位相ベクトル空間に関連する線型演算子
数学において、 核演算子は アレクサンダー・グロタンディーク が博士論文で 導入した重要な線形演算子のクラスです。核演算子は、2 つの 位相ベクトル空間 (TVS)の 射影テンソル積 と密接に結びついています。
準備と表記 全体を通して、 X 、 Y 、 Z を 位相ベクトル空間 (TVS) とし、 L : X → Y を 線型演算子とします (特に明記しない限り連続性は仮定されません)。
2つの局所凸 TVS X と Y の 射影テンソル積 は で表され 、この空間の完備化は で表されます 。
X
⊗
π
Y
{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
X
⊗
^
π
Y
{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}
L : X → Y が 位相準同型写像 または 準同型写像 である とは、それが線型かつ連続であり、 開写像 である場合です。 ここで、 L の像 は、 Y によって誘導される部分空間位相を持ちます 。
L
:
X
→
Im
L
{\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}
Im
L
{\displaystyle \operatorname {Im} L}
S が X の部分空間である 場合 、商写像 X → X / S と標準射影 S → X は 両方とも準同型である。 連続線型写像X → Z (連続双線型写像) の集合は 、L( X , Z ) (resp. B( X , Y ; Z )) と表記されます。ここで、 Z が 基になるスカラー体である場合は、代わりに L( X ) (resp. B( X , Y )) と表記することもできます。
X
×
Y
→
Z
{\displaystyle X\times Y\to Z}
任意の線型写像は 次のように正準分解できます。 ここで、 は L に関連付けられた 正準全単射 と呼ばれる全単射を定義します 。
L
:
X
→
Y
{\displaystyle L:X\to Y}
X
→
X
/
ker
L
→
L
0
Im
L
→
Y
{\displaystyle X\to X/\ker L\;\xrightarrow {L_{0}} \;\operatorname {Im} L\to Y}
L
0
(
x
+
ker
L
)
:=
L
(
x
)
{\displaystyle L_{0}\left(x+\ker L\right):=L(x)}
X * またはは、 X の連続双対空間を表します 。
X
′
{\displaystyle X'}
説明の明瞭性を高めるために、 の要素を 記号の後にプライムを付けて表記するという一般的な規則を使用します (例: は の要素を表し 、導関数ではなく、変数 x と は 何らかの関連がある必要はありません)。
X
′
{\displaystyle X'}
x
′
{\displaystyle x'}
X
′
{\displaystyle X'}
x
′
{\displaystyle x'}
X
#
{\displaystyle X^{\#}}
は、 X の 代数的双対空間 （連続かどうかに関係なく、 X 上のすべての線型関数のベクトル空間） を表します。 ヒルベルト空間からそれ自身への 線型写像 L : H → H は、任意の に対して が成り立つとき、 正写像 と呼ばれる。この場合、 となる唯一の正写像 r : H → H が存在し、これは L の 平方根 と呼ばれる 。
⟨
L
(
x
)
,
x
⟩
≥
0
{\displaystyle \langle L(x),x\rangle \geq 0}
x
∈
H
{\displaystyle x\in H}
L
=
r
∘
r
{\displaystyle L=r\circ r}
がヒルベルト空間間の連続線型写像である 場合、 は 常に正です。ここで、 R : H → H が その正の平方根を表すものとし、これを L の 絶対値 と呼びます。 まず、を に設定して まで 連続的に 拡張することにより を に定義し 、次に を に設定して を に定義し 、 この 写像 を のすべてに線型に拡張します 。この写像は および の射影等長写像です 。
L
:
H
1
→
H
2
{\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}}
L
∗
∘
L
{\displaystyle L^{*}\circ L}
U
:
H
1
→
H
2
{\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}
Im
R
{\displaystyle \operatorname {Im} R}
U
(
x
)
=
L
(
x
)
{\displaystyle U(x)=L(x)}
x
=
R
(
x
1
)
∈
Im
R
{\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}
U
{\displaystyle U}
Im
R
¯
{\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}}}
ker
R
{\displaystyle \ker R}
U
(
x
)
=
0
{\displaystyle U(x)=0}
x
∈
ker
R
{\displaystyle x\in \ker R}
H
1
{\displaystyle H_{1}}
U
|
Im
R
:
Im
R
→
Im
L
{\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}
L
=
U
∘
R
{\displaystyle L=U\circ R}
線型写像が コンパクト または 完全連続 であるとは、 X の原点の 近傍 Uが存在し、 Y において プレコンパクト である ときである 。
Λ
:
X
→
Y
{\displaystyle \Lambda :X\to Y}
Λ
(
U
)
{\displaystyle \Lambda (U)}
ヒルベルト空間において、正のコンパクト線型作用素、例えば L : H → H は、20世紀初頭にフレドホルムとF.リースによって発見された単純なスペクトル分解を持つ:
