量子力学の数学的基礎

『量子力学の数学的基礎』（ドイツ語: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik）は、 1932年にジョン・フォン・ノイマンによって書かれた量子力学の本です。これは、量子力学の数学的定式化の発展における重要な初期の著作です。 ^{[ 1 ]}この本は主に、フォン・ノイマンが以前の論文で発表した結果をまとめたものです。 ^{[ 2 ]}

フォン・ノイマンは、ヒルベルト空間と線形演算子の概念を用いて量子力学を形式化した。 ^{[ 3 ]}彼は、量子力学の数学的形式化に関するポール・ディラックの先行研究を認めていたが、ディラックのデルタ関数の使用には懐疑的だった。彼は、ディラックよりもさらに数学的に厳密であろうとしてこの本を書いた。^{[ 4 ]}これはフォン・ノイマンのドイツ語での最後の著書であり、その後彼は英語での出版を始めた。^{[ 5 ]}

本書はもともと1932年にシュプリンガー社からドイツ語で出版された。^{[ 2 ]} 1946年にアレクサンドル・プロカによってフランス語に翻訳され^{[ 6 ]}、1949年にはスペイン語に翻訳された。 ^{[ 7 ]}ロバート・T・ベイヤーによる英語訳は1955年にプリンストン大学出版局から出版された。ニコライ・ボゴリュボフ編集によるロシア語訳は1964年にナウカ社から出版された。ニコラス・A・ウィーラー編集による新しい英語版は2018年にプリンストン大学出版局から出版された。^{[ 8 ]}

2018年版によると、主な章は次のとおりです。^{[ 8 ]}

1. 導入に関する考察
2. 抽象ヒルベルト空間
3. 量子統計
4. 理論の演繹的展開
5. 一般的な考慮事項
6. 測定プロセス

第6章では、フォン・ノイマンは量子測定の理論を展開している。フォン・ノイマンは、2種類のプロセスを概説することで測定について論じている。^{[ a ] [ 9 ]}

• プロセスI：測定中、システムの量子状態は、測定対象の観測量の固有状態の混合状態へと変化する。このプロセスは非因果的（単一の測定の結果は初期状態のみに依存しない）であり、不可逆的である。
• プロセスII：システムが観測されない場合、状態はシュレーディンガー方程式に従って変化する。このプロセスは因果的かつ可逆的である。

フォン・ノイマンは、2つの相容れないプロセスが存在することは、彼が「精神物理並行性の原理」と呼んだものに違反すると考え、すべての精神プロセスは物理プロセスとして記述できる必要があると主張した。^{[ 9 ]}フォン・ノイマンは、量子力学では、観測対象と観測者との境界をサブシステムのシーケンスに沿って任意に設定するため、この問題は発生しないと主張した。^{[ 9 ]}

このシーケンスは、観測対象を測定する量子システムから始まります。システムが測定装置と相互作用すると、両者は量子もつれ状態になります。その結果、システムは観測対象の明確な固有状態にならず、測定装置も特定の値を表示しません。観測者が加わると、その記述は、観測者の身体（脳を含む）も測定装置とシステムと量子もつれ状態にあることを示唆します。このシーケンスはフォン・ノイマン連鎖として知られています。問題は、この連鎖から固有状態の1つへの崩壊がどのように生じるかを理解することです。^{[ 10 ]}フォン・ノイマンは、最終的な結果に関しては、連鎖は任意の時点で中断でき、結果を説明するために任意の時点で波動関数の崩壊を導入できることを示しました。^{[ 11 ] [ 9 ]}

重要な箇所の一つは、隠れた変数 の概念に対する数学的な反論である。フォン・ノイマンの主張は、エルミート演算子の任意の線形結合が観測量を表し、そのような結合演算子の期待値は演算子自体の期待値の組み合わせに従うという仮定に基づいていた。^{[ 13 ]}

フォン・ノイマンは次のような仮定を置いている。^{[ 14 ]}

1. 観測可能な${\displaystyle R}$関数${\displaystyle f}$その観測量は次のように表される。${\displaystyle f(R)}$。
2. 観測可能なものの合計について${\displaystyle R}$そして${\displaystyle S}$演算によって表される${\displaystyle R+S}$相互交換関係とは無関係に。
3. 観測量とエルミート演算子との対応関係は1対1である。
4. 観測可能な${\displaystyle R}$は非負演算子であり、その期待値は${\displaystyle \langle R\rangle \geq 0}$。
5. 加法性の公準：任意の観測量に対して${\displaystyle R}$そして${\displaystyle S}$実数${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$、 我々は持っています${\displaystyle \langle aR+bS\rangle =a\langle R\rangle +b\langle S\rangle }$考えられるすべての組み合わせについて。

