てられている。ヘルダーとチェザロの古典的な方法は、ハウスドルフ法の特殊なケースであることが証明された。すべてのハウスドルフ法はモーメント列によって与えられる。この文脈で、ハウスドルフは、連分数論を迂回して、有限区間のモーメント問題のエレガントな解を与えた。1923年の論文『有限区間のモーメント問題』では、彼は、たとえば密度 を生成するための特定の制約がある問題など、より特殊なモーメント問題を取り扱った。モーメント問題の可解性と決定可能性の基準は、ハウスドルフが長年取り組んできたことであり、彼の付録にある何百ページもの手書きのメモがその証拠である。^[24]${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \varphi (x)\in L^{p}[0,1]}$

1920年代に台頭しつつあった関数解析の分野への重要な貢献は、ハウスドルフが1923年に発表した『フーリエ級数上のパーセバルの定理の拡張』におけるリース＝フィッシャーの定理の空間への拡張であった。彼は、現在彼とWHヤングにちなんで名付けられた不等式を証明した。ハウスドルフ＝ヤングの不等式は、主要な新展開の出発点となった。^[25]${\displaystyle L^{p}}$

ハウスドルフの著書『集合論』は 1927 年に出版された。これは『原理』の第 2 版とされていたが、実際には完全に新しい本だった。ゴーシェンの教育用図書館に収蔵されたため規模が大幅に縮小されたため、順序集合論と測度論、積分理論の大部分が削除された。序文でハウスドルフは次のように書いている。「おそらくこれらの削除よりも読者が最も残念に思うのは、点集合論のスペースをさらに節約するために、第 1 版で多くの支持を得たと思われる位相的観点を放棄し、より単純な計量空間の理論に焦点を当てたことだ」。

実際、これは、この著作を評論した何人かの人たちの明白な後悔でした。一種の補償として、ハウスドルフは、記述的集合論の当時の現状を初めて示しました。この事実は、この本が、特に Fundamenta Mathematicae において、 Principlesとほぼ同じくらい熱烈な反響を呼ぶことを保証しました。教科書としては非常に人気がありました。1935 年に拡張版が出版され、これは 1944 年にドーバー社から再版されました。英語訳は 1957 年に出版され、1962 年と 1967 年に再版されました。

ロシア語版（1937年）もあったが、部分的には忠実な翻訳で、部分的にはアレクサンドロフとコルモゴロフによる改訂であった。この翻訳では、位相幾何学的観点が再び前面に出てきた。1928年にハンス・ハーンが集合論のレビューを書いたが、おそらくドイツの反ユダヤ主義の危険性を念頭に置いていたのだろう、彼は議論を次の文章で締めくくっている。

困難で困難な分野をあらゆる点で模範的に描写したこの作品は、ドイツの科学の名声を世界中にもたらした作品に匹敵するものであり、すべてのドイツの数学者が誇りに思うべきものである。^[26]

1938 年、ハウスドルフの最後の研究「連続写像の拡張」では、距離空間の閉部分集合からの連続関数はの全体に拡張できることが示された（ただし、像を拡張する必要がある場合がある）。特別な場合として、からのすべての同相写像はから同相写像に拡張できる。この研究は、以前の研究の続きである。1919 年、半連続関数とその一般化についてで、ハウスドルフは、とりわけ、ティーツェ拡張定理の別の証明を与えた。1930 年、同相写像 の拡張で、彼は次のことを示した。を距離空間、つまり閉部分集合とする。に位相を変えずに新しい計量が与えられた場合、この計量は位相を変えずに空間全体に拡張できる。1935年に発表された「次数付き空間」では、ハウスドルフはクラトフスキーの閉包公理から冪等性公理までを満たす空間について論じた。これらの空間はしばしば閉包空間とも呼ばれ、ハウスドルフはこれらを用いてフレシェ極限空間と位相空間の関係を研究した。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F\subseteq E}$${\displaystyle F}$

