確率ベクトル

数学と統計学において、確率ベクトルまたは確率ベクトルは、合計が 1 になる非負の要素を持つ ベクトルです。

確率ベクトルの位置（インデックス）は離散確率変数の可能な結果を​​表し、ベクトルはその確率変数の確率質量関数を与えます。これは離散確率分布を特徴付ける標準的な方法です。^[1]

ここに確率ベクトルの例をいくつか示します。ベクトルは列または行のいずれかになります。

• ${\displaystyle x_{0}={\begin{bmatrix}0.5\\0.25\\0.25\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{2}={\begin{bmatrix}0.65&0.35\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{3}={\begin{bmatrix}0.3&0.5&0.07&0.1&0.03\end{bmatrix}}.}$

ベクトルのベクトル成分を次のよう に書き表すと、${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{または}}\quad p={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&\cdots &p_{n}\end{bmatrix}}}$

ベクトル成分の合計は1になる必要があります。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$

それぞれの個々のコンポーネントの確率は 0 から 1 の間である必要があります。

${\displaystyle 0\leq p_{i}\leq 1}$

すべての に対して です。したがって、確率ベクトルの集合は標準-単体と一致します。 の場合は点、 の場合は線分、 の場合は（塗りつぶされた）三角形、 の場合は（塗りつぶされた）四面体などです。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n=4}$

• 任意の確率ベクトルの成分の平均は です。${\displaystyle 1/n}$
• 最短確率ベクトルは、ベクトルの各要素と同じ値を持ち、長さは です。${\displaystyle 1/n}$${\textstyle 1/{\sqrt {n}}}$
• 最長の確率ベクトルは、単一のコンポーネントの値が 1 で、他のすべてのコンポーネントの値が 0 であり、長さが 1 です。
• 最短のベクトルは最大の不確実性に対応し、最長のベクトルは最大の確実性に対応します。
• 確率ベクトルの長さは に等しく、 は確率ベクトルの要素の分散です。${\textstyle {\sqrt {n\sigma ^{2}+1/n}}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

• 確率行列
• ディリクレ分布