二変体

代数学において、半群（代数や群など）のサブセットSの二重可換子は、そのサブセットの可換子の可換子です。これは二重可換子または第二可換子とも呼ばれ、 と書きます。 ${\displaystyle S^{\prime \prime}}$

二重可換性は、作用素環の代数的構造と解析的構造を関連付けるフォン・ノイマンの二重可換性定理により、作用素理論において特に有用である。具体的には、あるヒルベルト空間Hについて、 MがC*-代数B(H)内の単位的自己随伴作用素環である場合、Mの弱閉包、強閉包、および二重可換性が等しいことを示す。これは、B(H)の単位的C*-部分代数Mがフォン・ノイマン代数であるための必要条件は であり、そうでない場合、それが生成するフォン・ノイマン代数は であることを意味する。 ${\displaystyle M=M^{\prime \prime}}$${\displaystyle M^{\prime \prime}}$

Sの二交換子には常にS が含まれます。つまり。一方、。つまり、つまりSの二交換子の交換子はSの交換子に等しい。帰納法により、次の式が得られます。 ${\displaystyle S^{\prime \prime \prime }=\left(S^{\prime \prime }\right)^{\prime }\subseteq S^{\prime }}$${\displaystyle S^{\prime }\subseteq \left(S^{\prime }\right)^{\prime \prime }=S^{\prime \prime \prime }}$${\displaystyle S^{\prime }=S^{\prime \prime \prime }}$

${\displaystyle S^{\prime }=S^{\prime \prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\cdots =S^{2n-1}=\cdots }$

そして

${\displaystyle S\subseteq S^{\prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=\cdots =S^{2n}=\cdots }$

n > 1 の場合。

S ₁とS _{2 が}半群の部分集合である 場合、

${\displaystyle \left(S_{1}\cup S_{2}\right)'=S_{1}'\cap S_{2}'.}$

かつと仮定すると（これは例えばフォン・ノイマン代数の場合に当てはまる）、上記の等式は ${\displaystyle S_{1}=S_{1}''\,}$${\displaystyle S_{2}=S_{2}''\,}$

${\displaystyle \left(S_{1}'\cup S_{2}'\right)''=\left(S_{1}''\cap S_{2}''\right)'=\left(S_{1}\cap S_{2}\right)'.}$

• フォン・ノイマンの二重可換定理

• J. Dixmier、フォン・ノイマン代数、北オランダ、アムステルダム、1981 年。