量子状態

量子力学における数値解または解析解は、純粋状態として表現できます。これらの解の状態は固有状態と呼ばれ、量子化された値、典型的には量子数でラベル付けされます。例えば、水素原子中の電子のエネルギースペクトルを扱う場合、関連する純粋状態は、主量子数n、角運動量量子数ℓ、磁気量子数m、およびスピンz成分s _zによって識別されます。別の例として、電子のスピンを任意の方向で測定する場合（例えば、シュテルン＝ゲルラッハ実験など）、結果は上向きまたは下向きの 2 つになります。ここで純粋状態は、2 次元の複素ベクトルで表されます。${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$長さが1である。つまり、 $${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,}$$ どこ${\displaystyle |\alpha |}$そして${\displaystyle |\beta |}$は絶対値です${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \beta }$。

量子力学の公準によれば、ある時刻tにおける純粋状態は、分離可能な複素ヒルベルト空間のベクトルに対応し、各測定可能な物理量 (粒子のエネルギーや運動量など)は、観測量と呼ばれる数学演算子に関連付けられます。この演算子は、システムの状態に作用する線形関数として機能します。演算子の固有値は、観測量の取りうる値に対応します。例えば、運動量が 1 kg ⋅ m/sの粒子を観測できるのは、運動量演算子の固有値の 1 つが 1 kg ⋅ m/sである場合に限ります。対応する固有ベクトル(物理学者はこれを固有状態と呼びます) の固有値は 1 kg ⋅ m/s であり、量子不確定性のない、明確に定義された運動量 1 kg ⋅ m/sを持つ量子状態となります。その運動量を測定すれば、結果は必ず 1 kg・m/s となる。     

一方、複数の異なる固有状態の重ね合わせとして記述される純粋状態は、一般に与えられた観測量に対して量子不確定性を持つ。ブラケット記法を用いると、この固有状態の線形結合は^次のように表される。^{[ 5 ]： 22、171、172}$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle .}$$ 線形結合における特定の状態に対応する係数は複素数であり、そのため状態間の干渉効果が生じる。係数は時間に依存する。量子状態が時間とともにどのように変化するかは、時間発展演算子によって決定される。

混合量子状態は、純粋状態の確率的な混合に対応します。ただし、異なる純粋状態の分布によって、同等の（つまり、物理的に区別できない）混合状態が生成される可能性があります。量子状態の混合もまた、量子状態です。

密度行列定式化における電子スピンの混合状態は、$2×2$エルミート行列で半正定値であり、トレースが1 の行列。 ^{[ 6 ]}より複雑なケースは、（ブラケット表記では）量子もつれを例示する一重項状態によって与えられる。 $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigl (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigr )},}$$ これは、スピン1/2を持つ2つの粒子の結合スピン状態の重ね合わせを伴う。一重項状態は、粒子のスピンを同じ方向に測定した場合、最初の粒子のスピンが上向きで2番目の粒子のスピンが下向きに観測されるか、最初の粒子のスピンが下向きで2番目の粒子のスピンが上向きに観測されるかのいずれかであり、どちらの可能性も等しい確率で発生するという性質を満たす。

純粋な量子状態は、複素数上の射影ヒルベルト空間の要素である光線で表すことができ、混合状態は、ヒルベルト空間に作用する正定値半定値演算子である密度行列で表されます。 ^{[ 7 ] [ 3 ]} シュレーディンガー-HJW 定理は、与えられた混合状態を純粋状態の凸結合として記述する多数の方法を分類します。^{[ 8 ]}量子システムに対して 特定の測定が行われる前に、理論は結果の確率分布のみを与え、この分布が取る形式は、量子状態と測定を記述する線形演算子によって完全に決定されます。異なる測定の確率分布は、不確定性原理によって例示されるトレードオフを示します。つまり、ある実験で可能な結果の範囲が狭いことを意味する状態は、必然的に別の実験で可能な結果の範囲が広くなります。

