運動学

運動学は物理学と数学の分野であり、古典力学で発展したもので、点、物体（オブジェクト）、物体のシステム（オブジェクトのグループ）の運動を、それらを動かす力を考慮せずに記述する。 ^{[1] [2] [3]}研究分野としての運動学は、「運動の幾何学」と呼ばれることが多く、物体の質量や物体に作用する力を考慮することなく研究できるため、応用数学と純粋数学の両方の分野と見なされることもある。 ^{[4] [5] [6]}運動学の問題は、システムの幾何学を記述し、システム内の点の位置、速度、加速度の既知の値の初期条件を宣言することから始まります。次に、幾何学からの議論を使用して、システムの未知の部分の位置、速度、加速度を決定できます。物体に作用する力の研究は、運動学ではなく、運動学に属します。詳細については、解析力学を参照してください。

運動学は天体物理学において、天体や天体の集合の運動を記述するために使用されます。機械工学、ロボット工学、生体力学では、^{[7]運動学は}エンジン、ロボットアーム、人間の骨格など、結合された部品（マルチリンクシステム）で構成されたシステムの動きを記述するために使用されます。

幾何変換は剛体変換とも呼ばれ、機械システム内のコンポーネントの動きを記述するために使用され、運動方程式の導出を簡素化します。また、動的解析の中心でもあります。

運動解析は、運動を記述するために使用される運動量を測定するプロセスです。たとえば、工学では、運動解析を使用して特定のメカニズムの可動範囲を見つけ、逆に運動合成を使用して目的の可動範囲のメカニズムを設計することができます。^[8] さらに、運動学は代数幾何学を機械システムまたはメカニズムの機械的利点の研究に適用します。

キネマティックという用語は、A・M・アンペールのシネマティック^[9]の英語版であり、彼はこれをギリシャ語の κίνημα kinema（「動き、動作」）から構築し、κινεῖν kinein（「動く」）に由来しています。^{[10] [11]}

Kinematicとcinématiqueはフランス語のcinémaと関連があるが、どちらも直接派生したものではない。しかし、cinémaはcinématographe（映写機とカメラ）の短縮形から来ており、これもギリシャ語で動きを意味する言葉と、ギリシャ語のγρᾰ́φω grapho（書く）から来ているため、語源は共通している。^[12]

粒子運動学は、粒子の軌道を研究する学問です。粒子の位置は、座標フレームの原点から粒子までの座標ベクトルとして定義されます。たとえば、自宅から南に 50 m のところにある塔を考えてみましょう。座標フレームの中心は自宅にあり、東はx軸の方向、北はy軸の方向です。塔の基部への座標ベクトルはr = (0 m, -50 m, 0 m) です。塔の高さが 50 m で、この高さがz軸に沿って測定される場合、塔の頂上への座標ベクトルはr = (0 m, -50 m, 50 m) です。

最も一般的なケースでは、粒子の位置を定義するために 3 次元座標系が使用されます。ただし、粒子が平面内で移動するように制限されている場合は、2 次元座標系で十分です。物理学におけるすべての観察は、参照フレームに関して記述しなければ不完全です。

粒子の位置ベクトルは、参照フレームの原点から粒子に引かれたベクトルです。これは、原点からの点の距離と、原点からの方向の両方を表します。3 次元では、位置ベクトルは次のように表すことができます 。 ここで、、、およびは直交座標で、、およびはそれぞれ、、、および座標軸に沿った単位ベクトルです。位置ベクトルの大きさは、点と原点の間の距離を示します。 位置ベクトルの 方向余弦は、方向の量的な尺度を提供します。一般に、オブジェクトの位置ベクトルは参照フレームに依存し、フレームが異なれば位置ベクトルの値も異なります。 ${\displaystyle {\bf {r}}}$$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x{\hat {\mathbf {x} }}+y{\hat {\mathbf {y} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}$$

粒子の軌道は時間のベクトル関数であり、移動する粒子が描く曲線を定義し、 で与えられます。 ここで、、、および は、粒子の位置の各座標を時間の関数として表します。 ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle z(t)}$

