変分法

変分法（へんぶんほう、または変分計算）は、関数 や汎関数の小さな変化である変分を用いて、関数の最大値と最小値を求める数学的解析の分野である。関数とは、関数の集合から実数への写像である。^[a]汎関数は、関数とその導関数を含む定積分として表現されることが多い。関数を最大化または最小化する関数は、変分法の オイラー・ラグランジュ方程式を使って求めることができる。

このような問題の簡単な例としては、2 点を結ぶ最短の曲線を見つけることが挙げられます。制約条件がない場合、解は2 点間を直線で結ぶことになります。しかし、曲線が空間内の面上にあるように制約されている場合、解はそれほど明白ではなく、おそらく複数の解が存在する可能性があります。このような解は測地線として知られています。関連する問題として、フェルマーの原理があります。光は 2 点を結ぶ最短の光路をたどりますが、これは媒体の材質によって異なります。力学における対応する概念の 1 つに、最小/定常作用の原理があります。

多くの重要な問題には、複数の変数の関数が関係しています。ラプラス方程式の境界値問題の解は、ディリクレの原理を満たします。プラトーの問題では、空間内の指定された輪郭にまたがる最小面積の表面を見つける必要があります。多くの場合、フレームを石鹸水に浸すと解が見つかります。このような実験は比較的簡単に実行できますが、その数学的定式化は決して単純ではありません。局所的に最小となる表面が複数存在する可能性があり、それらのトポロジーは自明ではない場合があります。

変分法は、 1687年のニュートンの最小抵抗問題に始まり、その後ヨハン・ベルヌーイが1696年に提起した最速降下曲線問題に続いたと言える。 ^{[2]この問題にはすぐに}ヤコブ・ベルヌーイとロピタル侯爵の関心が集まったが、 1733年に初めてこのテーマを詳述したのはレオンハルト・オイラーであった。ラグランジュはオイラーの研究に影響され、この理論に大きく貢献した。19歳のラグランジュの1755年の研究を見た後、オイラーは自身の部分的に幾何学的なアプローチを放棄し、ラグランジュの純粋に解析的なアプローチを採用し、1756年の講義「変分法原論」でこのテーマを変分法と改名した。^{[3] [4] [b]}

ルジャンドル(1786) は、最大値と最小値を区別する方法を確立したが、完全に満足できるものではなかった。アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツも、この主題に早くから注目していた。^[5]この区別には、ヴィンチェンツォ・ブルナッチ(1810)、カール・フリードリヒ・ガウス(1829)、シメオン・ポアソン(1831)、ミハイル・オストログラツキー(1834)、カール・ヤコビ(1837) らが貢献した。重要な一般的な著作は、サラス(1842) の著作で、これはコーシー(1844)によって要約され、改良された。シュトラウフ（1849）、イェレット（1850）、オットー・ヘッセ（1857）、アルフレート・クレプシュ（1858）、ルイス・バフェット・カール（1885）らも価値ある論文や回想録を書いているが、おそらく今世紀の最も重要な著作はヴァイエルシュトラスのものである。彼の理論に関する有名な講義は画期的で、彼が初めてこの理論を確固とした疑いのない基礎の上に置いたと断言できる。 1900年に発表された20番目と23番目の ヒルベルト問題は、さらなる発展を促した。^[5]

20世紀には、デイヴィッド・ヒルベルト、オスカー・ボルツァ、ギルバート・エイムズ・ブリス、エミー・ネーター、レオニーダ・トネッリ、アンリ・ルベーグ、ジャック・アダマールらが大きな貢献を果たした。^[5] マーストン・モースは変分法を現在モース理論と呼ばれるものに応用した。^[6] レフ・ポンチャギン、ラルフ・ロカフェラー、FHクラークは最適制御理論における変分法のための新しい数学的ツールを開発した。^[6]リチャード・ベルマンの動的計画法は変分法の代替である。^{[7] [8] [9] [c]}

変分法は、関数の最大値または最小値（まとめて極値と呼ばれる）を扱う。関数は関数をスカラーにマップするため、関数は「関数の関数」と説明されてきた。関数は、与えられた領域で定義された与えられた関数空間の要素に関して極値を持つ。関数が関数 に極値を持つと言われるのは、の任意の小さな近傍ですべてに対して同じ符号を持つ場合である^[d] 。関数は極値関数または極値と呼ばれる。 ^[e]極値は、の任意の小さな近傍のどこでも である場合に極値と呼ばれ、 がある場合に極値と呼ばれる。連続関数の関数空間の場合、対応する関数の極値は、連続関数の 1 次導関数がすべて連続しているかどうかによって、強い極値または弱い極値と呼ばれる。 ^[11]${\displaystyle y}$${\displaystyle J[y]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Delta J=J[y]-J[f]}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle J[f]}$${\displaystyle \Delta J\leq 0}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \Delta J\geq 0}$

