偏微分方程式の数値解法

この方法では、関数は特定の格子点における値によって表され、導関数はこれらの値の差分によって近似される。

線法( MOL、NMOL、NUMOL ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} ) は、1 次元を除くすべての次元が離散化された偏微分方程式(PDE)を解くための手法です。MOL では、常微分方程式(ODE) および微分代数方程式(DAE)の数値積分用に開発された標準的な汎用手法およびソフトウェアを使用できます。長年にわたり、さまざまなプログラミング言語で多数の積分ルーチンが開発され、その一部はオープンソースリソースとして公開されています。^{[ 11 ]}

線法とは、多くの場合、空間微分のみを離散化し、時間変数を連続のままにしておくことで、偏微分方程式の数値解法を構築または解析する方法を指します。これにより、初期値常微分方程式の数値解法を適用できる常微分方程式系が得られます。この文脈における線法は、少なくとも1960年代初頭にまで遡ります。^{[ 12 ]}

有限要素法（FEM）は、微分方程式の境界値問題の近似解を求めるための数値的手法です。この手法は、変分法（変分法）を用いて誤差関数を最小化し、安定した解を生成します。多くの小さな直線を繋げることで大きな円を近似できるという考え方と同様に、FEMは、有限要素と呼ばれる多くの小さな部分領域にわたって多くの単純な要素方程式を繋げることで、より大きな領域にわたるより複雑な方程式を近似するすべての手法を包含しています。

勾配離散化法（GDM）は、いくつかの標準的な手法や最新の手法を包含する数値計算手法です。これは、関数とその勾配を別々に近似することに基づいています。その中核となる特性により、一連の線形問題および非線形問題に対してこの手法が収束することが保証されており、したがって、GDMの枠組みに含まれるすべての手法（適合有限要素法、非適合有限要素法、混合有限要素法、模倣有限差分法など）は、これらの収束特性を継承します。

有限体積法は、偏微分方程式を代数方程式の形で表現および評価するための数値的手法です[LeVeque, 2002; Toro, 1999]。有限差分法や有限要素法と同様に、メッシュ化された形状上の離散的な場所で値が計算されます。「有限体積」とは、メッシュ上の各節点を囲む小さな体積を指します。有限体積法では、発散項を含む偏微分方程式の体積積分は、発散定理を用いて面積積分に変換されます。これらの項は、各有限体積の表面における流量として評価されます。ある体積に入る流量は、隣接する体積から出る流量と同一であるため、これらの方法は保存的です。有限体積法のもう 1 つの利点は、非構造メッシュに対応できるように容易に定式化できることです。この方法は、多くの計算流体力学パッケージで使用されています。

スペクトル法は、応用数学や科学計算において、特定の微分方程式を数値的に解くために用いられる手法であり、多くの場合、高速フーリエ変換が利用されます。その基本的な考え方は、微分方程式の解を特定の「基底関数」（例えば、正弦波の和であるフーリエ級数）の和として表し、その和の係数の中から微分方程式を最もよく満たすものを選ぶというものです。

スペクトル法と有限要素法は密接に関連しており、同じアイデアに基づいています。両者の主な違いは、スペクトル法では領域全体で非ゼロの基底関数を使用するのに対し、有限要素法では小さなサブドメインでのみ非ゼロの基底関数を使用する点です。言い換えれば、スペクトル法はグローバルなアプローチを採用し、有限要素法はローカルなアプローチを採用します。この理由もあって、スペクトル法は優れた誤差特性を持ち、いわゆる「指数収束」は、解が滑らかな場合に可能な限り最速です。ただし、3 次元単一領域のスペクトル衝撃捕捉結果は知られていません。^{[ 13 ]}有限要素コミュニティでは、要素の次数が非常に高いか、グリッドパラメータh がゼロに減少するにつれて増加する方法は、スペクトル要素法と呼ばれることがあります。

メッシュフリー法は、シミュレーション領域のデータ点を接続するメッシュを必要としません。^{[ 14 ]}メッシュフリー法は、追加の計算時間とプログラミングの労力を犠牲にして、そうでなければ困難なタイプの問題のシミュレーションを可能にします。

領域分割法は、境界値問題をサブドメイン上のより小さな境界値問題に分割し、隣接するサブドメイン間で解を調整するために反復計算を行うことで境界値問題を解きます。サブドメインごとに未知数が1つまたは少数の粗い問題を使用することで、サブドメイン間の解を全体的にさらに調整します。サブドメイン上の問題は独立しているため、領域分割法は並列計算に適しています。領域分割法は、共役勾配法やGMRESなどのクリロフ空間反復法の前処理として一般的に使用されます。

重複領域分解法では、サブドメインは界面よりも広い範囲で重なり合います。重複領域分解法には、シュワルツ交代法や加法シュワルツ法などがあります。多くの領域分解法は、抽象的な加法シュワルツ法の特殊なケースとして記述および解析できます。

非重複法では、サブドメインは界面でのみ交差します。バランシングドメイン分解やBDDCなどの主法では、サブドメイン界面をまたいだ解の連続性は、隣接するすべてのサブドメインにおける解の値を同じ未知数で表すことによって保証されます。FETIなどの双対法では、サブドメイン界面をまたいだ解の連続性は、ラグランジュ乗数によって保証されます。FETI -DP法は、双対法と主法の中間的な手法です。

重複しない領域分割法は、反復部分構造化法とも呼ばれる。

モルタル法は偏微分方程式の離散化手法であり、重なり合わない部分領域ごとに個別の離散化を行います。部分領域上のメッシュは境界面で一致せず、解の等価性は、解の精度を維持するために適切に選択されたラグランジュ乗数によって保証されます。有限要素法の工学的実践においては、一致しない部分領域間の解の連続性は、多点拘束によって実現されます。

中規模モデルの有限要素シミュレーションでは、数百万の未知数を含む線形方程式系を解く必要があります。1ステップあたり数時間かかるのが平均的な逐次実行時間であるため、並列計算は不可欠です。領域分割法は、有限要素法の並列化に大きな可能性を秘めており、分散並列計算の基盤となります。

数値解析におけるマルチグリッド（MG）法は、離散化の階層構造を用いて微分方程式を解くアルゴリズム群です。これは、多重解像度法と呼ばれる手法の一例であり、複数のスケールで挙動を示す問題に非常に有用です（ただし、これに限定されません）。例えば、多くの基本的な緩和法は、短波長成分と長波長成分で収束速度が異なるため、マルチグリッドに対するフーリエ解析アプローチのように、これらの異なるスケールを異なる方法で扱う必要があることを示唆しています。^{[ 15 ]} MG法は、ソルバーとしても前処理器としても使用できます。

マルチグリッドの主なアイデアは、粗い問題を解くことによって、基本的な反復法の収束を時折グローバル補正することで加速することです。この原理は、粗いグリッドと細かいグリッド間の補間と似ています。マルチグリッドの典型的な応用例は、2 次元以上の楕円型偏微分方程式の数値解法です。^{[ 16 ]}

マルチグリッド法は、一般的な離散化手法のいずれとも組み合わせて適用できます。たとえば、有限要素法をマルチグリッド法として再定式化することができます。^{[ 17 ]}これらの場合、マルチグリッド法は、現在知られている中で最も高速な解法の一つです。他の方法とは対照的に、マルチグリッド法は任意の領域と境界条件を扱うことができるという点で汎用的です。方程式の分離可能性や方程式のその他の特別な性質に依存しません。また、ラメ弾性系やナビエ・ストークス方程式のような、より複雑な非対称および非線形方程式系にも広く使用されています。^{[ 18 ]}