粒子の速度は、粒子の運動の方向と大きさを表すベクトル量です。より数学的に言えば、点の位置ベクトルの時間に対する変化率が、その点の速度です。粒子の 2 つの位置の差 (変位) を時間間隔で割ることによって形成される比率を考えます。この比率はその時間間隔での平均速度と呼ばれ、次のように定義されます。ここで、は時間間隔での変位ベクトルです。時間間隔がゼロに近づく限界では、平均速度は、位置ベクトルの時間微分として定義される瞬間速度に近づきます。 したがって、粒子の速度はその位置の時間変化率です。さらに、この速度は、粒子の経路に沿ったすべての位置で粒子の軌道に接します。非回転参照フレームでは、座標方向の微分は、その方向と大きさが定数であるため考慮されません。 $${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {v}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {v}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {v}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$$${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

物体の速度は、その速度の大きさです。これはスカラー量です。 ここで 、は粒子の軌道に沿って測定された弧の長さです。この弧の長さは、粒子が移動するにつれて常に増加します。したがって、は非負であり、速度も非負であることを意味します。 $${\displaystyle v=|\mathbf {v} |={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}},}$$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\text{d}}s/{\text{d}}t}$

速度ベクトルは、大きさと方向の両方、または両方を同時に変化させることができます。したがって、加速度は、速度ベクトルの大きさの変化率とベクトルの方向の変化率の両方を考慮します。速度を定義するために粒子の位置に関して使用されるのと同じ論理が、加速度を定義するために速度に適用できます。粒子の加速度は、速度ベクトルの変化率によって定義されるベクトルです。時間間隔における粒子の平均加速度は、比率として定義されます。 ここで、Δ vは平均速度、Δ t は時間間隔です。 $${\displaystyle \mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\bar {v}} }{\Delta t}}={\frac {\Delta {\bar {v}}_{x}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{y}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{z}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {a}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {a}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {a}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$

粒子の加速度は、時間間隔がゼロに近づくにつれて平均加速度の限界であり、これは時間微分である。 $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

あるいは、 $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{(\Delta t)^{2}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{(\Delta t)^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

したがって、加速度は、その粒子の速度ベクトルの 1 次導関数と位置ベクトルの 2 次導関数です。回転しない参照フレームでは、座標方向の導関数は方向と大きさが定数であるため考慮されません。

物体の加速度の大きさは、その加速度ベクトルの大きさ | a | です。これはスカラー量です。 $${\displaystyle |\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.}$$

相対位置ベクトルは、ある点と別の点の位置を相対的に定義するベクトルです。これは、2つの点の位置の差です。ある点Aと別の点Bの相対的な位置は、単にそれらの位置の差です。

${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}}$

これは、位置ベクトルの成分間の差です。

点Aに位置成分がある場合${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)}$

点Bには位置成分がある${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)}$

点Aと点Bの相対的な位置は、それらの成分間の差になります。${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}\right)}$

ある点と別の点の相対的な速度は、単にそれらの速度の差 、つまりそれらの速度の成分の差です。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}}$$

点Aに速度成分があり、点B にも速度成分がある場合、点Bに対する点Aの速度は、それらの成分の差になります。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)}$

あるいは、相対位置ベクトルrB _/Aの時間微分を計算することによって同じ結果を得ることができます。

ある点Cの別の点Bに対する加速度は、単純にそれらの加速度の差です。 つまり、それらの加速度の成分の差です。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}}$$

点Cに加速度成分があり 、点B にも加速度成分がある場合、点Bに対する点C の加速度は、それらの成分の差になります。${\displaystyle \mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}\right)}$${\displaystyle \mathbf {a} _{B}=\left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)}$${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)}$

あるいは、相対位置ベクトルrB _/Aの2次時間微分を計算することによっても同じ結果が得られる。^[13]

位置、および時間における速度の初期条件がわかっていると仮定すると、最初の積分によって粒子の速度が時間の関数として得られます。^[a]${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} \,{\text{d}}\tau =\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t.}$$