関数の強い極値と弱い極値はどちらも連続関数の空間に対するものですが、強い極値には、その空間内の関数の1次導関数が連続しているという追加の要件があります。したがって、強い極値は弱い極値でもありますが、その逆は成り立たない場合があります。強い極値を見つけることは、弱い極値を見つけることよりも困難です。^{[12]弱い極値を見つけるために使用される}必要条件の例は、オイラー-ラグランジュ方程式です。^{[13] [f]}

関数の極値を見つけることは、関数の最大値と最小値を見つけることに似ています。関数の最大値と最小値は、その導関数がゼロになる点（つまり、ゼロに等しい点）を見つけることで見つけることができます。関数の極値は、関数の導関数がゼロになる関数を見つけることで得られます。これにより、関連するオイラー・ラグランジュ方程式が解かれます。^[g]

関数を考えてみましょう 。 $${\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L\left(x,y(x),y'(x)\right)\,dx\,.}$$

• ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$は定数であり、
• ${\displaystyle y(x)}$2回連続微分可能であり、
• ${\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}},}$
• ${\displaystyle L\left(x,y(x),y'(x)\right)}$は、その引数に関して2回連続微分可能であり、${\displaystyle x,y,}$${\displaystyle y'.}$

関数がで極小値に達し、が少なくとも1つの導関数を持ち、端点でゼロになり、0に近い任意 の数に対してゼロになる任意の関数である場合、${\displaystyle J[y]}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \eta (x)}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2},}$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,.}$$

この項は関数の変分と呼ばれ、 ^{[1] [h]}で表される。${\displaystyle \varepsilon \eta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta f.}$

関数にを代入すると、結果は関数となる。${\displaystyle f+\varepsilon \eta }$${\displaystyle y}$${\displaystyle J[y],}$${\displaystyle \varepsilon ,}$

$${\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]\,.}$$ 関数はで最小値を持つため、関数はで最小値を持ち、したがって、^[i]${\displaystyle J[y]}$${\displaystyle y=f}$${\displaystyle \Phi (\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon =0}$ $${\displaystyle \Phi '(0)\equiv \left.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=0\,.}$$

とを関数ではなく関数として考えると、とが得られる 。 なぜなら、と${\displaystyle L\left[x,y,y'\right],}$${\displaystyle y=f+\varepsilon \eta }$${\displaystyle y'=f'+\varepsilon \eta '}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {dy'}{d\varepsilon }}}$$${\displaystyle {\frac {dy}{d\varepsilon }}=\eta }$${\displaystyle {\frac {dy'}{d\varepsilon }}=\eta ',}$ $${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial y'}}\eta '.}$$

したがって、 のとき、 の2番目の項に部分積分を使用しています。 2行目の2番目の項は、 のとき、の定義により となるため、消えます。 また、前述のように、式の左辺はゼロなので、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta '\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta \right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle L\left[x,y,y'\right]\to L\left[x,f,f'\right]}$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta (x)\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx=0\,.}$$

変分法の基本補題によれば、被積分関数の括弧内の部分はゼロ、すなわち、 これはオイラー・ラグランジュ方程式と呼ばれる。この方程式の左辺は関数微分と呼ばれ、次のように表記される。$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$$${\displaystyle J[f]}$${\displaystyle \delta J/\delta f(x).}$

一般に、これは 2 次常微分方程式を与え、これを解くことで極値関数を得ることができます。 オイラー - ラグランジュ方程式は極値に対する必要条件ですが、十分条件ではありません。 最小値に対する十分条件は、「変分と最小値に対する十分条件」のセクションで示されています。 ${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle J[f].}$

このプロセスを説明するために、2 つの点を結ぶ最短の曲線である極値関数を見つける問題を考えてみましょう。曲線の弧の長さは、次のように与えられます 。yが x の関数であると 仮定すると一般性が失われることに注意してください。理想的には、両方とも他の何らかのパラメータの関数である必要があります。このアプローチは、教育目的にのみ適しています。 ${\displaystyle y=f(x),}$${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right).}$$${\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}$$$${\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.}$$

