通常の演算子

数学、特に関数解析において、複素ヒルベルト空間H上の正規作用素は、そのエルミート随伴作用素N*と可換な連続線型作用素N  : H → Hである。つまり、NN* = N*Nである。^[1]

正規作用素はスペクトル定理が成り立つため重要である。正規作用素のクラスはよく理解されている。正規作用素の例としては、

• ユニタリ演算子: N* = N ⁻¹
• エルミート演算子（すなわち、自己随伴演算子）：N* = N
• 歪エルミート演算子: N* = − N
• 正の演算子:あるMに対してN = MM* (したがってN は自己随伴です)。

正規行列は、ヒルベルト空間C ⁿ上の正規演算子の行列表現です。

正規作用素はスペクトル定理によって特徴付けられる。コンパクトな正規作用素（特に有限次元 内積空間上の正規作用素）はユニタリ対角化可能である。^[2]

を有界演算子とします。以下は同等です。 ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T}$正常です。
• ${\displaystyle T^{\star}}$正常です。
• ${\displaystyle \|Tx\|=\|T^{*}x\|}$すべてに( を使用)。${\displaystyle x}$${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{*}x\|^ {2}}$
• の自己随伴部分と反自己随伴部分は可換である。つまり、が と書かれ、そして^{[注 1]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T=T_{1}+iT_{2}}$${\displaystyle T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}}$${\displaystyle i\,T_{2}:={\frac {TT^{*}}{2}},}$${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.}$

が正規演算子である場合、 とは同じ核と同じ値域を持つ。したがって、 の値域が稠密であるためには、が単射でなければならない。^{[明確化が必要]}言い換えれば、正規演算子の核はその値域の直交補である。したがって、任意の に対して演算子の核はの核と一致する。したがって、正規演算子のすべての一般化固有値は真である。 が正規演算子の固有値であるためには、その複素共役がの固有値である場合に限る。異なる固有値に対応する正規演算子の固有ベクトルは直交しており、正規演算子はその各固有空間の直交補を安定化する。^{[3]これは、通常のスペクトル定理を意味する。有限次元空間上のすべての正規演算子は、ユニタリ演算子によって対角化可能である。}射影値測度で表されるスペクトル定理の無限次元バージョンもある。正規演算子の残差スペクトルは空である。^[3]${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{*}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{k}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k.}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$${\displaystyle N^{*}.}$

交換可能な正規演算子の積もまた正規である。これは自明ではないが、フグレデの定理から直接導かれる。フグレデの定理は、次のように述べている（パトナムによって一般化された形式）。

および が正規演算子であり、 が有界線型演算子である場合、 となります。${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N_{1}A=AN_{2},}$${\displaystyle N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}}$

正規演算子の演算子ノルムは、その数値半径^{[説明が必要]}とスペクトル半径に等しくなります。

正規演算子は、そのAluthge 変換と一致します。

有限次元の実数^{[説明が必要]}または複素ヒルベルト空間（内積空間）H上の正規作用素Tが部分空間Vを安定化する場合、その直交補空間V ^{⊥も安定化します。（この記述は、} Tが自己随伴である 場合は自明です。）

証明。P _{V を}Vへの直交射影とします。すると、 V ^⊥への直交射影は1 _H − P _Vです。TがV を安定化するという事実は、 ( 1 _H − P _V ) TP _V = 0、またはTP _V = P _V TP _Vと表すことができます。目標は、P _V T ( 1 _H − P _V ) = 0 であることを示すことです。

X = P _V T ( 1 _H − P _V )とします。 ( A , B ) ↦ tr( AB* ) はHの自己準同型空間上の内積なので、 tr( XX* ) = 0であることを示すだけで十分です。まず、

${\displaystyle {\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}}$

ここで、トレースの特性と直交投影の特性を使用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{using the hypothesis that }}T{\text{ stabilizes }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}}$

同じ議論は無限次元ヒルベルト空間のコンパクト正規作用素についても成り立ち、そこでは適切に解釈された tr( AB* ) によって定義されるヒルベルト・シュミットの内積が使用される。 ^[4]しかし、有界正規作用素の場合、安定な部分空間への直交補空間は安定でない可能性がある。^[5]したがって、ヒルベルト空間は一般に正規作用素の固有ベクトルによって張られることはできない。たとえば、に作用する両側シフト（または両側シフト）を考えてみよう。これは正規であるが、固有値を持たない。 ${\displaystyle \ell ^{2}}$

ハーディ空間に作用するシフトの不変部分空間は、バーリングの定理によって特徴付けられます。

正規演算子の概念は、次の代数に一般化されます。

包含代数の要素x は、 xx* = x*xの場合、正規であると言われます。

自己随伴要素とユニタリ要素は正常です。

最も重要なケースは、そのような代数がC*-代数である場合です。

正規演算子の定義は、ある種の非有界演算子に自然に一般化される。明示的には、閉じた演算子Nが正規演算子であるとは、

${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}.}$

ここで、随伴N*が存在するためには、 Nの定義域が稠密であることが必要であり、等式にはN*Nの定義域がNN*の定義域に等しいという主張が含まれますが、これは一般に必ずしも当てはまりません。

同値正規演算子とは、^[6]

${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad }$

と

${\displaystyle {\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).}$

スペクトル定理は非有界（正規）演算子に対しても成り立つ。証明は有界（正規）演算子への還元によって成り立つ。^{[7] [8]}

正規作用素の理論の成功により、交換条件を弱めることで一般化を図る試みがいくつか行われた。正規作用素を含む作用素のクラスは以下の通りである（含まれる順）。

• 超正規演算子
• ノーマロイド
• 超常現象を扱う者
• 準正規演算子
• 非正規演算子

• 連続線形演算子
• 縮約（作用素論）  - サブユニットノルムを持つ有界作用素