アルバート代数

数学において、アルバート代数は、27次元の例外的な ジョルダン代数である。これらは、実数上で通常機能する非結合代数の研究の先駆者であるエイブラハム・エイドリアン・アルバートにちなんで名付けられている。実数上では、同型を除いて3つのそのようなジョルダン代数が存在する。^[1] そのうちの1つは、パスクアル・ジョーダン、ジョン・フォン・ノイマン、ユージン・ウィグナー（1934年）によって最初に言及され、アルバート（1934年）によって研究されたもので、八元数上の 3×3自己随伴行列の集合であり、二項演算

${\displaystyle x\circ y={\frac {1}{2}}(x\cdot y+y\cdot x),}$

ここで、 は行列の乗算を表します。もう 1 つは同じ方法で定義されますが、八元数の代わりに分割八元数を使用します。最終結果は、異なる標準の反転を使用して、分割されていない八元数から構築されます。 ${\displaystyle \cdot}$

任意の代数的に閉じた体上には、ただ 1 つのアルバート代数が存在し、その自己同型群Gは型F ₄の単純分割群です。^{[2] [3]} （たとえば、実数上の 3 つのアルバート代数の複素化は、複素数上の同型アルバート代数です。）このため、一般の体Fに対して、アルバート代数はガロアコホモロジー群 H ¹ ( F , G )によって分類されます。 ^[4]

カンター・ケッヒャー・ティッツ構成をアルバート代数に適用すると、E7リー代数の形式が得られる。分割アルバート代数は、自己同型群がE6_型の単連結代数群を恒等成分とする56次元構造化可能代数の構成に用いられる。^[5]

Z /2 Zに係数を持つ体F (特性が 2 でない) であるアルバート代数のコホモロジー不変量の空間は、次数 0、3、5 の基底 1、f ₃、f _5を持つFのコホモロジー環上の自由加群です。 ^[6] 3 次元捩れ係数を持つコホモロジー不変量は、次数 0、3 の 基底 1、g _{3を持ちます。} ^[7] 不変量f ₃とg _3は、ロスト不変量の主要な成分です。

• ジョーダン、フォン・ノイマン、ウィグナーが考えたジョーダン代数に対するユークリッド・ジョーダン代数
• 八元数に対するアルバート代数の構成の詳細については、ユークリッド・フルヴィッツ代数を参照のこと。

• アルバート、A. エイドリアン(1934)、「量子力学のある代数について」、数学年報、第 2 シリーズ、35 (1): 65–73、doi :10.2307/1968118、ISSN  0003-486X、JSTOR  1968118
• ガリバルディ、スキップ、メルクリェフ、アレクサンダー、セール、ジャン＝ピエール（2003）、ガロアコホモロジーにおけるコホモロジー不変量、大学講義シリーズ、第28巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3287-5、MR  1999383
• ガリバルディ、スキップ(2009)。コホモロジー不変量: 例外群とスピン群。アメリカ数学会誌。第 200 巻。doi :10.1090/memo/ 0937。ISBN 978-0-8218-4404-5。
• ジョーダン、パスクアル、ノイマン、ジョン・フォン、ウィグナー、ユージン（1934）、「量子力学的形式の代数的一般化について」、数学年報、35（1）：29–64、doi：10.2307/1968117、JSTOR  1968117
• クヌス、マックス・アルバート、メルクルジェフ、アレクサンダー、ロスト、マルクス、ティニョル、ジャン・ピエール（1998）、『反転の書』、コロキウム出版、第44巻、J.ティッツによる序文付き、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0904-4、ZBL  0955.16001
• McCrimmon, Kevin (2004)、「A Taste of Jordan algebras」、Universitext、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/b97489、ISBN 978-0-387-95447-9、MR  2014924
• Springer, Tonny A. ; Veldkamp, Ferdinand D. (2000) [1963], Octonions, Jordan algebras and exception groups, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9、MR  1763974

• ピーターソン、ホルガー P. Racine、Michel L. (1994)、「Albert algebras」、Kaup、Wilhelm (編)、Jordan algebras。 1992 年 8 月 9 ～ 15 日、ドイツのオーバーヴォルファッハで開催された会議の議事録、ベルリン: de Gruyter、197 ～ 207 ページ、Zbl  0810.17021
• Petersson, Holger P. (2004). 「任意の特性を持つ体上の 3 次 Jordan 代数の構造定理」Communications in Algebra . 32 (3): 1019–1049. CiteSeerX  10.1.1.496.2136 . doi :10.1081/AGB-120027965. S2CID  34280968.
• 数学百科事典のアルバート代数。