オイラー・ラグランジュ方程式は、関数を最小化する極値関数を見つけるために用いられる 。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle A[y].}$ $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$$$${\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}$$

オイラー・ラグランジュ方程式の第一項には明示的に現れないので、すべての場合においてゼロとなり、したがって、 を 代入して導関数をとると、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.}$$${\displaystyle L}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.}$$

したがって、 ある定数に対して、ここ で を解くと、 が得られ、 これは が定数である ことを意味し 、したがって 2 点を結ぶ最短曲線はとなり 、関数を最小化する 極値関数が見つかったので は最小値となります。直線の方程式はであり、言い換えれば、2 点間の最短距離は直線です。^[j]$${\displaystyle {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,}$$${\displaystyle c.}$$${\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}$$$${\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}$$$${\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}$$$${\displaystyle f'(x)=m}$$${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$$${\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle A[y]}$${\displaystyle A[f]}$${\displaystyle y=f(x).}$

物理学の問題では、被積分関数がと関数であるが、別々に現れないことを意味する場合がある。その場合、オイラー・ラグランジュ方程式はベルトラミ恒等式^[16]に簡略化できる。 ここで、は定数である。左辺は、のルジャンドル変換である。${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle x}$ $${\displaystyle L-f'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\,,}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f'(x).}$

この結果の背後にある直感は、変数が実際に時間である場合、このステートメントはラグランジアンが時間に依存しないことを意味するということです。ノイマンの定理により、関連する保存量が存在します。 この場合、この量はハミルトニアン、つまりラグランジアンのルジャンドル変換であり、システムのエネルギーと（多くの場合）一致します。 これは、ベルトラミの恒等式における定数（マイナス）です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

がの高階微分に依存する場合、はオイラー・ポアソン方程式を満たす必要がある。^[17]${\displaystyle S}$${\displaystyle y(x),}$$${\displaystyle S=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x),\dots ,y^{(n)}(x))dx,}$$${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+\dots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}$$

これまでの議論では、極値関数は 2 つの連続導関数を持つと仮定してきましたが、積分の存在には試行関数の 1 次導関数のみが必要です。 1 次変分が極値で消えるという条件は、オイラー・ラグランジュ方程式の弱形式と見なすことができます。 デュボア・レーモンの定理は、この弱形式が強形式を意味すると主張しています。 がすべての引数に関して連続した 1 次導関数と 2 次導関数を持ち、 が 2つの連続導関数を持ち、オイラー・ラグランジュ方程式を満たします。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}}\neq 0,}$$${\displaystyle f}$

ヒルベルトは、オイラー・ラグランジュ方程式が定常解を与えるための良好な条件を初めて示した人物です。凸領域と正の 3 回微分可能なラグランジアン内では、解は境界に沿うか、内部でオイラー・ラグランジュ方程式を満たすセクションの可算な集合で構成されます。

しかし、 1926年にラヴレンチェフは、最適解は存在しないが、セクションの数を増やすことで最適解に任意に近づくことができる状況があることを示した。ラヴレンチェフ現象は、許容される関数の異なるクラス間で最小化問題の最小値が異なることを特定する。例えば、1934年にマニアが提示した次の問題：^[18] $${\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},}$$ $${\displaystyle {A}=\{x\in W^{1,1}(0,1):x(0)=0,\ x(1)=1\}.}$$

明らかに、関数を最小化しますが、どの関数も下限から離れた制限された値を与えることがわかります。 ${\displaystyle x(t)=t^{\frac {1}{3}}}$${\displaystyle x\in W^{1,\infty }}$

例（1次元）は伝統的に、およびにわたって現れますが、BallとMizel ^[19]は、およびに対してLavrentievの現象を示す最初の関数を取得しました。現象が発生しない基準を与える結果はいくつかあります-たとえば、「標準成長」、2番目の変数に依存しないラグランジアン、またはCesariの条件（D）を満たす近似シーケンス-しかし、結果は多くの場合特殊であり、関数の小さなクラスに適用できます。 ${\displaystyle W^{1,1}}$${\displaystyle W^{1,\infty },}$${\displaystyle W^{1,p}}$${\displaystyle W^{1,q}}$${\displaystyle 1\leq p<q<\infty .}$

ラヴレンチェフ現象と関連しているのは反発特性である。ラヴレンチェフ現象を示す関数はどれも弱い反発特性を示す。^[20]

