転置

線型代数学において、行列の転置は、行列をその対角成分上で反転させる演算子である。つまり、行列Aの行と列のインデックスを入れ替えて別の行列を生成する。この行列は、しばしばA ^T（他の表記法の中でも）で表される。^[1]

行列の転置は1858年にイギリスの数学者アーサー・ケイリーによって導入されました。^[2]二項関係Rを表す論理行列の場合、転置は逆関係R ^Tに対応します。

行列Aの転置行列はA ^T、^{[3] ⊤} A、A ^⊤、、^{[4] [5]} A′、^[6] A ^tr、^t AまたはA ^tで表され、次のいずれかの方法で構築できます。 ${\displaystyle A^{\intercal}}$

1. Aをその主対角線（左上から右下へ走る）に沿って反射すると、 A ^{Tが得られる。}
2. Aの行をA ^Tの列として書きます。
3. Aの列をAの行として書きます^。

正式には、A ^Tのi行目、j列目の要素は、Aのj行目、i列目の要素です。

${\displaystyle \left[\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.}$

Aがm × n行列の場合、A ^Tはn × m行列です。

正方行列の場合、A ^{T は}行列AのT乗を表すこともあります。混乱を避けるために、多くの著者は左上付き文字、つまり転置を^T Aと表します。この表記の利点は、指数が含まれる場合に括弧が不要であることです。 ( ^T A ) ⁿ = ^T ( A ⁿ )なので、表記^T A ⁿは曖昧ではありません。

この記事では、変数名として記号T を使用しないことでこの混乱を回避します。

転置行列がそれ自身と等しい正方行列は対称行列と呼ばれる。つまり、Aが対称であるのは 、

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .}$

転置行列がその負の値に等しい正方行列は、歪対称行列と呼ばれます。つまり、Aが歪対称行列であるのは、

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-\mathbf {A} .}$

複素正方行列の転置が、各要素をその複素共役（ここでは上線で示す）に置き換えた行列に等しい場合、これをエルミート行列（行列がその共役転置に等しいことと同等）と呼ぶ。つまり、Aがエルミート行列であるのは、

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} }}.}$

複素共役行列の転置が負に等しい正方複素行列は、歪エルミート行列と呼ばれる。つまり、Aが歪エルミート行列であるのは、

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-{\overline {\mathbf {A} }}.}$

転置行列がその逆行列に等しい正方行列は直交行列と呼ばれる。つまり、Aが直交行列であるとは、

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{-1}.}$

転置行列がその共役逆行列に等しい正方複素行列はユニタリ行列と呼ばれる。つまり、Aがユニタリ行列であるのは、

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

AとB を行列、c をスカラーとします。

• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .}$

  転置演算は反転（自己逆変換）です。

• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }+\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }.}$

  転置は加算を尊重します。

• ${\displaystyle \left(c\mathbf {A} \right)^{\operatorname {T} }=c\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.}$

  スカラーの転置は同じスカラーです。前の性質と合わせて、これは転置がm × n行列の空間からn × m行列の空間への線形写像であることを意味します。

• ${\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.}$

  因子の順序は逆になります。帰納的に、この結果は多重行列の一般的なケースにも適用されます。

  ( A ₁ A ₂ ... A _{k −1} A _k ) ^T  =  A _k ^T A _{k −1} ^T … A ₂ ^T A ₁ ^T .

• ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)=\det(\mathbf {A} ).}$

  正方行列の行列式は、その転置行列の行列式と同じです。

• 2つの列ベクトルaとbのドット積は、行列積の単一の要素として計算できる。$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\operatorname {T} }\mathbf {b} .}$$
• A が実数要素のみを持つ場合、A ^T A は半正定値行列です。
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\operatorname {T} }.}$

  可逆行列の転置も可逆であり、その逆行列は元の行列の逆行列の転置です。
  表記法A ^−Tは、これらの同等の式のいずれかを表すために使用されることがあります。

• Aが正方行列の場合、その固有値はその転置行列の固有値と等しくなります。これは、それらが同じ特性多項式を共有するためです。
• 任意の体上で、正方行列は に類似しています。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$

  これは、 と が同じ不変因子を持つことを意味し、他の特性の中でも、同じ最小多項式、特性多項式、固有値を共有することを意味します。${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$

  この特性の証明には、次の 2 つの観察が使用されます。

  • および を何らかの基底体上の行列とし、を の体拡大とします。およびが上の行列として相似であれば、 上でも相似です。特に、が の代数閉包である場合に、このことが当てはまります。${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle L}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L}$${\displaystyle k}$
  • が、ある基底に関するジョルダン標準形の代数的に閉じた体上の行列である場合、 はに類似しています。これはさらに、 が単一のジョルダンブロックである場合に同じ事実を証明することに帰着し、これは簡単な演習です。${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Aがm × n行列でA ^{T が}その転置行列である場合、これら 2 つの行列の行列乗算の結果は、 2 つの正方行列になります。AA ^Tはm × mで、A ^T Aはn × nです。さらに、これらの積は対称行列です。実際、行列積AA T^には、 Aの行とA ^Tの列の内積であるエントリがあります。しかし、 A ^Tの列はAの行であるため、エントリはAの 2 つの行の内積に対応します。p _{i j が}積のエントリである場合、それはAの行iとjから取得されます。エントリp _{j i}もこれらの行から取得されるため、p _{i j} = p _{j i}となり、積行列 ( p _{i j} ) は対称です。同様に、積A ^T Aは対称行列です。