減少し有限か0に収束する正の数列と、 H (i = 1, 2, ) の 非ゼロ有限次元部分空間の列があり 、次の性質を持つ: (1) 部分空間 は対直交する。 (2) すべての i とすべてのに対して、 である 。 (3) によって張られる部分空間の直交は L の核に等しい 。
r
1
>
r
2
>
⋯
>
r
k
>
⋯
{\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots }
V
i
{\displaystyle V_{i}}
…
{\displaystyle \ldots }
V
i
{\displaystyle V_{i}}
x
∈
V
i
{\displaystyle x\in V_{i}}
L
(
x
)
=
r
i
x
{\displaystyle L(x)=r_{i}x}
⋃
i
V
i
{\textstyle \bigcup _{i}V_{i}}
トポロジの表記 σ ( X , X ′)は、 X ′ 内のすべての写像が 連続となるようなX 上の 最も粗い位相 を表し または この位相が備わった X を表します 。
X
σ
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle X_{\sigma \left(X,X'\right)}}
X
σ
{\displaystyle X_{\sigma }}
σ ( X ′, X )は X*上の 弱*位相 を表し または この位相が与えられた X ′を表します 。
X
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle X_{\sigma \left(X',X\right)}}
X
σ
′
{\displaystyle X'_{\sigma }}
あらゆる 写像は によって定義されることに注意してください 。σ (X′, X) は X′ 上の最も粗い位相であり、このような写像はすべて連続になります 。
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
X
′
→
R
{\displaystyle X'\to \mathbb {R} }
λ
↦
λ
(
x
0
)
{\displaystyle \lambda \mapsto \lambda (x_{0})}
b(X, X′)は X 上の有界収束の位相 を表し 、 または この位相が与えられた X を表します 。
X
b
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle X_{b\left(X,X'\right)}}
X
b
{\displaystyle X_{b}}
b(X′, X)は X′上の有界収束の位相 または X′上の強い双対位相 を表し 、 または この位相が与えられた X ′を表します 。
X
b
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle X_{b\left(X',X\right)}}
X
b
′
{\displaystyle X'_{b}}
通常、 X * が位相ベクトル空間として考えられているが、それがどのような位相を備えているかが明らかにされていない場合、その位相は b( X ′, X ) であると仮定されます。
Biの双対の部分空間としての標準テンソル積( バツ 、 はい ） X と Y を ベクトル空間（まだ位相は不要）と し、 Bi( X , Y ) を基礎となるスカラー場上で定義され 、そのスカラー場に入る
すべての 双線形写像 の空間とします。
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
任意の に対して 、を 任意の u ∈ Bi( X , Y ) に対してによって定義されるBi( X , Y ) 上の標準線型形式とします。これにより、 によって定義される標準写像が誘導されます。ここで、 は Bi( X , Y ) の 代数 的 双対 を 表し ます 。 𝜒 の 値域を X ⊗ Y で表すと、 X ⊗ Y は 𝜒 とともに X と Y の テンソル積 を形成する ことが示されます (ただし x ⊗ y := 𝜒 ( x , y ))。これにより、 X と Y の標準テンソル積が得られます 。
(
x
,
y
)
∈
X
×
Y
{\displaystyle (x,y)\in X\times Y}
χ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \chi _{(x,y)}}
χ
(
x
,
y
)
(
u
)
:=
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle \chi _{(x,y)}(u):=u(x,y)}
χ
:
X
×
Y
→
B
i
(
X
,
Y
)
#
{\displaystyle \chi :X\times Y\to \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}
χ
(
x
,
y
)
:=
χ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \chi (x,y):=\chi _{(x,y)}}
B
i
(
X
,
Y
)
#
{\displaystyle \mathrm {Bi} (X,Y)^{\#}}
Z が他のベクトル空間である場合、 u ↦ u ∘ 𝜒 によって与えられる 写像 Li( X ⊗ Y ; Z ) → Bi( X , Y ; Z ) はベクトル空間の同型である。特に、これによって X ⊗ Y の 代数的双対を X × Y 上の双線型形式の空間と 同一視することができる 。
さらに、 X と Y が 局所凸位相 ベクトル空間 (TVS) であり、 X ⊗ Y に π 位相が与えられている場合 、すべての局所凸 TVS Zに対して、この写像は 連続 線型写像の空間から 連続 双線型写像の空間への ベクトル空間同型に制限される 。