ハウスドルフの名前は数学のいたるところで見られます。特に、以下の概念は彼にちなんで名付けられました。

• ハウスドルフ完成
• ハウスドルフ収束
• ハウスドルフ密度
• ハウスドルフ次元
• ハウスドルフ距離
• ハウスドルフギャップ
• ハウスドルフ最大原理
• ハウスドルフ尺度
• ハウスドルフ計量
• ハウスドルフモーメント問題
• ハウスドルフのパラドックス
• ハウスドルフ空間
• ハウスドルフ・ヤング不等式
• ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式

ボン大学とグライフスヴァルト大学では、彼に敬意を表して以下のものが命名されています。

• ボンのハウスドルフ数学センター、
• ボンのハウスドルフ数学研究所、
• グライフスヴァルトのフェリックス・ハウスドルフ・インターナショナル・ベゲグヌングセンター。

これらのほか、ボンにはハウスドルフ通りがあり、彼は最初にここに住んでいた。(ハウス番号61) グライフスヴァルトにはフェリックス・ハウスドルフ通りがあり、生化学研究所や物理学研究所などが所在している。2011年以来、ライプツィヒ・オルトシュタイア・ゴーリスの真ん中に「ハウスドルフ通り」がある。^[27]

小惑星24947ハウスドルフは彼にちなんで名付けられました。

ここでは、本文中に掲載されたエッセイの一部のみを示します。

• サンティラリオ。 Gedanken aus der Landschaft Zarathustras。 Verlag CG Naumann、ライプツィヒ 1897。
• Das Chaos in kosmischer Auslese — Ein erkenntniskritischer Veruch. Verlag CG Naumann、ライプツィヒ 1898; Max Bense による序文付きで再版: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976、ISBN  3-87007-013-7
• マッセンリュックとアインツェルグリュック。 Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1)、(1898)、S. 64–75。
• ヤールフンデルトを逃してください。 Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5)、(1898)、S. 443–452。
• エクスタセン。詩のボリューム。 Verlag H. Seemann Nachf.、ライプツィヒ 1900。
• デア・ヴィレ・ツア・マハト。掲載: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902)、S. 1334–1338。
• マックス・クリンガースのベートーヴェン。 Zeitschrift für bildende Kunst、Neue Folge 13 (1902)、S. 183–189。
• Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12)、(1903)、S. 1233–1258。
• デア アルツト セイナー エーレ、グロテスケ。掲載: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8)、(1904)、S. 989-1013。新版は「Der Arzt seiner Ehre」です。 Einem Akt mit einem エピローグの Komödie。ヴァルター・ティーマンの素描をもとにハンス・アレクサンダー・ミュラーが描いた7枚の肖像画と木版画、10 Bl.、71 S. ライプツィヒ・ビブリオフィレン・アーベンズによる第5刷、ライプツィヒ、1910年。新版: S. Fischer、ベルリン1912、88 S.彼の医師Honor ( Der Arzt seiner Ehre, Groteskeの英語翻訳) Volker Vetter および William P. Hausdorff 著、ハウスドルフ数学センター、ボン、2021 年。

• Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung。ライプツィヒの王立ザクセン科学協会の議事録。数学-物理学Classe 53 (1901)、S. 152–178。
• Über eine gewisse Art geordneter Mengen。ライプツィヒの王立ザクセン科学協会の議事録。数学-物理学Classe 53 (1901)、S. 460–475。
• 問題の本質（1903年7月4日ライプツィヒ大学での開講講義）。オストワルドの自然哲学年報3（1903年）、S.1–23。
• デア・ポテンツベグリフ・イン・デア・メンゲンレーレ。 DMV 13 の年次報告書 (1904)、S. 569–571。
• Untersuhungen über Ordnungstypen I、II、III。ライプツィヒの王立ザクセン科学協会の議事録。数学物理\ Klasse 58 (1906)、S. 106–169。
• Unterschungen über Ordnungstypen IV、V.ライプツィヒ王立ザクセン科学協会の議事録。数学-物理学Klasse 59 (1907)、S. 84–159。
• Über dichte Ordnungstypen。 DMV 16 の年次報告書 (1907)、S. 541–546。
• Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen。数学。 Annalen 65 (1908)、S. 435–505。
• Die Graduierung nach dem Endverlauf。ライプツィヒの王立ザクセン科学協会の議事録。数学-物理学Klasse 31 (1909)、S. 295–334。
• グルンドチューゲ デア メンゲンレーレ。 Verlag Veit & Co、ライプツィヒ。 476 S. mit 53 Figuren.その他の印刷物: Chelsea Pub. 1949年、1965年、1978年。
• Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen。数学。 Annalen 77 (1916)、S. 430–437。
• ディメンションとオーセレス・マス。数学。 Annalen 79 (1919)、S. 157–179。
• 最高の機能と詳細な管理を実現します。数学。 Zeitschrift 5 (1919)、S. 292–309。
• 合計方法とモーメントフォルゲン I、II。数学。 Zeitschrift 9 (1921)、I: S. 74-109、II: S. 280-299。
• Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen。数学。 Zeitschrift 16 (1923)、S. 163–169。
• インターバルの終わりに問題が発生する瞬間。数学。 Zeitschrift 16 (1923)、S. 220–248。
• Mengenlehre、第 2 版の再編集版。 Verlag Walter de Gruyter & Co.、ベルリン。 285 S. 12 桁。
• Erweiterung einer Homöomorphie (PDF; 389 kB) Fundamenta Mathematicae 16 (1930)、S. 353–360。
• メンゲンレーレ、第 3 版。追加の章といくつかの付録付き。 Verlag Walter de Gruyter & Co.、ベルリン。 307 S. mit 12 Figuren.ナックドルック：ドーバーパブ。ニューヨーク、1944 年。英語版:集合論。 J. R. Aumann 他によるドイツ語からの翻訳。チェルシーパブ。ニューヨーク社、1957 年、1962 年、1967 年。
• ゲシュトゥフテ・ロイメ。 (PDF; 1,2 MB) Fundamenta Mathematicae 25 (1935)、S. 486–502。
• Erweiterung einer stetigen Abbildung (PDF; 450 kB) Fundamenta Mathematicae 30 (1938)、S. 40–47。
• ナッハゲラッセン シュリフテン。 2巻。編集: G. Bergmann、Teubner、シュトゥットガルト、1969 年。Nachlass より、第 1 巻には束 510 ～ 543、545 ～ 559、561 ～ 577、第 II 巻には束 578 ～ 584、598 ～ 658 が含まれます (すべての束はファクシミリで提供されます)。

ハウスドルフの順序集合論。訳・編集：ジェイコブ・M・プロトキン、アメリカ数学会、2005年。

「ハウスドルフ版」は、E. ブリースコルン (†)、F. ヒルツェブルッフ (†)、W. プルケルト(全員ボン)、R. レンメルト (†) (ミュンスター)、E. ショルツ(ヴッパータール) が編集し、20 人以上の数学者、歴史学者、哲学者、学者の協力を得て、ノルトライン＝ヴェストファーレン科学・人文・芸術アカデミーが進行中のプロジェクトで、ハウスドルフの著作を解説や多くの追加資料とともに紹介しています。巻は、ハイデルベルクのシュプリンガー・フェアラーク社から出版されています。9 巻が出版されており、巻 I は巻 IA と巻 IB に分かれています。詳細については、ハウスドルフ プロジェクトの Web サイト、ハウスドルフ版の Web サイト (ドイツ語) を参照してください。巻は次のとおりです。