統計的混合状態は、線形結合の一種です。統計的混合状態は、独立したシステムの統計的アンサンブルです。統計的混合状態は知識の度合いを表しますが、量子力学における不確実性は根本的なものです。数学的には、統計的混合状態は複素係数を用いた結合ではなく、異なる状態の実数値の正の確率を用いた結合です。$\displaystyle \Phi _{n}}$数${\displaystyle P_{n}}$ランダムに選択されたシステムがその状態にある確率を表す$\displaystyle \Phi _{n}}$線形結合の場合とは異なり、各システムは明確な固有状態にある。^{[ 9 ] [ 10 ]}

期待値${\displaystyle {\langle A\rangle }_{\sigma }}$観測量Aの平均値とは、その観測量の測定値の統計的平均値のことである。物理理論によって予測されるのは、この平均値と確率分布である。

すべての観測量に対して同時に固有状態となるような状態は存在しません。例えば、位置測定Q ( t )と運動量測定P ( t ) (同じ時刻tにおいて) の両方が正確にわかるような状態を準備することはできません。少なくともどちらか一方は、可能な値の範囲を持つことになります。^{[ a ]}これはハイゼンベルクの不確定性原理の内容です。

さらに、古典力学とは対照的に、システムに対して測定を行うと、一般的にその状態が変化することは避けられない。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]： 4}より正確には、観測量Aを測定した後、システムはAの固有状態にある。したがって、システムがすでにその固有状態にあった場合を除き、状態は変化している。これは、ある種の論理的一貫性を表している。同じ実験の実行中にA を2 回測定し、測定が時間的に直接連続している場合、^{[ b ]}同じ結果が得られる。しかし、これには次のような奇妙な結果が生じる。

互いに矛盾する 2 つの観測量AとBを考えます。ここで、A はBよりも早い時間に行われた測定に対応します。^{[ c ]}実験の開始時に システムがBの固有状態にあるとします。B だけを測定すると、実験のすべての実行で同じ結果が得られます。同じ実験の実行で最初にA を測定し、次にB を測定すると、システムは最初の測定後にAの固有状態に移行し、 Bの結果は一般的に統計的であることがわかります。したがって、量子力学的測定は互いに影響し合い、測定の順序が重要になります。

量子状態のもう一つの特徴は、複数のサブシステムからなる物理システム、例えば1つの粒子ではなく2つの粒子を用いた実験を考える場合に重要になります。量子物理学では、2つの粒子に対する測定値間に、古典理論では説明できない特定の統計的相関を示す「もつれ状態」と呼ばれる特定の状態が存在します。詳細は「量子もつれ」を参照してください。これらのもつれ状態は、量子理論と他の古典的（非量子）モデルを区別することを可能にする、実験的に検証可能な性質（ベルの定理）をもたらします。

観測量は時間に依存するものとし、状態σは実験開始時に一度だけ固定されると考えることができる。このアプローチはハイゼンベルク描像と呼ばれる。（このアプローチは、上記の議論の後半で、時間変化する観測量P ( t )、Q ( t )を用いて採用された。）同様に、観測量は固定され、システムの 状態が時間に依存すると扱うこともできる。これはシュレーディンガー描像として知られている。（このアプローチは、上記の議論の前半で、時間変化する状態を用いて採用された。）${\textstyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle }$概念的には（そして数学的にも）、この2つのアプローチは同等であり、どちらを選択するかは慣習の問題である。

量子論では両方の視点が用いられている。非相対論的量子力学は通常シュレーディンガー描像で定式化されるが、相対論的文脈、すなわち量子場理論においてはハイゼンベルク描像がしばしば好まれる。ディラック描像と比較せよ。^{[ 14 ]：65}

量子物理学は、一般的に線形代数を用いて以下のように定式化されます。任意のシステムは、有限次元または無限次元のヒルベルト空間と同一視されます。純粋状態は、ノルム1のベクトルに対応します。したがって、すべての純粋状態の集合は、ヒルベルト空間の単位球に対応します。なぜなら、単位球はノルム1を持つすべてのベクトルの集合として定義されるからです。