特に、 X ⊗ Yの連続双対は、 X × Y 上の連続双線型形式の 空間 B( X , Y ) と標準的に同一視することができる。さらに、この同一視によれば、 B( X , Y )の 等連続 部分集合はの等連続部分集合と同じである 。
L
(
X
⊗
π
Y
;
Z
)
→
B
(
X
,
Y
;
Z
)
{\displaystyle L(X\otimes _{\pi }Y;Z)\to B(X,Y;Z)}
(
X
⊗
π
Y
)
′
{\displaystyle (X\otimes _{\pi }Y)'}
バナッハ空間間の核作用素 マップに
送ることで定義される 標準的なベクトル空間埋め込みがある
I
:
X
′
⊗
Y
→
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle I:X'\otimes Y\to L(X;Y)}
z
:=
∑
i
n
x
i
′
⊗
y
i
{\textstyle z:=\sum _{i}^{n}x_{i}'\otimes y_{i}}
x
↦
∑
i
n
x
i
′
(
x
)
y
i
.
{\displaystyle x\mapsto \sum _{i}^{n}x_{i}'(x)y_{i}.}
X と Y が バナッハ空間であると仮定すると 、写像 は ノルムを持ちます (ノルムが であることを確認するには 、 となることに注意してください )。したがって、写像 への連続拡張を持ちますが 、この写像は必ずしも単射ではないことが知られています。 この写像の値域は で表され 、その要素は 核演算子 と呼ばれます。 は とTVS 同型であり 、この商空間上のノルムは、 誘導写像 を介しての要素に転送される場合、 トレースノルム と呼ばれ 、 で表されます 。明示的に、 [ 明示的にまたは特に 説明が必要 ? ] が核演算子である 場合、 です 。
I
:
X
b
′
⊗
π
Y
→
L
b
(
X
;
Y
)
{\displaystyle I:X'_{b}\otimes _{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)}
1
{\displaystyle 1}
≤
1
{\displaystyle \leq 1}
‖
I
(
z
)
‖
=
sup
‖
x
‖
≤
1
‖
I
(
z
)
(
x
)
‖
=
sup
‖
x
‖
≤
1
‖
∑
i
=
1
n
x
i
′
(
x
)
y
i
‖
≤
sup
‖
x
‖
≤
1
∑
i
=
1
n
‖
x
i
′
‖
‖
x
‖
‖
y
i
‖
≤
∑
i
=
1
n
‖
x
i
′
‖
‖
y
i
‖
{\textstyle \|I(z)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|I(z)(x)\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}'(x)y_{i}\right\|\leq \sup _{\|x\|\leq 1}\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\|x\|\left\|y_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}'\right\|\left\|y_{i}\right\|}
‖
I
(
z
)
‖
≤
‖
z
‖
π
{\displaystyle \left\|I(z)\right\|\leq \left\|z\right\|_{\pi }}
I
^
:
X
b
′
⊗
^
π
Y
→
L
b
(
X
;
Y
)
{\displaystyle {\hat {I}}:X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to L_{b}(X;Y)}
L
1
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L^{1}(X;Y)}
L
1
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L^{1}(X;Y)}
(
X
b
′
⊗
^
π
Y
)
/
ker
I
^
{\displaystyle \left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}}
L
1
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L^{1}(X;Y)}
I
^
:
(
X
b
′
⊗
^
π
Y
)
/
ker
I
^
→
L
1
(
X
;
Y
)
{\displaystyle {\hat {I}}:\left(X'_{b}{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker {\hat {I}}\to L^{1}(X;Y)}
‖
⋅
‖
Tr
{\displaystyle \|\cdot \|_{\operatorname {Tr} }}
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T:X\to Y}
‖
T
‖
Tr
:=
inf
z
∈
I
^
−
1
(
T
)
‖
z
‖
π
{\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {Tr} }:=\inf _{z\in {\hat {I}}^{-1}\left(T\right)}\left\|z\right\|_{\pi }}
特徴づけ X と Y が バナッハ空間であり、それが 連続線型演算子であると
します。
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
以下は同等です:
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
核です。 の閉単位球内の 数列、 の閉単位球内の 数列、 および が 写像に等しいような複素数列が存在する: [ 8 すべての に対して 。さらに、トレースノルムは、 のすべての表現の集合上の 数の最小値に等しく、 そのような数列となる。
(
x
i
′
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}
