サポート超平面

幾何学において、ユークリッド空間内の集合のサポート超平面とは、次の2つの性質を両方備えた超平面のことである。 ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle S}$超平面で囲まれた2つの閉じた 半空間の1つに完全に含まれる。
• ${\displaystyle S}$超平面上に少なくとも 1 つの境界点があります。

ここで、閉じた半空間とは、超平面内の点を含む半空間です。

この定理は、 が位相ベクトル空間の凸集合であり、が の境界上の点である 場合、 を含む支持超平面が存在することを述べています。 （が の双対空間であり、が非ゼロの線形汎関数である）場合、すべての に対して、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle x^{*}\in X^{*}\backslash \{0\}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x^{*}\left(x_{0}\right)\geq x^{*}(x)}$${\displaystyle x\in S}$

${\displaystyle H=\{x\in X:x^{*}(x)=x^{*}\left(x_{0}\right)\}}$

支持超平面を定義する。^[2]

逆に、境界上のすべての点が支持超平面を持つような空でない内部を持つ閉集合である場合、は凸集合であり、そのすべての支持閉半空間の交差である。^[2]${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

右の 2 番目の図でわかるように、定理の超平面は一意ではない可能性があります。閉集合が凸でない場合、右の 3 番目の図に示すように、定理の記述は境界上のすべての点で真ではありません。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$

凸集合のサポート超平面はタック平面またはタック超平面とも呼ばれます。^[3]

順方向は分離超平面定理の特別なケースとして証明できる（証明についてはページを参照）。逆方向については、

• サポート機能
• 支持線（ 内の支持超平面）${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• オスタゼフスキー、アダム（1990）。高度な数学的手法。ケンブリッジ、ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。p. 129。ISBN 0-521-28964-5。

• ジャキンタ、マリアーノ。ヒルデブラント、ステファン (1996)。変分法。ベルリン;ニューヨーク：スプリンガー。 p. 57.ISBN​ 3-540-50625-X。

• Goh, CJ; Yang, XQ (2002).最適化と変分不等式における双対性ロンドン; ニューヨーク: Taylor & Francis. p. 13. ISBN 0-415-27479-6。

• Soltan, V. (2021).有限次元の凸集合のサポートと分離特性。Extracta Math. Vol. 36, no. 2, 241-278。