内部製品空間

以下の性質は、内積の定義からほぼ直ちに導かれるものであり、x、y、zは任意のベクトルであり、a、bは任意のスカラーである。

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$^{[注3 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$は実数かつ非負である。^{[注4 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$かつその場合に限り${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$^{[注5 ]}
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }$つまり、共役線形性（2 番目の引数について）です。これは、内積が半双線形形式であることを意味します。
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$どこ${\displaystyle \operatorname {Re} }$は、その引数の実数部を表します。

以上${\displaystyle \mathbb {R} }$共役対称性は対称性に、半双線形性は双線形性にそれぞれ帰着する。したがって、実ベクトル空間上の内積は正定値対称双線形形式である。平方の 二項展開は次のようになる。$${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

内積にはいくつかの表記法が用いられます。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$、 ${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$、 ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$そして ${\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}$通常のドット積に加えて。

特に物理学や行列代数においては、内積やセスキリニア形式を、最初の引数ではなく2番目の引数の線形性で定義することを好む著者もいる。そうすると、2番目の引数ではなく、最初の引数が共役線形になる。量子力学におけるブラケット記法も、わずかに異なる記法を使用している。${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$、 どこ${\displaystyle \langle x|y\rangle$ :=\left(y,x\right)} 。

内積空間の最も単純な例としては、${\displaystyle \mathbb {R} }$そして${\displaystyle \mathbb {C} .}$ 実際の数字${\displaystyle \mathbb {R} }$はベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {R} }$これは、内積として算術乗算を持つ内積空間となる。 $${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}

複素数​${\displaystyle \mathbb {C} }$はベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {C} }$それは内積との内積空間となる $${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .} 実数とは異なり、割り当ては${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$複素内積を定義しない${\displaystyle \mathbb {C} .}$

より一般的に言えば、現実${\displaystyle n}$-空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ドット積は内積空間であり、ユークリッドベクトル空間の一例です。 $${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\operatorname {T} }y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$ どこ${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$は の転置です${\displaystyle x.}$

関数${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } は、 の内積です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$対称正定値行列が存在する場合に限る${\displaystyle \mathbf {M} }$そのため${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$もし${\displaystyle \mathbf {M} }$単位行列の場合${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$はドット積です。別の例として、${\displaystyle n=2}$そして${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$正定値である（これは、${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$（対角要素の一方または両方が正の場合）${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.} 前述のように、すべての内積は${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$この形式である（${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$そして${\displaystyle d>0}$満足する${\displaystyle ad>b^{2}}$)

内積の一般形${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$これはエルミート形式として知られており、次のように表されます。 $${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$ どこ${\displaystyle M}$は任意のエルミート正定値行列であり、${\displaystyle y^{\dagger }}$は の共役転置です${\displaystyle y.}$実際のケースでは、これは2つのベクトルを方向の異なるスケーリングで変換した結果のドット積に相当し、スケーリングの方向は正の値で直交しています。これは、直交変換を除いて、正の重みを持つドット積の加重和バージョンです。

ヒルベルト空間に関する記事には、内積空間の例がいくつか挙げられており、それらの内積によって誘導される距離空間は完全距離空間となる。不完全距離を誘導する内積空間の例としては、空間 がある。${\displaystyle C([a,b])}$連続複素数値関数${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$インターバル中に${\displaystyle [a,b].}$内積は $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$ この空間は完全ではありません。例えば、区間[ −1, 1 ]における連続的な「階段」関数の列を考えてみましょう。${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$定義: $${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

この数列は、先行する内積によって誘導されるノルムのコーシー列であり、連続関数には収束しない。

実数確率変数${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y,}$彼らの製品の 期待値$${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$ これは内積です。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}この場合、${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$かつその場合に限り${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$（つまり、${\displaystyle X=0}$ほぼ確実に）、${\displaystyle \mathbb {P} }$これは事象の確率を表します。期待値を内積として定義するこの方法は、確率ベクトルにも拡張できます。

