連続幾何学

数学において、連続幾何学はフォン・ノイマン（1936年、1998年）によって導入された複素射影幾何学の類似物であり、部分空間の次元が離散的な集合にあるのではなく、 ${\displaystyle 0,1,\dots ,{\textit {n}}}$単位区間の要素になり得る${\displaystyle [0,1]}$フォン・ノイマンは、次元関数が連続的な次元範囲を取るフォン・ノイマン代数の発見に触発され、射影空間以外の連続幾何学の最初の例は、超有限型II因子の射影であった。

メンガーとバーコフは、射影空間の線形部分空間の格子を用いて、射影幾何学の公理を与えた。フォン・ノイマンの連続幾何学の公理は、これらの公理を弱めた形である。

連続幾何学とは、以下の性質を持つ格子Lのことである。

• Lはモジュール型である。
• Lは完了した。
• 格子演算∧、∨はある連続性特性を満たす。

  ${\displaystyle {\Big (}\bigwedge _{\alpha \in A}a_{\alpha }{\Big )}\lor b=\bigwedge _{\alpha }(a_{\alpha }\lor b)}$ここで、Aは有向集合であり、α < βならばa _α < a _βであり、∧ と ∨ を逆にした同じ条件です。

• Lのすべての要素には補集合が存在します (必ずしも一意ではありません)。要素aの補集合は、 a ∧ b = 0、a ∨ b = 1を満たす要素bです。ここで、0 と 1 はLの最小要素と最大要素です。
• Lは既約である。つまり、一意の補数を持つ要素は0と1のみである。

• 有限次元複素射影空間、あるいはその線形部分空間の集合は、次元が離散集合の値をとる連続幾何学である。${\displaystyle \{0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1\}}$
• 有限型IIフォン・ノイマン環の射影は、単位区間の値をとる次元を持つ連続幾何学を形成する。${\displaystyle [0,1]}$。
• カプランスキー（1955）は、直交補元を持つ完全モジュラー格子は連続幾何学であることを示した。
• V が体(または可除環) F上のベクトル空間である場合、 Vの部分空間の束 PG( V )から部分空間の束への自然な写像が存在する。${\displaystyle V\otimes F^{2}}$これは次元を2倍にする。したがって、直接極限を取ることができる。

${\displaystyle PG(F)\subset PG(F^{2})\subset PG(F^{4})\subset PG(F^{8})\cdots }$

これは、0から1までのすべての二進有理数の値をとる次元関数を持つ。その完成形は、すべての次元の要素を含む連続的な幾何学である。${\displaystyle [0,1]}$この幾何学はフォン・ノイマン（1936b）によって構築され、F上の連続幾何学と呼ばれている。

この節では、フォン・ノイマン（1998年、第1部）の研究成果の一部を要約する。これらの成果は、フォン・ノイマン環における射影に関するフォン・ノイマンの研究と類似しており、またその研究に触発されたものである。

Lの2 つの要素aとbが共通の補集合を持つ場合、それらは「透視関係」と呼ばれ、a ∼ bと表記される。これはL上の同値関係であり、推移的であることを証明するのは非常に難しい。

Lの同値類A、B、…には、 A ≤ Bとなるような、 Aに含まれるaとBに含まれるbが存在し、 a ≤ bとなる場合、A ≤ Bと定義される全順序が存在する。（これは、 Aに含まれるすべてのaとBに含まれるすべてのbに対して成り立つ必要はない。）

Lから単位区間への次元関数Dは、次のように定義されます。

• 同値類AとBに、 a ∧ b = 0となる要素aとbが含まれる場合、それらの和A + Bはa ∨ bの同値類として定義されます。そうでない場合、和A + Bは定義されません。正の整数nに対して、積nAは、 Aのn 個のコピーの和として定義されます（ただし、この和が定義されている場合に限ります）。
• 同値類AとBに対して、 Aが{0} でない場合、整数[ B  : A ]は、 B = nA + CかつC < Bとなるような一意の整数n ≥ 0として定義されます。
• Aが {0} でない同値類AとBに対して、実数( B : A )は、 C が最小数列を通過するときの[ B : C ] / [ A : C ]の極限として定義されます。これは、 C が最小の非ゼロ要素を含むか、またはそれぞれが前の要素の半分以下である非ゼロ要素の無限数列を含むことを意味します。   
• D ( a ) は({ a }  : {1})と定義され、{ a } と {1} はaと 1 を含む同値類です。

Dの像は、単位区間全体、または数値の集合である。${\displaystyle 0,1/{\textit {n}}\,,2/{\textit {n}}\,,\dots ,1}$ある正の整数nに対して、 Lの 2 つの要素がDの下で同じ像を持つのは、それらが透視的である場合に限る。したがって、同値類から単位区間の部分集合への単射を与える。次元関数Dは次の性質を持つ。