純粋状態にスカラーを掛けても、物理的には影響はありません（状態自体を考える限り）。複素ヒルベルト空間のベクトルの場合${\displaystyle H}$別のベクトルから、ある非ゼロの複素数を乗算することによって得られる2つのベクトルは、${\displaystyle H}$射影ヒルベルト空間において、それらは同じ光線に対応すると言われている。${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ の${\displaystyle H}$なお、 「光線」という言葉が使われていますが、厳密に言えば、射影ヒルベルト空間の点は、幾何学的な意味での半直線や光線ではなく、ヒルベルト空間の原点を通る直線に対応します。

角運動量はプランク定数と同じ次元 ( M · L ² · T ⁻¹ ) を持ち、量子スケールでは量子系の離散的な自由度として振る舞います。ほとんどの粒子は、古典力学には全く現れず、ディラックの理論の相対論的一般化から生じる一種の固有の角運動量を持っています。数学的には、スピノルで記述されます。非相対論的量子力学では、この追加の自由度を記述するために、リー群SU(2)の群表現が使用されます。特定の粒子の場合、表現の選択 (したがって、スピン観測量の可能な値の範囲) は、非負の数Sによって指定され、これは、縮小プランク定数ħの単位で、整数(0、1、2、...) または半整数(1/2、3/2、5/2、...) のいずれかです。スピンSを持つ質量のある粒子の場合、そのスピン量子数mは常に、集合内の 2S +1個の可能な値のいずれかをとります。$${\displaystyle \{-S,-S+1,\ldots ,S-1,S\}}$$

その結果、スピンを持つ粒子の量子状態は、C ^{2 S +1}の値をとるベクトル値波動関数で記述されます。言い換えれば、それは 4 つの変数の複素数値関数で表されます。通常の 3 つの連続変数 (空間内の位置) に、1 つの離散量子数変数 (スピン) が追加されます。

N個の粒子からなる系の量子状態は、各粒子がスピンを持つ可能性があり、粒子ごとに 4 つの変数を持つ複素数値関数で記述されます。これらの変数は 3 つの空間座標とスピンに対応します。 $${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots$$ ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .}

ここで、スピン変数m _{ν は、}集合から値をとります。 $${\displaystyle \{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,S_{\nu }-1,\,S_{\nu }\}}$$ どこ$${\displaystyle S_{\nu }}$$はν番目の粒子のスピンです。${\displaystyle S_{\nu }=0}$スピンを持たない粒子の場合。

同一粒子の扱い方は、ボソン（整数スピンを持つ粒子）とフェルミオン（半整数スピンを持つ粒子）では大きく異なります。上記のN粒子関数は、粒子数に関して対称化（ボソンの場合）または反対称化（フェルミオンの場合）する必要があります。N個の粒子すべてが同一ではなく、一部が同一である場合は、その統計（ボソンまたはフェルミオン）に応じて、同一変数の各グループに対応する変数について、関数を個別に（反対称）対称化する必要があります。

電子はS = 1/2のフェルミオンであり、光子（光の量子）はS = 1のボソンである（ただし、真空中では質量がなく、シュレーディンガー力学では記述できない）。

対称化や反対称化が不要な場合、N粒子の状態空間は、1 粒子の状態空間のテンソル積によって簡単に得られます。これについては後ほど詳しく説明します。

州${\displaystyle |\psi \rangle }$分離可能な複素ヒルベルト空間に属する${\displaystyle H}$は、常に正規直交基底の要素の線形結合として一意に表現できます。${\displaystyle H}$ブラケット記法を用いると、これは任意の状態を意味する。${\displaystyle |\psi \rangle }$次のように書くことができます $${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle &=\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle ,\\&=\sum _{i}|{k_{i}}\rangle \langle k_{i}|\psi \rangle ,\end{aligned}}}$$複素係数 を持つ${\displaystyle c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle }$および基本要素${\displaystyle |k_{i}\rangle }$この場合、正規化条件は次のように解釈されます 。$${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}\langle \psi |{k_{i}}\rangle \langle k_{i}|\psi \rangle =\sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1.}$$ 物理的に言えば、${\displaystyle |\psi \rangle }$「基底状態」の量子重ね合わせとして表現されてきた${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$すなわち、観測量の固有状態。特に、当該観測量が正規化された状態で測定される場合。${\displaystyle |\psi \rangle }$、 それから$${\displaystyle |c_{i}|^{2}=|\langle {k_{i}}|\psi \rangle |^{2},}$$ 測定結果が${\displaystyle k_{i}}$[ ^{5 ]： 22​}