たとえば、 が平面上の領域上の膜の変位を表す場合、その位置エネルギーは表面積に比例します。 プラトーの問題は、 の境界上の所定の値を仮定しながら表面積を最小にする関数を見つけることです。解は極小面と呼ばれます。この問題のオイラー・ラグランジュ方程式は非線形です。 詳細については、Courant (1950) を参照してください。 ${\displaystyle \varphi (x,y)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x,y}$$${\displaystyle U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.}$$ ${\displaystyle D}$$${\displaystyle \varphi _{xx}(1+\varphi _{y}^{2})+\varphi _{yy}(1+\varphi _{x}^{2})-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}$$

膜の小さな変位のみを考えるだけで十分な場合が多く、その変位なしとのエネルギー差は次のように近似されます。 関数は、の境界で所定の値をとるようなすべての試行関数の中で最小化されます。が最小化関数で、 がの境界で消える任意の滑らかな関数である場合、 の最初の変分は消える必要があります。 u に 2 つの導関数がある場合、発散定理を適用して次の式を得ることができます。 は の 境界であり、 はに沿った弧長であり、 は上のの法線導関数です。は で消え、最初の変分は消えるので、の境界で消える すべての滑らかな関数について、結果は次のようになります。 1 次元積分の場合の証明をこのケースに適用して、次のことを示すことができます 。$${\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle D.}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle D,}$${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$$${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.}$$$${\displaystyle \iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle s}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \partial u/\partial n}$${\displaystyle u}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle \iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle D.}$$${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=0}$$${\displaystyle D.}$

この推論の難しい点は、最小化する関数には必ず 2 つの導関数があるという仮定である。リーマンは、滑らかな最小化関数の存在は物理的問題との関連で保証されていると主張した。膜は確かに位置エネルギーが最小となる構成をとる。リーマンは、師であるペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレに敬意を表して、この考えをディリクレ原理と名付けた。しかし、ワイエルシュトラスは、解のない変分問題の例を示した。 を満たす すべての関数の中で最小化し、原点の小さな近傍で -1 と 1 の間を遷移する区分線形関数を選択することで任意に小さくすることができる。しかし、 ^[k]となる関数はない。最終的に、ディリクレ原理は有効であることが示されたが、楕円偏微分方程式の正則性理論の高度な適用が必要である。Jost と Li–Jost (1998) を参照。 ${\displaystyle u}$$${\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (-1)=-1}$${\displaystyle \varphi (1)=1.}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle W=0.}$

膜の位置エネルギーのより一般的な表現は、次のようになります。 これは、境界上の外力における外力 密度と、に作用する係数の弾性力に対応します。 境界値に制限を設けずに位置エネルギーを最小化する関数は、次のように表されます。と が連続している場合、正則性理論により、最小化関数には 2 つの導関数があります。 最初の変分を取る際に、増分に境界条件を課す必要はありません。の最初の変分は、次のように与えられます。 発散定理を適用すると、結果は次のようになります。 最初に境界を に 設定すると、積分はゼロになり、前述のように では であると結論付けます。 次に、任意の境界値を想定すると、 は で境界条件を満たす必要があります 。この境界条件は、 の最小化特性の結果です。つまり、事前に課されるものではありません。このような条件は、自然境界条件と呼ばれます。 $${\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.}$$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle D,}$${\displaystyle g(s)}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle \sigma (s)}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle u.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$$${\displaystyle \iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.}$$$${\displaystyle \iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.}$$${\displaystyle v=0}$${\displaystyle C,}$$${\displaystyle -\nabla \cdot \nabla u+f=0}$$${\displaystyle D.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,}$$${\displaystyle C.}$${\displaystyle u}$

が で同一に消える場合、前述の推論は有効ではありません。このような場合、が定数である試行関数を使用できます。このような試行関数では、 を適切に選択することにより、括弧内の量が消えない限り、任意の値を取ることができます。したがって、 がない限り、変分問題は無意味です。 この条件は、システムに対する正味の外力が平衡状態にあることを意味します。これらの力が平衡状態にある場合、変分問題には解がありますが、任意の定数を追加できるため、解は一意ではありません。詳細と例は、Courant と Hilbert (1953) にあります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle C.}$${\displaystyle \varphi \equiv c,}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].}$$${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle V}$$${\displaystyle \iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.}$$