• a < bならばD ( a ) < D ( b )
• D ( a ∨ b ) + D ( a ∧ b ) = D ( a ) + D ( b )
• D ( a ) = 0 はa = 0の場合に限り成り立ち、 D ( a ) = 1はa = 1 の場合に限り成り立つ。
• 0 ≤ D ( a ) ≤ 1

射影幾何学において、ヴェブレン・ヤングの定理は、次元が3以上の射影幾何学は、可除環上のベクトル空間の射影幾何学と同型であることを述べている。これは、射影幾何学における部分空間が、可除環上の行列環の主右イデアルに対応すると言い換えることができる。

フォン・ノイマンはこれを連続幾何学、さらに一般的には補元モジュラー格子に次のように一般化した（フォン・ノイマン 1998 、パート II）。彼の定理は、補元モジュラー格子Lの位数が 4 以上であれば、 Lの要素はフォン・ノイマン正則環の主右イデアルに対応すると述べている。より正確には、格子の位数がnであれば、フォン・ノイマン正則環は、別のフォン・ノイマン正則環R上のn × n 行列環M _n ( R )とすることができる。ここで、補元モジュラー格子の位数が n であるとは、n 個の要素からなる同次基底を持つ場合である。基底とは、i ≠ jの場合 a i ∧ a j = 0 であり、a 1 ∨ ... ∨ a n = 1 である n 個の要素からなる_。また_、任意の2つの要素が透視_的である場合、_基底は同_次であるとも呼ばれる。格子の位数は一意である必要はありません。例えば、どの格子も位数は1です。格子の位数が少なくとも4であるという条件は、ヴェブレン・ヤングの定理における次元が少なくとも3であるという条件に対応します。射影空間の次元が少なくとも3であるのは、少なくとも4つの独立点の集合を持つ場合のみです。

逆に、フォン・ノイマン正則環の主右イデアルは補元モジュラー束を形成する（フォン・ノイマン 1998 、第II部定理2.4）。

Rをフォン・ノイマン正則環とし、L をその主右イデアルの束とすると、Lは補元モジュラー束となる。ノイマンは、 Lが連続幾何学であるのは、 R が既約完全ランク環である場合かつその場合に限ることを示した。

• バーコフ、ギャレット(1979) [1940]、『格子理論』、アメリカ数学会コロキウム出版物、第 25巻（第3 版）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1025-5MR 0598630​ 
• フォファノヴァ、TS（2001）[1994]、「直交モジュラー格子」、数学百科事典、EMS Press
• Halperin, Israel (1960)、「フォン・ノイマン環と連続幾何学入門」、Canadian Mathematical Bulletin、3 (3): 273–288、doi : 10.4153/CMB-1960-034-5、ISSN 0008-4395、MR 0123923  
• Halperin, Israel (1985)、「書評：ジョン・フォン・ノイマンの連続幾何学に関する書籍の概観」、Order、1 (3): 301–305、doi : 10.1007/BF00383607、ISSN 0167-8094、MR 1554221、S2CID 122594481   
• カプランスキー、アーヴィング（1955）「任意の直交補元を持つ完全モジュラー格子は連続幾何学である」、『数学年報』第2シリーズ、61（3）：524–541、doi：10.2307/1969811、ISSN 0003-486X、JSTOR 1969811、MR 0088476   
• フォン・ノイマン、ジョン（1936）「連続幾何学」、米国科学アカデミー紀要、22（2）：92–100、Bibcode：1936PNAS...22...92N、doi：10.1073/pnas.22.2.92、ISSN 0027-8424、JSTOR 86390、PMC 1076712、PMID 16588062、Zbl 0014.22307     
• フォン・ノイマン、ジョン（1936b）、「連続幾何学の例」、米国科学アカデミー紀要、22（2）：101–108、Bibcode：1936PNAS...22..101N、doi：10.1073/pnas.22.2.101、JFM 62.0648.03、JSTOR 86391、PMC 1076713、PMID 16588050    
• フォン・ノイマン、ジョン（1998）[1960]、『連続幾何学』、プリンストン数学ランドマークシリーズ、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-05893-1MR 0120174​ 
• フォン・ノイマン、ジョン（1962）、タウブ、AH（編）、『著作集』第4巻：連続幾何学およびその他のトピック、オックスフォード：パーガモン・プレス、MR 0157874 
• フォン・ノイマン、ジョン（1981）[1937]、「遷移確率を持つ連続幾何学」、ハルペリン、イスラエル（編）、アメリカ数学会紀要、第 34巻、ISBN 978-0-8218-2252-4ISSN 0065-9266、MR 0634656​  
• スコルニャコフ、LA（1964）、『補完モジュラー格子と正則環』、ロンドン：オリバー＆ボイド、MR 0166126