• バンドIA：アルゲマイネ・メンゲンレーレ。^[28] 2013 年、ISBN 978-3-642-25598-4。 
• バンド IB:フェリックス・ハウスドルフ - ポール・モングレ (伝記)。 2018 年、ISBN 978-3-662-56380-9。 
• バンド II: Grundzüge der Mengenlehre (1914)。 2002 年、ISBN 978-3-540-42224-2 ^[29] 
• バンド III:メンゲンレーレ (1927、1935)。説明的なメンゲンレーレとトポロジー。 2008年、ISBN 978-3-540-76806-7 
• バンド IV:分析、代数、およびザーレン理論。 2001 年、ISBN 978-3-540-41760-6 ^[29] 
• バンド V:天文学、オプティクとヴァールシャインリッヒケイツ理論。 2006 年、ISBN 978-3-540-30624-5 ^[29] 
• バンド VI:ジオメトリー、ラウムとツァイト。 2020年。ISBN 978-3-540-77838-7 
• バンド VII:哲学工房。 2004 年、ISBN 978-3-540-20836-5 ^[29] 
• バンド VIII: Literarisches Werk。 2010年、ISBN 978-3-540-77758-8 
• バンドIX:コレポンデンツ。 2012 年、ISBN 978-3-642-01116-0。 

• アレクサンドロフ、P .ホップ、H. :トポロジー。 シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン、1935 年。
• Brieskorn, E. :グスタフ ランダウアーと数学者フェリックス ハウスドルフ。 In: H. Delf、G. Mattenklott: Gustav Landauer im Gespräch – Symposium zum 125. Geburtstag。テュービンゲン 1997、S. 105–128。
• Brieskorn, E. (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Gedächtnis。アスペクテ地網ヴェルケス。 Vieweg、ブラウンシュヴァイク/ヴィースバーデン、1996 年。
• ブリースコルン、E. W. プルケルト:フェリックス・ハウスドルフの伝記。 (Band IB der Edition)、シュプリンガー、ハイデルベルク、2018。
• アイヒホルン、E. Thiele, E.-J.: Vorlesungen zum Gedenken an Felix Hausdorff、Heldermann Verlag  [de]、ベルリン、1994、ISBN 3-88538-105-2。 
• Koepke, P.、Kanovei V.、ハウスドルフのグルンドツューゲン デア メンゲンレーレの記述的メンゲンレーレ、2001 年、uni-bonn.de (pdf)
• GG ローレンツ: Das mathematische Werk von Felix Hausdorff。 Jahresbericht der DMV 69 (1967)、54 (130)-62 (138)。
• プルケルト、ウォルター：フェリックス・ハウスドルフ/ポール・モングレの二重生活。Mathematical Intelligencer、30 (2008)、4、S. 36 ff。
• Purkert, Walter:フェリックス・ハウスドルフ - ポール・モングレ。数学者 - 哲学者 - 文学者。ハウスドルフ数学センター、ボン 2013 年。
• Stegmaier, W. : Ein Mathematikar in der Landschaft Zarathustras。フェリックス・ハウスドルフ、哲学者。 Nietzsche-Studien 31 (2002)、195–240。
• Vollhardt, F.: Von der Sozialgeschichte zur Kulturwissenschaft? Felix Hausdorff (1868–1942): 体系化された Absicht の Vorläufige Bemerkungen。著：Huber, M. Lauer, G. (Hrsg.): Nach der Sozialgeschichte - Konzepte für eine Literaturwissenschaft zwischen Historischer Anthropologie、Kulturgeschichte und Medientheorie。 Max Niemeier Verlag、テュービンゲン 2000、S. 551–573。
• ワゴン、S.：バナッハ＝タルスキーのパラドックス。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1993年。
• Lexikon deutsch-jüdischer Autoren  [de]、Band 10、Saur、ミュンヘン 2002、S. 262–268

• グロモフ・ハウスドルフ収束
• ハウスドルフ距離
• ハウスドルフギャップ
• モーリス・ルネ・フレシェ
• ハウスドルフメダル

• 数学系譜プロジェクトのフェリックス・ハウスドルフ
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「フェリックス ハウスドルフ」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• ハウスドルフ版のホームページ（ドイツ語）
• ハウスドルフ・フィンドブック
• ボンのハウスドルフ数学センター
• ボンのハウスドルフ最後の家にある記念碑「シュトルパーシュタイン」