2回目の積分でその経路（軌道）が得られる。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {v} (\tau )\,{\text{d}}\tau =\mathbf {r} _{0}+\int _{0}^{t}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} \tau \right){\text{d}}\tau =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}.}$$

変位、速度、加速度、および時間の間の追加の関係を導くことができます。加速度は一定なので、 上記の式に代入すると次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{t}}}$$$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t.}$$

速度、位置、加速度の関係は、時間に対する平均加速度を解き、代入して簡略化することで、明示的な時間依存性なしに得ることができる。

$${\displaystyle t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}}$$

$${\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,}$$ ここで、 はドット積を表します。これは、積がベクトルではなくスカラーであるため適切です。 ${\displaystyle \cdot }$$${\displaystyle 2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

ドット積は、ベクトル間の角度αのコサイン(詳細については ドット積の幾何学的解釈を参照) とベクトルの大きさに置き換えることができます。その場合、次のようになります。$${\displaystyle 2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

加速度が常に運動の方向にあり、運動の方向が正または負の場合、ベクトル間の角度（α）は0なので、 これはベクトルの大きさの表記法を使用して簡略化できます^{[引用が必要]} 。ここで、一定の接線加速度がその経路に沿って適用されるため、任意の曲線経路を取ることができます^{[引用が必要]}ので、 ${\displaystyle \cos 0=1}$$${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|.}$$${\displaystyle |\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r}$${\displaystyle \Delta r}$$${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.}$$

これにより、粒子の運動のパラメトリック方程式が速度と位置の直交座標関係に簡略化されます。この関係は時間が不明な場合に便利です。また、またはが速度-時間グラフの下の面積であることもわかっています。^[15]${\textstyle \Delta r=\int v\,{\text{d}}t}$${\displaystyle \Delta r}$

上部の面積と下部の面積を足すことでを得ることができます。下部の面積は長方形で、長方形の面積は です。ここでは幅、 は高さです。この場合、 および（ここでの は加速度 とは異なります）。つまり、下部の面積は です。では上部の面積（三角形）を求めましょう。三角形の面積は です。ここでは底辺、 は高さです。^[16]この場合、および またはです。 および を式に追加するとになります。^{[17]この式は、最終速度}vが未知の場合に適用できます。 ${\displaystyle \Delta r}$${\displaystyle A\cdot B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A=t}$${\displaystyle B=v_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle tv_{0}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}BH}$${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B=t}$${\displaystyle H=at}$${\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$${\displaystyle v_{0}t}$${\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}}$${\displaystyle \Delta r}$${\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$

多くの場合、 X - Y平面の極座標を使用して粒子の軌道r ( t )=( x ( t )、y ( t )、z ( t ))を定式化すると便利です。この場合、速度と加速度は便利な形になります。

粒子Pの軌道は、固定された基準フレームFで測定された座標ベクトルrによって定義されることを思い出してください。粒子が移動すると、その座標ベクトルr ( t ) は、次のように表される空間内の曲線である軌道を描きます。 ここで、x̂、ŷ、およびẑは、それぞれ基準フレームFのx 軸、y軸、およびz軸に沿った単位ベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t){\hat {\mathbf {x} }}+y(t){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$

r ( t ) = 定数の円筒の表面上のみを移動する粒子Pを考えてみましょう。固定フレームFのz軸を円筒の軸に揃えることができます。次に、 x – y平面でこの軸の周りの角度θ を使用して、軌道を次のように定義できます。 ここで、中心からの一定の距離はrで表され、θ ( t ) は時間の関数です。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }},}$$

r ( t )の円筒座標は、初等微積分から得た放射状および接線方向の単位ベクトル とそれらの時間微分を導入することで簡略化できます。 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }},\quad {\hat {\mathbf {\theta } }}=-\sin(\theta (t)){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta (t)){\hat {\mathbf {y} }}.}$$$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t}}=\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(\omega {\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=\alpha {\hat {\mathbf {\theta } }}-\omega {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t}}=-\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}$$ $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}(-\theta {\hat {\mathbf {r} }})}{{\text{d}}t}}=-\alpha {\hat {\mathbf {r} }}-\omega ^{2}{\hat {\mathbf {\theta } }}.}$$