フォン・ノイマンは、次のように書けることを示した。

${\displaystyle \langle R\rangle =\sum _{m,n}\rho _{nm}R_{mn}=\mathrm {Tr} (\rho R)}$

一部の人にとって${\displaystyle \rho }$、 どこ${\displaystyle R_{mn}}$そして$\displaystyle \rho _{nm}}$は、ある基底における行列要素である。証明は、次の点を指摘して締めくくられる。${\displaystyle \rho }$エルミート行列であり、非負定値でなければならない（${\displaystyle \langle \rho \rangle \geq 0}$) 構成により。^{[ 14 ]}フォン・ノイマンにとって、これは、状態の統計演算子表現が公準から推論できることを意味した。したがって、「分散のない」状態は存在しない。^{[ b ]}すべての測定結果が予測可能となるようにシステムを準備することは不可能である。しかし、隠れた変数が存在する場合、隠れた変数の値を知ることで、すべての測定結果が予測可能となり、したがって隠れた変数は存在しないことになる。^{[ 14 ]}フォン・ノイマンは、分散のない状態が見つかった場合、仮定 1 ～ 3 を修正する必要があると主張した。^{[ 15 ]}

フォン・ノイマンは次のように結論づけている。^{[ 16 ]}

量子力学の演算子によって表される物理量に加えて、まだ発見されていない他の物理量が存在するとすれば、量子力学が仮定する関係は、すでに知られている量（上で述べた量）についても破綻してしまうことになる。したがって、よく考えられているように、量子力学の再解釈の問題ではない。統計的な記述とは異なる素過程の記述を可能にするためには、現在の量子力学体系が客観的に誤りである必要がある。

出版当時、量子力学に関する最も完成度の高い書籍と考えられていた。^{[ 2 ] [ 18 ]}公理的アプローチが高く評価された。^{[ 2 ]}ヤコブ・タマルキンによる書評では、フォン・ノイマンの著書は、19世紀の数学解析におけるニールス・ヘンリック・アーベルやオーギュスタン＝ルイ・コーシーの著作に匹敵するものだが、量子力学におけるものだと評されている。^{[ 19 ] [ 20 ]}

フリーマン・ダイソンは、この本から量子力学を学んだと述べている。^{[ 5 ]}ダイソンは、1940年代にはフォン・ノイマンの著作は英語圏ではあまり引用されていなかったと指摘している。これは、この本が英語に翻訳されたのが1955年だったことと、当時、数学と物理学の世界が大きく隔たっていたことが理由である。^{[ 5 ]}

マックス・ジャマーは、ポール・ディラックが『量子力学の原理』 （1930年）を執筆した主な動機は、数学を道具として扱い、物理学の解説書を作成することであったと指摘した。この点において、ジョン・フォン・ノイマンの『量子力学の数学的基礎』は、数学的厳密性を徹底的に重視しており、ディラックの著書を補完するものであった。^{[ 21 ]： 367}

• フォン・ノイマン、J. (1927)。 「Mathematische Begründung der Quantenmechanik [量子力学の数学的基礎]」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学クラス: 1–57 .
• フォン・ノイマン、J. (1927)。 「Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik [量子力学の確率論]」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学クラス: 245–272。
• フォン・ノイマン、J. (1927)。 「Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten [量子力学的量の熱力学]」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse。102 : 273–291 .
• フォン・ノイマン、J. (1929)。 「Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren [エルミート関数演算子の一般固有値理論]」。Mathematische Annalen : 49–131 . doi : 10.1007/BF01782338。
• フォン・ノイマン、J. (1931)。 「Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren [シュレディンガー演算子の独自性]」。数学アンナレン。104 : 570–578 .土井: 10.1007/bf01457956。S2CID 120528257。 

• ディラック＝フォン・ノイマンの公理
• ハイゼンベルクカット
• 量子力学の年表

• ゲッティンゲン大学のウェブサイトには、1932年版ドイツ語版の全文（ファクシミリ版）がオンラインで閲覧できます。