1 次元および多次元の固有値問題はどちらも変分問題として定式化できます。

ストゥルム・リウヴィルの固有値問題には、境界条件 を満たす関数に制限される 一般の二次形式が含まれます 。を正規化積分とします 。 関数および は、どこでも正で、0 から離れる方向に有界である必要があります。主な変分問題は、終点条件を満たすすべての間の比を最小化することであり、これは、 が一定であるという制約の下で最小化することと同等です。以下に示すように、 を最小化するためのオイラー・ラグランジュ方程式は、 であり、は商 です。 最小化には 2 つの導関数があり、オイラー・ラグランジュ方程式を満たすことが示されます (Gelfand および Fomin 1963 を参照) 。関連するは で表されます。これは、この方程式と境界条件の最小の固有値です。関連する最小化関数は、次のように表されます。この固有値の変分特性は、レイリー・リッツ法につながります。つまり、近似を基底関数（たとえば三角関数）の線形結合として選択し、そのような線形結合の間で有限次元の最小化を実行します。この方法は、驚くほど正確であることがよくあります。 $${\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx,}$$${\displaystyle y}$$${\displaystyle y(x_{1})=0,\quad y(x_{2})=0.}$$${\displaystyle R}$$${\displaystyle R[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)y(x)^{2}\,dx.}$$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle r(x)}$${\displaystyle Q/R}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Q[y]}$${\displaystyle R[y]}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0,}$$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle u_{1}(x).}$${\displaystyle u}$

次に小さい固有値と固有関数は、追加の制約の下で 最小化することで取得できます。 この手順を拡張して、問題の固有値と固有関数の完全なシーケンスを取得できます。 ${\displaystyle Q}$$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)y(x)\,dx=0.}$$

変分問題は、より一般的な境界条件にも適用されます。 が端点で消えることを要求する代わりに、端点に条件を課さずに と を設定することができます 。 ここで、 は任意です。 を設定すると、比の最初の変分は次のようになります 。 ここで、 λ は前述のように比によって与えられます。部分積分後、 が端点で消えることを最初に要求すると、最初の変分は次の場合にのみ、このような すべてについて消えます。 がこの条件を満たす場合、最初の変分は次の場合にのみ、 任意の について消えます。これらの後者の条件は、この問題の自然な境界条件 です。なぜなら、これらは最小化の試行関数に課されるのではなく、最小化の結果だからです。 ${\displaystyle y}$$${\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx+a_{1}y(x_{1})^{2}+a_{2}y(x_{2})^{2},}$$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle y=u+\varepsilon v}$${\displaystyle Q/R}$$${\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),}$$${\displaystyle Q[u]/R[u]}$$${\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle -p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.}$$

高次元における固有値問題は、1 次元の場合と同様に定義されます。たとえば、3 次元の 境界を持つ領域が与えられている場合、次のよう に 定義できます。 境界に条件を指定せずに商を最小化する関数をとします。 が満たすオイラー・ラグランジュ方程式は、次の 式 です 。 最小化は、 境界上の自然境界条件も満たす必要があります 。この結果は、楕円型偏微分方程式の正則性理論に依存します。詳細については、Jost および Li-Jost (1998) を参照してください。完全性の結果、固有値の漸近特性、固有関数のノードに関する結果など、多くの拡張は、Courant および Hilbert (1953) に示されています。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,}$$$${\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ],}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle -\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,}$$$${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}$$${\displaystyle u}$$${\displaystyle p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,}$$${\displaystyle B.}$

フェルマーの原理は、光は（局所的に）その端点間の光学距離を最小にする経路を取ると述べている。経路に沿ったパラメータとして -座標を選択し、経路に沿った とすると、光学距離は次のように表される 。 ここで屈折率は材料に依存する。 の（ εに関する 導関数）の最初の変分は次のようになる。${\displaystyle x}$${\displaystyle y=f(x)}$$${\displaystyle A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,}$$${\displaystyle n(x,y)}$${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}$$

括弧内の第1項の部分を積分すると、オイラー・ラグランジュ方程式が得られる。 $${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.}$$

この方程式を積分することで光線を決定することができます。この形式はラグランジュ光学とハミルトン光学の文脈で使用されます。

光がレンズに入るとき、またはレンズから出るときに屈折率の不連続性が生じます。 と が定数で あるとして、 とします。すると、またはの領域では、前と同じようにオイラー・ラグランジュ方程式が成り立ちます。実際、屈折率が一定であるため、その領域では経路は直線です。 では連続している必要がありますが、不連続になることもあります。 個別の領域で部分積分し、オイラー・ラグランジュ方程式を使用すると、最初の変分は次のようになります。 $${\displaystyle n(x,y)={\begin{cases}n_{(-)}&{\text{if}}\quad x<0,\\n_{(+)}&{\text{if}}\quad x>0,\end{cases}}}$$${\displaystyle n_{(-)}}$${\displaystyle n_{(+)}}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle x>0,}$${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$$${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\right].}$$