AA ^Tの対称性は、それが自身の転置であるという事実から簡単に証明されます。

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.}$^[7]

コンピュータでは、同じデータに異なる順序でアクセスするだけで、メモリ内で行列を明示的に転置する必要がなくなることがよくあります。たとえば、 BLASなどの線形代数のソフトウェア ライブラリでは、通常、データの移動の必要性を回避するために、特定の行列を転置順序で解釈するように指定するオプションが提供されています。

ただし、メモリ内の行列を転置順に物理的に並べ替えることが必要または望ましい状況がいくつか残っています。たとえば、行優先順序で格納された行列では、行列の行はメモリ内で連続していますが、列は不連続です。高速フーリエ変換アルゴリズムなどで、列に対して繰り返し操作を実行する必要がある場合は、メモリ内で行列を転置する (列を連続させる) と、メモリの局所性が向上してパフォーマンスが向上する可能性があります。

理想的には、最小限の追加ストレージで行列の転置が望まれるかもしれません。これは、O(1)の追加ストレージ、または最大でもmnよりはるかに少ないストレージで、 n  ×  m行列をインプレースで転置するという問題につながります。 n  ≠  mの場合、これにはデータ要素の複雑な順列化が含まれ、インプレースで実装するのは簡単ではありません。そのため、効率的なインプレース行列転置は、1950 年代後半からコンピューター サイエンスの分野で多数の研究発表の対象となっており、いくつかのアルゴリズムが開発されてきました。

行列の主な用途は有限次元ベクトル空間間の線型写像を表すことなので、転置は線型写像に対する何らかの演算の表現として見ることができる行列に対する演算です。

これにより、線形写像を行列で表現できない場合でも (無限次元ベクトル空間の場合など)、すべての線形写像に機能する転置のより一般的な定義が導き出されます。有限次元の場合、線形写像の転置を表す行列は、基底の選択とは無関係に、線形写像を表す行列の転置です。

R加群Xの代数的双対空間をX ^#で表す。XとYをR加群とする。u : X → Y が線型写像である場合、その代数 的随伴写像または双対写像[ 8 ]はf ↦ ^f ∘ uによって定義される写像u ^#  : Y ^# → X ^#である。結果として得られる関数u ^# ( f )は、 uによるfの引き戻しと呼ばれる。次の関係はuの代数的随伴写像を特徴付ける^[9]

⟨ u ^# ( f ), x ⟩ = ⟨ f , u ( x )⟩ （すべてのf ∈ Y ^#およびx ∈ Xに対して

ここで⟨•, •⟩は自然なペアリング（つまり⟨h , z⟩ :  = h ( z )で定義される）である。この定義は左加群やベクトル空間にもそのまま適用される。[ ^10]

転置の定義は、随伴（下記）とは異なり、モジュール上の任意の双線型形式から独立していると考えられます。

位相ベクトル空間（TVS）Xの連続双対空間はX 'で表記される。XとYがTVSならば、線型写像u  : X → Yが弱連続となるのはu ^# ( Y ' )⊆X 'のときのみであり、その場合t ^u :  Y ' → X 'でu ^#からY 'への制限を表す。写像^t uはuの転置^[11]と呼ばれる。

行列A がVとWの基底に関する線型写像を記述する場合、行列A ^{T は}双対基底に関するその線型写像の転置を記述します。

双対空間u  : X → X ^#へのすべての線型写像は、関係B ( x , y ) = u ( x )( y )を持つ双線型形式B  : X × X → Fを定義します。この双線型形式の転置を、転置^t u  : X ^## → X ^{#によって定義される双線型形式t} B 、つまり^t B ( y , x ) = ^t u (Ψ( y ))( x )として定義すると、 B ( x , y ) = ^t B ( y , x )であることがわかります。ここで、Ψ は、二重双対への自然準同型X → X ^##です。

ベクトル空間XとY がそれぞれ非退化 双線型形式 B _XとB _Yを持つ場合、転置と密接に関連する 随伴と呼ばれる概念を定義できます。

u  : X → Y がベクトル空間XとY の間の線型写像である場合、 g  : Y → X が次を満たす とき、g をuの随伴写像と定義する。

${\displaystyle B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}}$すべてのx ∈ Xおよびy ∈ Yに対して。

これらの双線型形式は、XとX ^#の間、およびYとY ^#の間に同型性を定義し、その結果、 uの転置と随伴行列の間に同型性が生まれます。マップの随伴行列は、基底が双線型形式に関して正規直交である場合にのみ、転置行列になります。ただし、この文脈では、多くの著者は、ここで定義されている随伴行列を指すために転置という用語を使用します。

随伴関数により、g  : Y → Xがu ⁻¹  : Y → Xに等しいかどうかを検討できます。特に、これにより、二次形式を持つベクトル空間X上の直交群を、行列（およびその成分）を参照せずに、随伴関数が逆写像に等しいすべての線型写像X → Xの集合として定義できます。

複素ベクトル空間では、双線型形式の代わりにセスクイリニア形式（1 つの引数で共役線型）が使用されることが多い。このような空間間の写像のエルミート随伴も同様に定義され、エルミート随伴の行列は、基底が正規直交である場合は共役転置行列によって与えられる。

• 補因子行列の転置である補因子行列
• 共役転置
• ムーア・ペンローズ擬似逆行列
• 射影（線形代数）

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1970]。代数 I 第 1 ～ 3 章 [代数: 第 1 章から第 3 章] (PDF)。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC  18588156.

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• ギルバート・ストラング (2010 年春) MIT オープン コースウェアの線形代数