単位行列

線形代数において、サイズの単位行列${\displaystyle n}$は${\displaystyle n\times n}$主対角成分が1で、それ以外の成分が0である正方行列。独自の性質を持ち、例えば単位行列が幾何学的変換を表す場合、変換によって対象は変化しません。その他の文脈では、1を掛けることに相当します。

単位行列はしばしば次のように表される。${\displaystyle I_{n}}$または単に${\displaystyle I}$サイズが重要でない場合、または文脈から容易に判断できる場合。^{[ 1 ]}

$${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$

単位行列という用語も広く使われてきましたが、^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}現在では恒等行列という用語が標準となっています。^{[ 6 ]}単位行列 という用語は曖昧です。なぜなら、それは1の行列や、すべての要素からなる環の任意の単位にも使われるからです。${\displaystyle n\times n}$行列。^{[ 7 ]}

群論や量子力学などの分野では、単位行列は太字で表されることがあります。${\displaystyle \mathbf {1} }$または「id」（identityの略）とも呼ばれます。あまり一般的ではありませんが、一部の数学書では、${\displaystyle U}$または${\displaystyle E}$単位行列を表すために、それぞれ「単位行列」^{[ 2 ]}とドイツ語のEinheitsmatrix ^{[ 8 ]}を表す。

対角行列を簡潔に記述するために用いられる表記法によれば、単位行列は次のように表される。 $${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}$$ 単位行列はクロネッカーのデルタ表記法を用いて次のように表すこともできます。^{[ 8 ]}$${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}$$

いつ${\displaystyle A}$は${\displaystyle m\times n}$行列の場合、それは行列乗算の性質です。 $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}$$ 特に、単位行列は、すべての行列環の乗法単位行列として機能します。${\displaystyle n\times n}$行列、および一般線形群の単位元${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$これは、すべての可逆的なものから構成されます。${\displaystyle n\times n}$行列乗算演算における行列。特に、単位行列は可逆行列です。単位行列は対合行列であり、自身の逆行列と等しくなります。このグループでは、2つの正方行列が互いに逆行列である場合に限り、それらの積が単位行列になります。

いつ${\displaystyle n\times n}$行列は、${\displaystyle n}$次元ベクトル空間をそれ自身に、単位行列${\displaystyle I_{n}}$は、この表現で使用された基底が何であれ、恒等関数を表します。

の${\displaystyle i}$単位行列の 番目の列は単位ベクトルです${\displaystyle e_{i}}$、ベクトル${\displaystyle i}$番目の要素は 1 であり、それ以外の要素は 0 です。単位行列の行列式は 1 であり、そのトレースは${\displaystyle n}$。

単位行列は、非零行列式を持つ唯一の冪等行列である。つまり、次の条件を満たす唯一の行列である。

1. それ自身を掛け合わせると、結果はそれ自身になる。
2. その行と列はすべて線形独立である。

単位行列の主平方根はそれ自身であり、これが唯一の正定値平方根です。ただし、少なくとも2行2列の単位行列は、無限個の対称平方根を持ちます。^{[ 9 ]}

単位行列のランク${\displaystyle I_{n}}$サイズに等しい${\displaystyle n}$つまり： $${\displaystyle \operatorname {rank} (I_{n})=n.}$$

• バイナリ行列（ゼロイチ行列）
• 基本行列
• 交換マトリックス
• 1の行列
• パウリ行列（単位行列はゼロ次パウリ行列である）
• ハウスホルダー変換（ハウスホルダー行列は単位行列を用いて構築される）
• 2×2単位行列の平方根
• ユニタリ行列
• ゼロマトリックス