乗算する係数は、入射光線と軸の角度の正弦であり、乗算する係数は、屈折光線と軸の角度の正弦です。 屈折に関するスネルの法則では、これらの項が等しくなければなりません。この計算が示すように、スネルの法則は、光路長の最初の変化がゼロになることに相当します。 ${\displaystyle n_{(-)}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n_{(+)}}$${\displaystyle x}$

ベクトル表記法を使うのが便利です。 をパラメータとし、 を曲線のパラメトリック表現とし、 をその接線ベクトルとします。曲線の光学長は次のように表されます。 ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}),}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle {\dot {X}}(t)}$$${\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,dt.}$$

この積分は、最小化曲線のオイラー・ラグランジュ方程式 のパラメトリック表現の変化に対して不変であることに注意する 。 ${\displaystyle C.}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,\nabla n,}$$$${\displaystyle P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}.}$$

これは、次の定義を満たす ことから導かれる。${\displaystyle P}$$${\displaystyle P\cdot P=n(X)^{2}.}$$

したがって、積分は次のようにも書ける。 $${\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.}$$

この形式は、勾配が で与えられる関数を見つけることができれば、積分は積分区間の端点での の差で与えられることを示唆しています。したがって、積分を定常にする曲線を調べる問題は、 の水平面を調べることに関連しています。このような関数を見つけるために、光の伝播を支配する波動方程式を使用します。この形式は、ラグランジアン光学とハミルトン光学のコンテキストで使用されます。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle P,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi .}$

不均質媒体の波動方程式は、 ここで 速度は一般にに依存する。光の波面は、この偏微分方程式の特徴的な面であり、 $${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\nabla \cdot \nabla u,}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle X.}$$${\displaystyle \varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\,\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi .}$$

私たちは次のような形で解決策を探すかもし​​れません $${\displaystyle \varphi (t,X)=t-\psi (X).}$$

その場合、 はを満たす 。一階偏微分方程式の理論によれば、は、次式で与えられる 曲線系（光線）に沿ってを満たす 。${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \nabla \psi \cdot \nabla \psi =n^{2},}$$${\displaystyle n=1/c.}$${\displaystyle P=\nabla \psi ,}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\frac {dP}{ds}}=n\,\nabla n,}$$$${\displaystyle {\frac {dX}{ds}}=P.}$$

これらの一階偏微分方程式の解の式は、次のように同定すればオイラー・ラグランジュ方程式と同一である。 $${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}{n}}.}$$

関数は、上端点の関数として最小化積分の値であると結論付けられます。つまり、最小化曲線の族が構成されると、光学長の値は波動方程式に対応する特性方程式を満たします。したがって、関連する1次の偏微分方程式を解くことは、変分問題の解の族を見つけることと同等です。これは、より一般的な変分問題に適用される ハミルトン-ヤコビ理論の本質的な内容です。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$

古典力学では、作用はラグランジアン の時間積分として定義されます。 ラグランジアンはエネルギーの差で、 は機械システムの運動エネルギー、 はその位置エネルギーです。ハミルトンの原理(または作用原理) は、保守的なホロノミック (積分可能な制約) 機械システムの運動は、 経路の変化に関して作用積分が定常であるというものです。 このシステムのオイラー - ラグランジュ方程式はラグランジュ方程式と呼ばれ 、ニュートンの運動方程式 (このようなシステムの場合) と同等です。 ${\displaystyle S,}$${\displaystyle L.}$$${\displaystyle L=T-U,}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt}$$${\displaystyle x(t).}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},}$$

共役運動量は次のように定義されます。 たとえば、 の場合、 の代わりに共役運動量がラグランジアンから次のように定義される ハミルトニアンにルジャンドル変換して導入されると、ハミルトン力学が成り立ちます 。ハミルトニアンはシステムの全エネルギーです。 フェルマーの原理との類似性から、ラグランジュ方程式の解（粒子の軌跡）は、 の何らかの関数の平面で記述できることが示唆されます。この関数は、ハミルトン・ヤコビ方程式の解です。 ${\displaystyle P}$$${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.}$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},}$$$${\displaystyle p=m{\dot {x}}.}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle H}$$${\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).}$$${\displaystyle H=T+U.}$${\displaystyle X.}$$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.}$$