この表記法を用いると、r ( t ) は次の形式になります。 一般に、軌道r ( t ) は円筒上にあるとは限らないため、半径R は時間とともに変化し、円筒極座標における粒子の軌道は次のようになります。 ここで、r、θ、z は時間の連続微分可能な関数である可能性があり、関数表記は簡略化のために省略されています。速度ベクトルv _{P は}軌道r ( t )の時間微分であり、次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$$$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r(t){\hat {\mathbf {r} }}+z(t){\hat {\mathbf {z} }}.}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=v{\hat {\mathbf {r} }}+r\mathbf {\omega } {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v({\hat {\mathbf {r} }}+{\hat {\mathbf {\theta } }})+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

同様に、速度v _Pの時間微分である加速度a _{P は}次のように表されます。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(v{\hat {\mathbf {r} }}+v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\right)=(a-v\theta ){\hat {\mathbf {r} }}+(a+v\omega ){\hat {\mathbf {\theta } }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

経路上のその点における経路の曲率中心に向かって作用する項は、一般に求心加速度と呼ばれます。 項はコリオリの加速度と呼ばれます。 ${\displaystyle -v\theta {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle v\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}}$

粒子の軌道が円筒上に位置するように制約されている場合、半径rは一定であり、速度ベクトルと加速度ベクトルは単純化されます。速度v _Pは軌道r ( t )の時間微分です。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

円筒上の粒子の軌道の特殊なケースは、z軸に沿った動きがない場合に発生します。 ここで、rとz _{0 は}定数です。この場合、速度v _{P は}次のように与えられます。 ここで、は円筒の z軸の周りの単位ベクトルθ ^{^}の角速度です。$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }},}$$${\displaystyle \omega }$

粒子Pの加速度a _Pは次のよ​​うに表されます。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {{\text{d}}(v{\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=a{\hat {\mathbf {\theta } }}-v\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

これらの成分は 、それぞれ加速度の 半径方向成分と接線方向成分と呼ばれます。$${\displaystyle a_{r}=-v\theta ,\quad a_{\theta }=a,}$$

角速度と角加速度の表記は次のように定義されることが多いため 、円軌道の半径方向および接線方向の加速度成分も次のように表記される。 $${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},}$$$${\displaystyle a_{r}=-r\omega ^{2},\quad a_{\theta }=r\alpha .}$$

機械システムのコンポーネントの動きは、各パーツに参照フレームを取り付け、さまざまな参照フレームが互いにどのように動くかを決定することによって分析されます。パーツの構造剛性が十分であれば、変形は無視でき、この相対的な動きを定義するために剛体変換を使用できます。これにより、複雑な機械システムのさまざまなパーツの動きの説明が、各パーツの形状と、各パーツと他のパーツの相対的な形状の関係を説明する問題に簡略化されます。

幾何学は、空間がさまざまな方法で変換されても同じままである図形の特性を研究する学問であり、より技術的には、一連の変換の下での不変量を研究する学問です。^[19]これらの変換により、頂点の角度と頂点間の距離は変わらないまま、平面内で三角形の変位が発生する可能性があります。運動学は、機械システムの動きがユークリッド幾何学の剛体変換を使用して記述される応用幾何学として説明されることがよくあります。

平面上の点の座標は、R ² (2 次元空間) の 2 次元ベクトルです。剛体変換とは、任意の 2 点間の距離を保存する変換です。 n次元空間における剛体変換の集合は、 R ⁿ上の特殊ユークリッド群と呼ばれ、SE( n )と表記されます。

機械システムの 1 つのコンポーネントの別のコンポーネントに対する位置は、一方のコンポーネントに、固定フレームFに対して移動するもう一方のコンポーネントの参照フレームMを導入することによって定義されます。 Fに対するMの剛体変換、つまり変位は、 2 つのコンポーネントの相対的な位置を定義します。変位は、回転と並進の組み合わせで構成されます。

