ホルツマーク分布

ホルツマーク

確率密度関数 単位スケール係数を持つ対称α安定分布。α =1.5（青線）はホルツマーク分布を表す。
累積分布関数
パラメータ	c ∈ (0, ∞) —スケールパラメータ μ ∈ (−∞, ∞) —位置パラメータ
サポート	x ∈ R
PDF	超幾何関数 で表現可能。本文参照
平均	μ
中央値	μ
モード	μ
分散	無限
歪度	未定義
過剰尖度	未定義
MGF の	未定義
CF	${\displaystyle \exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{3/2}~\right]}$

（1 次元）ホルツマーク分布は連続確率分布です。ホルツマーク分布は、安定指数または形状パラメータが3/2 で、歪度パラメータが 0 である、安定分布の特殊なケースです。は 0 なので、分布は対称であり、対称アルファ安定分布の例です。ホルツマーク分布は、確率密度関数の閉じた形式表現が知られている、安定分布の数少ない例の 1 つです。ただし、その確率密度関数は基本関数で表現できず、むしろ、確率密度関数は超幾何関数で表現されます。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta}$

ホルツマルク分布はプラズマ物理学と天体物理学に応用されている。^[1] 1919年、ノルウェーの物理学者ヨハン・ペーター・ホルツマルクは、荷電粒子の運動によるプラズマ内の変動場のモデルとしてこの分布を提案した。^[2]また、他の種類のクーロン力、特に重力体のモデル化にも適用でき、天体物理学において重要である。^{[3] [4]}

対称安定分布の 特性関数は次のとおりです。

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{\alpha }~\right],}$

ここで、は形状パラメータ、つまり安定性の指標、は位置パラメータ、c はスケールパラメータです。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \mu}$

ホルツマーク分布の特性関数は次の通りである: ^[5]${\displaystyle \alpha =3/2,}$

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{3/2}~\right].}$

ホルツマーク分布はα > 1の安定分布なので、分布の平均を表します。^{[6] [7]} β = 0なので、分布の中央値と最頻値も表します。また、α < 2なので、ホルツマーク分布の分散は無限大です。 ^[6]分布の高次のモーメントもすべて無限大です。 ^{[6]他の安定分布（正規分布以外）と同様に、分散が無限大なので、分布の分散は}スケールパラメータcに反映されます。分布の分散を記述する別の方法は、分数モーメントを使用することです。^[6]${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$

一般に、連続確率分布の確率密度関数f ( x )は、その特性関数から次のように導出できる。

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.}$

ほとんどの安定分布には、確率密度関数の閉じた形式表現が知られていません。正規分布、コーシー分布、レヴィ分布だけが、基本関数に関して閉じた形式表現が知られています。^{[1]ホルツマーク分布は、}超幾何関数に関して閉じた形式表現が知られている2つの対称安定分布のうちの1つです。^[1]が0でスケールパラメータが1に等しい場合、ホルツマーク分布の確率密度関数は次のようになります。 ${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={1 \over \pi }\,\Gamma \left({5 \over 3}\right){_{2}F_{3}}\!\left({5 \over 12},{11 \over 12};{1 \over 3},{1 \over 2},{5 \over 6};-{4x^{6} \over 729}\right)\\&{}\quad {}-{x^{2} \over 3\pi }\,{_{3}F_{4}}\!\left({3 \over 4},{1},{5 \over 4};{2 \over 3},{5 \over 6},{7 \over 6},{4 \over 3};-{4x^{6} \over 729}\right)\\&{}\quad {}+{7x^{4} \over 81\pi }\,\Gamma \left({4 \over 3}\right){_{2}F_{3}}\!\left({13 \over 12},{19 \over 12};{7 \over 6},{3 \over 2},{5 \over 3};-{4x^{6} \over 729}\right),\end{aligned}}}$

ここで はガンマ関数であり、は超幾何関数である。^[1]また、^[8]${\displaystyle {\Gamma (x)}}$${\displaystyle \;_{m}F_{n}()}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {-x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)+~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)\right]\\&+{\frac {4}{3\times 3^{2/3}}}\left[\mathrm {Bi} '\left(-{\frac {x^{2}}{3\times 3^{1/3}}}\right)\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+{\frac {x}{3^{2/3}}}~\mathrm {Bi} \left(-{\frac {x^{2}}{3\times 3^{1/3}}}\right)\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right],\end{aligned}}}$

ここで、は第二種エアリー関数とその導関数である。関数の引数は純虚複素数であるが、2つの関数の和は実数である。が正の場合、関数は分数次ベッセル関数およびに関連し、その導関数は分数次ベッセル関数およびに関連している。したがって、 ^[8]と書くことができる。${\displaystyle \mathrm {Bi} }$${\displaystyle \mathrm {Bi} '}$${\displaystyle _{2}F_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {Bi} (-x)}$${\displaystyle J_{-1/3}}$${\displaystyle J_{1/3}}$${\displaystyle J_{-2/3}}$${\displaystyle J_{2/3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {4x^{2}}{27{\sqrt {3}}}}\left\{\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-2/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+J_{2/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right]+\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-1/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right]\right\}\\&-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)+~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)\right].\end{aligned}}}$

• Hummer, DG (1986). 「ホルツマーク分布の有理近似、その累積および微分」。定量分光法および放射伝達ジャーナル。36 : 1–5。Bibcode : 1986JQSRT..36 ....1H。doi : 10.1016/0022-4073(86)90011-7。