X
′
{\displaystyle X'}
(
y
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
Y
{\displaystyle Y}
(
c
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
∑
i
=
1
∞
|
c
i
|
<
∞
{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }
N
{\displaystyle N}
N
(
x
)
=
∑
i
=
1
∞
c
i
x
i
′
(
x
)
y
i
{\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
‖
N
‖
Tr
{\displaystyle \|N\|_{\operatorname {Tr} }}
∑
i
=
1
∞
|
c
i
|
{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|}
N
{\displaystyle N}
Y が 反射的 であれば 、 は 核であり、かつ が 核である場合に限り、その場合 となる 。
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
t
N
:
Y
b
′
→
X
b
′
{\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}
‖
t
N
‖
Tr
=
‖
N
‖
Tr
{\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }=\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}
プロパティ X と Y を バナッハ空間と し、を 連続線型演算子とします。
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
が核写像である ならば、その転置は 連続核写像（双対空間が強い双対位相を持つ場合）であり、である 。
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
t
N
:
Y
b
′
→
X
b
′
{\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}
‖
t
N
‖
Tr
≤
‖
N
‖
Tr
{\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}
ヒルベルト空間間の核作用素 ヒルベルト空間 の 核 自己同型は トレースクラス 演算子と呼ばれます 。
X と Y を ヒルベルト空間と し、 N : X → Y を連続線型写像とする。R : X → X が の平方根で あり 、 U : X → Y が が全射等長写像となる ような写像であるとする。このとき、 N が核写像となるのは、 R が 核写像となる場合のみである。したがって、ヒルベルト空間間の核写像を研究するには、正の自己随伴作用素 R に注目するだけで十分である 。
N
=
U
R
{\displaystyle N=UR}
N
∗
N
{\displaystyle N^{*}N}
U
|
Im
R
:
Im
R
→
Im
N
{\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} N}
特徴 X と Y を ヒルベルト空間とし、 N : X → Y を絶対値が R : X → X である連続線型写像とします 。以下は同値です。
N : X → Y は 核です。 R : X → X は核である。 R : X → X はコンパクトかつ 有限であり、その場合 。
Tr
R
{\displaystyle \operatorname {Tr} R}
Tr
R
=
‖
N
‖
Tr
{\displaystyle \operatorname {Tr} R=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}
ここで、 は R の トレース であり 、次のように定義されます。R は連続コンパクト正演算子であるため 、 対応する非 自明な有限次元の相互に直交するベクトル空間を持つ正の数の（おそらく有限の）列が存在し 、 の直交（ H 内）は に等しく （したがって にも ）なり、すべての k に対して、 すべての に対して となります 。トレースは として定義されます 。
Tr
R
{\displaystyle \operatorname {Tr} R}
λ
1
>
λ
2
>
⋯
{\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\cdots }
V
1
,
V
2
,
…
{\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }
span
(
V
1
∪
V
2
∪
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {span} \left(V_{1}\cup V_{2}\cup \cdots \right)}
ker
R
{\displaystyle \ker R}
ker
N
{\displaystyle \ker N}
R
(
x
)
=
λ
k
x
{\displaystyle R(x)=\lambda _{k}x}
x
∈
V
k
{\displaystyle x\in V_{k}}
Tr
R
:=
∑
k
λ
k
dim
V
k
{\textstyle \operatorname {Tr} R:=\sum _{k}\lambda _{k}\dim V_{k}}
t
N
:
Y
b
′
→
X
b
′
{\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}
核兵器の場合、その場合 ]
‖
t
N
‖
Tr
=
‖
N
‖
Tr
{\displaystyle \|{}^{t}N\|_{\operatorname {Tr} }=\|N\|_{\operatorname {Tr} }}