Fに対するMのすべての変位の集合は、Mの構成空間と呼ばれます。この構成空間内のある位置から別の位置への滑らかな曲線は、Fに対するMの運動と呼ばれる、連続した変位の集合です。物体の運動は、連続した回転と並進の集合で構成されます。

平面R ²での回転と平行移動の組み合わせは、同次変換と呼ばれる特定のタイプの 3×3 行列で表すことができます。3×3 同次変換は、2×2回転行列 A ( φ ) と 2×1 平行移動ベクトルd = ( d _x , d _y ) から次のように構成されます。 これらの同次変換は、平面z = 1 の点、つまり座標r = ( x , y , 1) の点に対して剛体変換を実行します。 $${\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

特に、r は、固定フレームFと一致する参照フレームM内の点の座標を定義します。次に、 Mの原点がFの原点に対して移動ベクトルdだけ移動され、 Fの x 軸に対して角度 φ だけ回転すると、 M内の点のF内の新しい座標は次のように表されます。 $${\displaystyle \mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

同次変換はアフィン変換を表す。この定式化は、平行移動がR ²の線形変換ではないために必要である。しかし、射影幾何学を使用すると、R ^{2 は}R ³のサブセットとみなされ、平行移動はアフィン線形変換になる。^[20]

剛体が、その参照フレーム M が固定フレームFに対して回転しない ( θ = 0) ように動く場合、その運動は純粋な並進運動と呼ばれます。この場合、物体内のすべての点の軌道は、 Mの原点の軌道d ( t )のオフセットであり、次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[T(0,\mathbf {d} (t))]\mathbf {p} =\mathbf {d} (t)+\mathbf {p} .}$$

したがって、純粋に並進する物体の場合、物体内の 各点Pの速度と加速度は次のように表されます。 ここで、点は時間に関する微分を表し、v _Oとa _Oはそれぞれ移動フレームMの原点の速度と加速度です。 M内の座標ベクトルp は定数であるため、その微分はゼロであることを思い出してください。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\dot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {v} _{O},\quad \mathbf {a} _{P}={\ddot {\mathbf {r} }}(t)={\ddot {\mathbf {d} }}(t)=\mathbf {a} _{O},}$$

回転運動学または角運動学は、物体の回転を記述する学問である。^[21]以下では、固定された方向の軸を中心とした単純な回転に限定して説明する。便宜上、 z軸が選択されている。

これにより、この共有z軸を中心に、固定されたFに対する平面参照フレームMの角度位置として回転を記述できます。M の座標p = ( x , y ) は、行列方程式によって Fの座標P = (X, Y)に関連付けられます。$${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}$$

ここで、は 時間の関数として Fに対するM の角度位置を定義する回転行列です。$${\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},}$$

点p がM内で移動しない場合、F内でのその速度は次のように表されます。 座標pを消去し、これを軌道P ( t ) 上の操作として記述すると 便利です。 ここで、行列は Fに対するM の角速度行列と呼ばれます。パラメータωは角度θの時間微分です。つまり、次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,}$$$${\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}.}$$

FにおけるP ( t )の加速度は速度の時間微分として得られ、 これは次のように表される 。 ここで は FにおけるM の角加速度行列であり、 $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},}$$$${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,}$$$${\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}.}$$

回転の説明には次の 3 つの量が含まれます。

• 角度位置: 回転軸上の選択された原点から物体の点までの方向距離は、その点の位置を示すベクトルr ( t ) です。ベクトルr ( t )には、回転軸に垂直な平面上に投影 (または同等の成分) r _⊥ ( t ) があります。その点の角度位置は、基準軸 (通常は正のx軸) からベクトルr _⊥ ( t ) までの既知の回転方向 (通常は右手の法則で与えられる) の角度θです。
• 角速度: 角速度ω は、角度位置θ が時間tに対して変化する速度です。図 1 では、角速度は、回転軸に沿ったベクトルΩによって表され、その大きさはωで、方向は右手の法則によって決まる回転方向によって決まります。$${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}}$$
• 角加速度：角加速度αの大きさは、角速度ωが時間tに対して変化する速度です。$${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}}$$