一般に、確率の式は常に量子状態と観測される動的変数（すなわち確率変数）のスペクトルの一部との間の関係から構成される。 ^{[ 15 ] : 98 [ 16 ] : 53}例えば、上記の状況は離散的なケースを固有値として記述している。${\displaystyle k_{i}}$点スペクトルに属する。同様に、波動関数は、対応する固有値を持つハミルトニアン演算子の固有関数である。${\displaystyle E}$システムのエネルギー。

連続ケースの例として、位置演算子が挙げられます。状態にあるシステムの確率測度は${\displaystyle \psi }$は次のように与えられる：^{[ 17 ]}$${\displaystyle \mathrm {Pr} (x\in B|\psi )=\int _{B\subset \mathbb {R} }|\psi (x)|^{2}dx,}$$ どこ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$は、特定の位置で粒子を見つける確率密度関数です。これらの例は、状態と観測可能なものの特性の違いを強調しています。つまり、一方、${\displaystyle \psi }$は、${\displaystyle H}$位置演算子の（一般化された）固有ベクトルはそうではない。^{[ 18 ]}

密接に関連しているものの、純粋状態は量子不確定性のない観測量の純粋点スペクトルに属する束縛状態とは異なります。粒子が束縛状態にあるとは、その粒子が常に空間の有限領域に局在している状態を指します。純粋状態は、${\displaystyle |\phi \rangle }$は、すべての に対してである場合に限り、束縛状態と呼ばれる。${\displaystyle \varepsilon >0}$コンパクトセットがあります$\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3}}$そのため$${\displaystyle \int _{K}|\phi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \geq 1-\varepsilon }$$ すべての人々のために$\displaystyle t\in \mathbb {R} }$^{[ 19 ]}この積分は、粒子が境界領域内に見つかる確率を表す。${\displaystyle K}$いつでも${\displaystyle t}$確率が任意に近ければ${\displaystyle 1}$すると粒子は${\displaystyle K}$。

例えば、自由シュレーディンガー方程式の非正規化可能な解は、波動パケットを用いて正規化可能な関数として表現できます。これらの波動パケットは、対応する射影演算子の純粋点スペクトルに属し、数学的には観測量を構成します。^{[ 16 ] : 48}ただし、これらは束縛状態ではありません。

前述のように、量子状態は重ね合わせられる可能性があります。${\displaystyle |\alpha \rangle }$そして${\displaystyle |\beta \rangle }$量子状態に対応する 2 つのケット、ケット $${\displaystyle c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle }$$ も同じシステムの量子状態です。${\displaystyle c_{\alpha }}$そして${\displaystyle c_{\beta }}$これらは複素数であり、それらの相対的な振幅と相対的な位相が、結果として生じる量子状態に影響を与える。

重ね合わせ状態を書き出す $${\displaystyle c_{\alpha }=A_{\alpha }e^{i\theta _{\alpha }}\ \ c_{\beta }=A_{\beta }e^{i\theta _{\beta }}}$$ そして、国家の規範を次のように定義する。 $${\displaystyle |c_{\alpha }|^{2}+|c_{\beta }|^{2}=A_{\alpha }^{2}+A_{\beta }^{2}=1}$$ そして共通因数を抽出すると次のようになる。 $${\displaystyle e^{i\theta _{\alpha }}\left(A_{\alpha }|\alpha \rangle +{\sqrt {1-A_{\alpha }^{2}}}e^{i\theta _{\beta }-i\theta _{\alpha }}|\beta \rangle \right)}$$ 前面の全体的な位相因子は物理的効果を持たない。^{[ 20 ]： 108}相対位相のみが重ね合わせの物理的性質に影響を与える。