X と Y に は 2つの直交する数列があり 、 すべての に対して となる 数列 が に存在する 。
(
x
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{\infty }}
(
y
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle (y_{i})_{i=1}^{\infty }}
(
λ
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
N
(
x
)
=
∑
i
λ
i
⟨
x
,
x
i
⟩
y
i
{\textstyle N(x)=\sum _{i}\lambda _{i}\langle x,x_{i}\rangle y_{i}}
N : X → Yは 積分写像 である 。
局所凸空間間の核作用素 U が X における原点の凸平衡閉近傍であり 、 B が Y における 凸平衡有界 バナッハ円板で、 X と Y が 両方とも 局所凸空間であるとする。 を 、 を 正準射影とする。 が に稠密である正準写像を持つ補助バナッハ空間と、 によってノルムされ、正準写像が（連続）正準射影である補助空間を定義できる 。 任意 の 連続 線型 写像 が 与えられた場合、 合成によって連続線型写像 が得られる 。したがって、射影が得られ、この写像を使用して を の部分空間として 識別する 。
p
U
(
x
)
=
inf
r
>
0
,
x
∈
r
U
r
{\textstyle p_{U}(x)=\inf _{r>0,x\in rU}r}
π
:
X
→
X
/
p
U
−
1
(
0
)
{\displaystyle \pi :X\to X/p_{U}^{-1}(0)}
X
^
U
{\displaystyle {\hat {X}}_{U}}
π
^
U
:
X
→
X
^
U
{\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}:X\to {\hat {X}}_{U}}
X
/
p
U
−
1
(
0
)
{\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}
X
^
U
{\displaystyle {\hat {X}}_{U}}
F
B
=
span
B
{\displaystyle F_{B}=\operatorname {span} B}
p
B
(
y
)
=
inf
r
>
0
,
y
∈
r
B
r
{\textstyle p_{B}(y)=\inf _{r>0,y\in rB}r}
ι
:
F
B
→
F
{\displaystyle \iota :F_{B}\to F}
T
:
X
^
U
→
Y
B
{\displaystyle T:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}
π
^
U
∘
T
∘
ι
:
X
→
Y
{\displaystyle {\hat {\pi }}_{U}\circ T\circ \iota :X\to Y}
L
(
X
^
U
;
Y
B
)
→
L
(
X
;
Y
)
{\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)\to L(X;Y)}
L
(
X
^
U
;
Y
B
)
{\textstyle L\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L(X;Y)}
定義 : X と Y を ハウスドルフ局所凸空間とする。 U が X の原点のすべての閉凸均衡近傍にわたって範囲を持ち 、 B が Y の すべての有界 バナッハ円板 にわたって範囲を持つので、すべての和集合 は で表され、その元は Xから Y へ の 核写像 と呼ばれる 。
L
1
(
X
^
U
;
Y
B
)
{\textstyle L^{1}\left({\hat {X}}_{U};Y_{B}\right)}
L
1
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L^{1}(X;Y)}
X と Y が バナッハ空間である場合 、 核マッピングのこの新しい定義は、 X と Y がバナッハ空間である特殊なケースに対して与えられた元の定義と一致します 。
核保有の十分な条件 W 、 X 、 Y 、 Zを ハウスドルフ局所凸空間、 核写像、および 連続 線型写像と する。このとき 、、、 およびは 核であり、さらに W 、 X 、 Y 、および Zが すべてバナッハ空間であれば、となる 。
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
M
:
W
→
X
{\displaystyle M:W\to X}
P
:
Y
→
Z
{\displaystyle P:Y\to Z}
N
∘
M
:
W
→
Y
{\displaystyle N\circ M:W\to Y}
P
∘
N
:
X
→
Z
{\displaystyle P\circ N:X\to Z}
P
∘
N
∘
M
:
W
→
Z
{\displaystyle P\circ N\circ M:W\to Z}
‖
P
∘
N
∘
M
‖
Tr
≤
‖
P
‖
‖
N
‖
Tr
‖
‖
M
‖
{\textstyle \left\|P\circ N\circ M\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|P\right\|\left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }\|\left\|M\right\|}
が2つのハウスドルフ局所凸空間間の核写像である 場合、その転置は 連続核写像である（双対空間が強い双対位相を持つ場合）。
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
t
N
:
Y
b
′
→
X
b
′
{\displaystyle {}^{t}N:Y'_{b}\to X'_{b}}
さらに X と Yが バナッハ空間であれば 、.
