非線形偏微分方程式

数学と物理学において、非線形偏微分方程式は、非線形項を持つ偏微分方程式です。重力から流体力学まで、さまざまな物理システムを記述し、数学ではポアンカレ予想やカラビ予想などの問題を解くために使用されています。非線形偏微分方程式の研究は難しく、このような方程式すべてに有効な一般的な手法はほとんど存在せず、通常、個々の方程式を個別の問題として研究する必要があります。

線形偏微分方程式と非線形偏微分方程式の区別は、通常、偏微分方程式自体を定義する演算子の特性に基づいて行われます。 ^[1]

あらゆる PDE の基本的な問題は、与えられた境界条件に対する解の存在と一意性です。非線形方程式の場合、これらの問題は一般に非常に困難です。たとえば、ヤウによるカラビ予想の解決で最も困難だったのは、モンジュ-アンペール方程式の存在の証明でした。ナビエ-ストークス方程式の解の存在 (および滑らかさ) に関する未解決問題は、数学における 7 つのミレニアム賞問題の 1 つです。

特異点に関する基本的な問題 (特異点の形成、伝播、除去、解の正則性) は線形 PDE の場合と同じですが、通常どおり研究がはるかに困難です。線形の場合は分布の空間を使用できますが、非線形 PDE は通常任意の分布上で定義されないため、分布の空間をソボレフ空間などの改良に置き換えます。

特異点形成の例は、リッチフローによって与えられます。リチャード・S・ハミルトンは、短時間の解が存在する一方で、特異点は通常有限時間の後に形成されることを示しました。グリゴリー・ペレルマンのポアンカレ予想の解決は、これらの特異点の詳細な研究に依存しており、特異点を超えて解決を続ける方法を示しました。

既知の解の近傍の解は、解の周りの偏微分方程式を線形化することによって調べられることがあります。これは、すべての解のモジュライ空間の点の接空間を調べることに対応します。

理想的には、すべての解の（モジュライ）空間を明示的に記述したいのですが、いくつかの非常に特殊な偏微分方程式ではこれが可能です。（一般にこれは絶望的な問題です。たとえば、ナビエ–ストークス方程式のすべての解の有用な記述はありそうにありません。これは、すべての可能な流体運動を記述することを伴うためです。）方程式が非常に大きな対称群を持つ場合、通常は対称群を法とする解のモジュライ空間のみに関心があり、これは有限次元コンパクト多様体であり、特異点を持つ場合もあります。たとえば、これはザイバーグ–ウィッテン方程式の場合に発生します。もう少し複雑なケースは、自己双対ヤン–ミルズ方程式で、モジュライ空間は有限次元ですが必ずしもコンパクトではありませんが、明示的にコンパクト化できる場合がよくあります。すべての解を記述できると期待できる別のケースは、完全に積分可能なモデルの場合で、解がソリトンの一種の重ね合わせになることがあります。これは、たとえばKorteweg-de Vries 方程式の場合に起こります。

多くの場合、いくつかの特殊な解は、基本関数を使って明示的に記述することができます (ただし、すべての解をこのように記述することはめったにできません)。このような明示的な解を見つける方法の 1 つは、方程式をより低次元の方程式 (できれば常微分方程式) に簡約することです。この方程式は、多くの場合正確に解くことができます。これは、変数の分離を使用するか、対称性の高い解を探すことによって実行できる場合があります。

いくつかの方程式には複数の異なる正確な解があります。

コンピュータによる数値解法は、任意の偏微分方程式系に関する情報を得るために使用できるほぼ唯一の方法です。多くの研究が行われてきましたが、特にナビエ・ストークス方程式や天気予報に関連するその他の方程式など、特定の系を数値的に解くにはまだ多くの研究が残っています。

偏微分方程式系をLaxペア形式 にできる場合

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=LA-AL}$

すると、通常は無限の数の第一積分が存在し、研究に役立ちます。

PDE 系は、変分問題に対するオイラー・ラグランジュ方程式として現れることが多いです。この形式の系は、元の変分問題の極値を見つけることで解ける場合もあります。

積分可能なシステムから生じる偏微分方程式は、研究するのが最も簡単な場合が多く、完全に解けることもあります。よく知られている例としては、コルテウェグ・ド・フリース方程式があります。

一部の偏微分方程式系は大きな対称群を持ちます。たとえば、ヤン・ミルズ方程式は無限次元ゲージ群の下で不変であり、多くの方程式系 (アインシュタイン場の方程式など) は基礎となる多様体の微分同相写像の下で不変です。このような対称群は通常、方程式の研究に役立てることができます。特に、1 つの解がわかっている場合は、対称群に作用することでさらに多くの解を簡単に生成できます。

方程式は、ある群の作用を法として放物型または双曲型になることがあります。たとえば、リッチフロー方程式は完全に放物型ではありませんが、「微分同相群の作用を法として放物型」であり、放物型方程式の優れた特性のほとんどを備えていることを意味します。

非線形偏微分方程式の広範なリストを参照してください。

• オイラー・ラグランジュ方程式
• 非線形システム
• 積分可能なシステム
• 逆散乱変換
• 分散偏微分方程式

• Calogero, Francesco ; Degasperis, Antonio (1982)、「スペクトル変換とソリトン。第 1 巻。非線形発展方程式を解いて調査するためのツール」、数学とその応用の研究、第 13 巻、アムステルダム - ニューヨーク: North-Holland Publishing Co.、ISBN 0-444-86368-0、MR  0680040
• Pokhozhaev, SI (2001) [1994]、「非線形偏微分方程式」、数学百科事典、EMS Press
• ポリアニン、アンドレイ D.; ザイツェフ、ヴァレンティン F. (2004)、非線形偏微分方程式ハンドブック、フロリダ州ボカラトン: チャップマン&ホール/CRC、pp. xx+814、ISBN 1-58488-355-3、MR  2042347
• Roubíček, T. (2013)、「非線形偏微分方程式とその応用」、国際数値数学シリーズ、第153巻（第2版）、バーゼル、ボストン、ベルリン：ビルクハウザー、doi：10.1007/978-3-0348-0513-1、ISBN 978-3-0348-0512-4、MR  3014456
• スコット、アルウィン編 (2004)、非線形科学百科事典、Routledge、ISBN 978-1-57958-385-9正誤表についてはこちらをご覧ください
• ツヴィリンガー、ダニエル (1998)、微分方程式ハンドブック (第 3 版)、ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press、Inc.、ISBN 978-0-12-784396-4、MR  0977062

• EqWorld、数式の世界
• 分散型偏微分方程式ウィキ
• NEQwiki、非線形方程式百科事典 2018-12-12にWayback Machineでアーカイブ