同じサイズの複素正方行列の内積はフロベニウス内積である。${\displaystyle \langle A,B\rangle$ :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)} 。トレースと転置は線形であり、共役は2番目の行列上にあるため、これは半双線形演算子です。さらに、エルミート対称性は次のように得られます。 $${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$ 最後に、${\displaystyle A}$ゼロ以外、${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$フロベニウス内積も正定値であり、内積も正定値であることがわかります。

内積空間、あるいはより一般的には非退化形式を持つベクトル空間（したがって同型写像）${\displaystyle V\to V^{*}}$) ベクトルは (転置を介して座標で) 共ベクトルに送ることができるため、単にベクトルと共ベクトルの積だけでなく、2 つのベクトルの内積と外積を計算することができます。

すべての内積空間は、その内部積空間と呼ばれる規範を誘導する。正準ノルム、すなわち、 $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$ このノルムを用いると、すべての内積空間はノルム付きベクトル空間となる。

したがって、ノルムベクトル空間の一般的な性質はすべて内積空間にも適用されます。 特に、以下の性質が成り立ちます。

絶対的な均質性

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$ すべての${\displaystyle x\in V}$そして${\displaystyle a\in F}$ これは${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$)

三角不等式

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$ のために${\displaystyle x,y\in V.}$ これら二つの性質は、確かに規範が存在することを示している。

コーシー・シュワルツの不等式

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$ すべての${\displaystyle x,y\in V,}$ 等号は、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$線形従属関係にある。

平行四辺形の法則

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ すべての${\displaystyle x,y\in V.}$ 平行四辺形の法則は、ノルムが内積によって定義されるための必要十分条件である。

分極化のアイデンティティ

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$ すべての${\displaystyle x,y\in V.}$ 内積は偏極恒等式によってノルムから取得できる。なぜならその虚部は実部だからである。${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

プトレマイオスの不等式

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$ すべての${\displaystyle x,y,z\in V.}$プトレマイオスの不等式は、セミノルムが内積によって定義されるノルムとなる ための必要十分条件である。 ^{[ 11 ]}

直交性

2つのベクトル${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$と言われている直交、しばしば表記される${\displaystyle x\perp y,}$内積がゼロの場合、つまり、${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$ これは、以下の場合に限り発生します。${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$すべてのスカラーに対して${\displaystyle s,}$^{[ 12 ]}実数値関数が${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$は非負である。（これは、もし${\displaystyle y\neq 0}$するとスカラー${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$最小限に抑える${\displaystyle f}$値付き${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$これは常に非正の値になります）。複雑な内積空間 の場合${\displaystyle H,}$線形演算子${\displaystyle T:V\to V}$全く同じです${\displaystyle 0}$かつその場合に限り${\displaystyle x\perp Tx}$すべての${\displaystyle x\in V.}$^{[ 12 ]}これは、共役対称性が複素内積の対称性とは異なるため、実内積空間では一般には当てはまりません。実内積空間における反例は次のとおりです。${\displaystyle T}$90°回転${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$すべてのベクトルを直交ベクトルにマッピングしますが、同一ではありません。${\displaystyle 0}$。

直交補空間

部分集合の直交補集合${\displaystyle C\subseteq V}$セットは${\displaystyle C^{\bot }}$Cのすべての要素に直交するベクトル、つまり、 $${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$ このセット${\displaystyle C^{\bot }}$は常に の閉ベクトル部分空間である${\displaystyle V}$そして閉鎖が${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$の${\displaystyle C}$で${\displaystyle V}$ベクトル部分空間である場合${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

ピタゴラスの定理

もし${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$直交している場合、 $${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$ これは、加法性を用いて等式の右辺を展開し、二乗ノルムを内積で表すことで証明できる。ピタゴラスの定理 という名称は、ユークリッド幾何学における幾何学的解釈に由来する。

パーセヴァルの正体

ピタゴラスの定理に関する帰納法によれば、次のように なる。${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ペアごとに直交している場合、 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