並進運動学の方程式は、単純な変数の交換により、一定の角加速度に対する平面回転運動学に簡単に拡張できます。 $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!}$$ $${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$$ $${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t}$$ $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).}$$

ここで、θ _iとθ _{f は}それぞれ初期と最終の角度位置、ω _iとω _fはそれぞれ初期と最終の角速度、αは一定の角加速度です。空間内の位置と空間内の速度はどちらも真のベクトルですが (回転時の特性の観点から)、角速度と同様に角度自体は真のベクトルではありません。

運動学における重要な公式は、運動体が 3 次元空間で軌道を描く際の、運動体の点の速度と加速度を定義します。 これは、ニュートンの第 2 法則またはラグランジュの方程式を使用して運動方程式を導くために使用される、物体の質量中心にとって特に重要です。

これらの式を定義するために、機械システムのコンポーネントBの動きは、同次変換 [T( t )]=[A( t ), d ( t )] に組み立てられた回転 [A( t ) ] と並進d ( t ) のセットによって定義されます。p が、移動する参照フレームMで測定されたBの点Pの座標である場合、 Fでトレースされるこの点の軌跡は次のように表されます。 この表記では、 P = (X, Y, Z, 1) とP = (X, Y, Z) を区別しませんが、これは文脈から明らかであると考えられます。 $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

Pの軌道に関するこの式を逆にすると、 Mの座標ベクトルp を次のように計算できます。 この式では、回転行列の転置はその逆行列でもあるという事実を利用しています。つまり、 $${\displaystyle \mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle [A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!}$$

点Pの軌跡に沿った速度P ( t ) は、この位置ベクトルの時間微分として得られます。 点は時間に関する微分を表します。p は定数なので、その微分はゼロです。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

この式は、固定フレームFで測定された軌道P ( t ) に作用してPの速度を取得するように変更できます。pの逆変換を速度方程式に代入すると、次のようになります。 行列 [ S ] は次のように与えられます。 ここで、 は角速度行列です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},}$$

演算子 [ S ] を掛けると、速度v _Pの式は次のようになります。 ここで、ベクトルωは行列 [Ω] の要素から得られる角速度ベクトルです。ベクトルは 、移動フレームMの原点Oに対するP の位置です。ベクトルは、 原点O の速度です。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},}$$$${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},}$$

運動する物体B内の点Pの加速度は、その速度ベクトルの時間微分として得られます。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .}$$

この式は、まず計算して展開することができ 、 $${\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

加速度A _Pの式は次のように得られます。 または、 ここでαは角速度ベクトルの導関数から得られる角加速度ベクトル、 は相対位置ベクトル（移動フレームMの原点Oに対するP の位置）、は 移動フレームM の原点の加速度です。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} -\mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),}$$$${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O}+\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},}$$$${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}}$$

運動学的制約は、機械システムのコンポーネントの動きに対する制約です。運動学的制約には、(i) システムの構造を定義するヒンジ、スライダー、カム ジョイントから生じる制約 (ホロノミック制約)と、(ii) 平面上のアイススケートのナイフエッジ制約や、平面と接触している円盤や球が滑らずに転がるなどのシステムの速度に課される制約 (非ホロノミック制約) の 2 つの基本的な形式があると考えられます。次に、一般的な例をいくつか示します。

運動学的結合は6 つの自由度すべてを正確に制約します。

滑らずに表面に対して転がる物体は、その質量中心の速度が、接触点から質量中心へのベクトルと角速度の 外積に等しいという条件に従います。$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.}$$

傾いたり回転したりしない物体の場合、これは になります。 ${\displaystyle v=r\omega }$

これは、物体が張力を受け、長さを変えることができない理想的なコードで接続されているケースです。制約は、コードのすべてのセグメントの長さの合計が全体の長さであり、したがってこの合計の時間微分がゼロであることです。^{[22] [23] [24]}このタイプの動的問題には振り子があります。別の例としては、伸びないコードで縁に取り付けられた重りが落下し、重力の引力によって回転するドラムがあります。[25] このタイプの平衡問題（^つまり、運動学の問題ではない問題）は懸垂線です。^[26]