重ね合わせの一例として、二重スリット実験が挙げられます。この実験では、重ね合わせによって量子干渉が生じます。相対位相の重要性を示すもう一つの例はラビ振動です。ラビ振動では、シュレーディンガー方程式によって2つの状態の相対位相が時間とともに変化します。その結果生じる重ね合わせは、2つの異なる状態の間を行ったり来たりしながら振動することになります。

純粋量子状態とは、上述のように単一のケットベクトルで記述できる状態のことである。混合量子状態とは、純粋状態の統計的アンサンブルである（量子統計力学を参照）。^{[ 3 ]： 73}

量子力学において混合状態が生じるのは、2つの異なる状況です。1つ目は、システムの準備が完全には分かっていないため、可能な準備の統計的アンサンブルを扱わなければならない場合です。2つ目は、別のシステムと量子もつれ状態にある物理システムを記述したい場合で、その状態は純粋状態では記述できません。最初のケースでは、理論的にはシステムの完全な履歴を知っている別の人物が存在し、同じシステムを純粋状態として記述できる可能性があります。この場合、密度行列は量子状態の限られた知識を表すために単純に使用されます。しかし、2番目のケースでは、量子もつれの存在により、理論的にはサブシステムに関する完全な知識の存在が妨げられ、もつれたペアのサブシステムを純粋状態として記述することは誰にも不可能です。

複合量子系の場合、純粋状態から混合状態が必然的に生じる。$\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$もつれ状態を持つ部分${\displaystyle H_{2}}$観察者にはアクセスできない。^{[ 3 ]： 121-122}部分の状態${\displaystyle H_{1}}$は、部分トレースとして表現される。${\displaystyle H_{2}}$。

混合状態は単一のケットベクトルでは記述できません。 ^{[ 21 ] : 691–692}代わりに、関連する密度行列（または密度演算子）によって記述され、通常はρで表されます。密度行列は混合状態と純粋状態の両方を記述でき、両者を同等に扱います。さらに、ヒルベルト空間で記述される特定の量子系上の混合量子状態${\displaystyle H}$は、より大きな二部グラフシステム上の純粋量子状態の部分トレース（精製と呼ばれる）として常に表現できる。${\displaystyle H\otimes K}$十分に大きなヒルベルト空間の場合${\displaystyle K}$。

混合状態を記述する密度行列は、次の形式の演算子として定義される。 $${\displaystyle \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|}$$ ここで、p _{s は}各純粋状態におけるアンサンブルの割合である。${\displaystyle |\psi _{s}\rangle .}$密度行列は、1粒子形式を用いて、多数の類似粒子の挙動を記述する方法と考えることができる。これは、これらの粒子が存在する可能性のある状態の確率分布（またはアンサンブル）を与えることによって行われる。

密度行列が純粋状態または混合状態を記述しているかどうかを確認する簡単な基準は、状態が純粋であればρ ²のトレースが1に等しく、状態が混合であれば1未満であることです。 ^{[ d ] [ 22 ]}もう1つの同等の基準は、フォン・ノイマンエントロピーが純粋状態では0であり、混合状態では厳密に正であることです。

量子力学における測定の規則は、密度行列を用いて特に簡単に表現できる。例えば、観測量Aに対応する測定のアンサンブル平均 (期待値)は次のように与えられる。 $${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)}$$ どこ${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$そして${\displaystyle a_{i}}$はそれぞれ演算子Aの固有ケットと固有値であり、「tr」はトレースを表します。^{[ 3 ] : 73} 2 種類の平均化が行われています。1 つは (${\displaystyle i}$）は、量子が状態にあるときの観測量の通常の期待値である。 ${\displaystyle |\psi _{s}\rangle }$、そしてもう一方（${\displaystyle s}$) は、量子がこれらの状態にある確率p _{s を}持つ統計的 (非干渉的) 平均である。