角度

いつ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$が実数である場合、コーシー・シュワルツの不等式は、${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$そしてそれゆえ $${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$ は実数です。これにより、線形代数を用いて、現代のユークリッド幾何学の定義における2つのベクトルの（向きのない）角度を定義することができます。これは、2つのデータベクトルを比較するために、「コサイン類似度」という名前でデータ分析にも使用されます。さらに、${\displaystyle \langle x,y\rangle }$負の角度${\displaystyle \angle (x,y)}$90度より大きい値です。この特性は、三角関数を計算せずに方向を分析するために、コンピュータグラフィックス（例えば、背面カリング）でよく使用されます。

仮に${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$は内積です${\displaystyle V}$（したがって、それは2番目の引数に関して反線形である）。偏極恒等式は、内積の 実部が$${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

もし${\displaystyle V}$実ベクトル空間である場合 $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$ そして虚数部（複素数部とも呼ばれる）${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$いつも${\displaystyle 0.}$

このセクションの残りの部分では、${\displaystyle V}$は複素ベクトル空間である。複素ベクトル空間の 偏極恒等式は、$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

定義されるマップ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in V}$内積の公理を満たすが、第2引数ではなく第1引数で反線形である。両方の実部${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$そして${\displaystyle \langle x,y\rangle }$等しい${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$しかし、内積は複素数の部分で異なっている。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

最後の等式は、線形汎関数をその実部で表す式と類似している。

これらの式は、すべての複素内積がその実部によって完全に決定されることを示している。さらに、この実部は、上の内積を定義する。${\displaystyle V,}$実ベクトル空間とみなされる。したがって、複素ベクトル空間上の複素内積と複素内積の間には一対一の対応関係が存在する。${\displaystyle V,}$そして実際の内部製品${\displaystyle V.}$

例えば、${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ある整数に対して${\displaystyle n>0.}$いつ${\displaystyle V}$は通常の方法で実ベクトル空間として考えられ、${\displaystyle 2n-}$次元実ベクトル空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$それぞれ${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$と特定された${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$)、次にドット積${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$この空間における真の内積を定義します。独自の複雑な内積${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$の上${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ドット積によって誘導されるのは、${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$に${\displaystyle \langle c,d\rangle$ :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}} (このマップの実部は${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$（これは内積に等しい）。

もし${\displaystyle V}$はベクトル空間であり、${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$半正定値セスキリニア形式の場合、関数は次のようになります。 $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$ 意味が通じ、規範のすべての特性を満たしているが、${\displaystyle \|x\|=0}$意味しない${\displaystyle x=0}$（このような汎関数は半ノルムと呼ばれます。）商を考慮することで内積空間を生成できます。${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$半双線形${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$要因${\displaystyle W.}$

この構成法は様々な場面で用いられています。ゲルファント・ナイマーク・セガル構成法は、この手法を用いた特に重要な例です。また、任意の集合上の半正定値核の表現もその一例です。

あるいは、ペアリングが非退化形式であることを要求する場合もある。つまり、すべての非ゼロに対して${\displaystyle x\neq 0}$いくつか存在する${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$けれど${\displaystyle y}$等しくなくてもよい${\displaystyle x}$言い換えれば、双対空間への誘導写像${\displaystyle V\to V^{*}}$は単射です。この一般化は微分幾何学において重要です。接空間が内積を持つ多様体はリーマン多様体ですが、これが非退化共役対称形式と関連している場合は、その多様体は擬リーマン多様体です。シルベスターの慣性の法則により、すべての内積がベクトルの集合に対する正の重みを持つドット積に類似しているのと同様に、すべての非退化共役対称形式はベクトルの集合に対する非ゼロの重みを持つドット積に類似しており、正の重みと負の重みの数はそれぞれ正の指数と負の指数と呼ばれます。ミンコフスキー空間のベクトルの積は不定内積の例ですが、厳密に言えば、上記の標準的な定義による内積ではありません。ミンコフスキー空間は4次元で、指数は3と1です（これらへの「+」と「−」の割り当ては慣例によって異なります）。

純粋に代数的な命題（正値性を用いないもの）は通常、非退化性（単射準同型）のみに依存する。${\displaystyle V\to V^{*}}$）したがって、より一般的に成り立つ。