内部モデル

数理論理学の一分野である集合論において、理論Tの内部モデル^[1]は、集合論のモデルMのサブ構造であり、 Tのモデルであると同時にMのすべての順序数も含んでいます。

L  = ⟨∈⟩ を集合論の言語とする。Sを特定の集合論、例えばZFC公理とし、T (おそらくSと同じ) もLの理論とする。

MがSのモデルであり、NがL構造である場合、

1. NはMの部分構造である^、つまりN_における∈の解釈∈Nは_∈M∩N2 で ある。
2. NはTのモデルである
3. NのドメインはMの推移クラスである
4. NはMのすべての序数を含む

このとき、 N はTの内部モデル（ M内）であると言えます。 ^[2]通常、T はSに等しい（または包含する）ので、NはSのモデルMの「内部」にあるSのモデルとなります。

条件 1 と 2 のみが成立する場合、N はTの標準モデル( M内)、Tの標準サブモデル( S  =  TかつNがM内のセットである場合)と呼ばれます。 M内のTのモデルN は、標準であり条件 3 が成立する場合に推移的と呼ばれます 。基礎公理が仮定されない場合 (つまり、S内にない場合)、これら 3 つの概念すべてに、 N が整基礎であるという追加条件が与えられます。したがって、内部モデルは推移的、推移モデルは標準、標準モデルは整基礎です。

ZFCの標準サブモデル (与えられた宇宙に) が存在するという仮定は、モデルが存在するという仮定よりも強い。実際、標準サブモデルが存在する場合、すべての標準サブモデルに含まれる最小モデルと呼ばれる最小の標準サブモデルが存在する。最小サブモデルには標準サブモデルは含まれない (最小であるため) が、( ZFC の一貫性を前提とすると)ゲーデル完全性定理による ZFC のモデルが含まれる。このモデルは必ずしも well-founded ではない。そうでなければ、そのモストフスキー崩壊は標準サブモデルになる。(宇宙の関係としては well-founded ではないが、基礎付けの公理を満たすため「内部的には」 well-founded である。well-founded であることは絶対的な特性ではない。^[3] ) 特に、最小サブモデルには ZFC のモデルは存在するが、ZFC の標準サブモデルは存在しない。

通常、理論の内部モデルについて話す場合、議論されている理論はZFCまたは ZFC の拡張 (ZFC + 「測定可能な基数が存在する」など) です。理論について言及されていない場合、通常、議論中のモデルは ZFC の内部モデルであると想定されます。ただし、ZFC のサブ理論( ZFやKPなど) の内部モデルについて話すことも 珍しくありません。

クルト・ゲーデルは、 ZF の任意のモデルには ZF の最小内部モデルである構成可能宇宙があり、それが ZFC + GCHの内部モデルでもあること を証明しました。

集合論には、ZF を拡張した理論の最小内部モデルを構築する方法を研究する内部モデル理論と呼ばれる分野があります。内部モデル理論は、多くの重要な集合論的特性の正確な一貫性の強さの発見につながりました。

• 可算推移モデルと汎用フィルタ