‖
t
N
‖
Tr
≤
‖
N
‖
Tr
{\textstyle \left\|{}^{t}N\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }}
が 2つのハウスドルフ局所凸空間間の核写像であり、が X の完備化である場合、 N の 唯一の連続拡大 は核である。
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
X
^
{\displaystyle {\hat {X}}}
N
^
:
X
^
→
Y
{\displaystyle {\hat {N}}:{\hat {X}}\to Y}
特徴 X と Y を ハウスドルフ局所凸空間とし、を 連続 線型演算子とします。
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
以下は同等です:
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
核です。 (定義) X の原点の 凸均衡近傍 Uと Y の 有界 バナッハ円板 B が存在し、誘導写像は 核写像 であり、 は の 唯一の連続拡大であり 、 は を満たす唯一の写像である。 は 自然包含であり、 は 標準射影である。
N
(
U
)
⊆
B
{\displaystyle N(U)\subseteq B}
N
¯
0
:
X
^
U
→
Y
B
{\displaystyle {\overline {N}}_{0}:{\hat {X}}_{U}\to Y_{B}}
N
¯
0
{\displaystyle {\overline {N}}_{0}}
N
0
:
X
U
→
Y
B
{\displaystyle N_{0}:X_{U}\to Y_{B}}
N
=
In
B
∘
N
0
∘
π
U
{\displaystyle N=\operatorname {In} _{B}\circ N_{0}\circ \pi _{U}}
In
B
:
Y
B
→
Y
{\displaystyle \operatorname {In} _{B}:Y_{B}\to Y}
π
U
:
X
→
X
/
p
U
−
1
(
0
)
{\displaystyle \pi _{U}:X\to X/p_{U}^{-1}(0)}
バナッハ空間 、 および連続線型写像 、、が存在し、 は 核で あり である 。
B
1
{\displaystyle B_{1}}
B
2
{\displaystyle B_{2}}
f
:
X
→
B
1
{\displaystyle f:X\to B_{1}}
n
:
B
1
→
B
2
{\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}
g
:
B
2
→
Y
{\displaystyle g:B_{2}\to Y}
n
:
B
1
→
B
2
{\displaystyle n:B_{1}\to B_{2}}
N
=
g
∘
n
∘
f
{\displaystyle N=g\circ n\circ f}
には 等連続列 、有界 バナッハ円板、 B には 列、および すべての に対して および が写像: に等しいような 複素列が存在する 。
(
x
i
′
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}
X
′
{\displaystyle X'}
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
(
y
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
(
c
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
∑
i
=
1
∞
|
c
i
|
<
∞
{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }
N
{\displaystyle N}
N
(
x
)
=
∑
i
=
1
∞
c
i
x
i
′
(
x
)
y
i
{\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
X が樽型で Yが 準完全 な 場合 、 Nが核となるのは、 N がで 有界 、 Y で有界 、 の 形式の表現を持つ 場合のみです 。
N
(
x
)
=
∑
i
=
1
∞
c
i
x
i
′
(
x
)
y
i
{\textstyle N(x)=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{i}}
(
x
i
′
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(x_{i}'\right)_{i=1}^{\infty }}
X
′
{\displaystyle X'}
(
y
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
∑
i
=
1
∞
|
c
i
|
<
∞
{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|c_{i}|<\infty }
プロパティ 以下は、核写像を拡張するためのハーン・バナッハの定理 の一種です 。
がTVS埋め込みで、が 核写像であるとき、 となる 核写像が存在する 。さらに、 X と Yが バナッハ空間で E が等長写像であるとき、任意の に対して 、 となるように選ぶことができる 。
E
:
X
→
Z
{\displaystyle E:X\to Z}
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
N
~
:
Z
→
Y
{\displaystyle {\tilde {N}}:Z\to Y}
N
~
∘
E
=
N
{\displaystyle {\tilde {N}}\circ E=N}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
N
~
{\displaystyle {\tilde {N}}}
‖
N
~
‖
Tr
≤
‖
N
‖
Tr
+
ϵ
{\displaystyle \|{\tilde {N}}\|_{\operatorname {Tr} }\leq \|N\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }
が TVS 埋め込みであり、その像が Z で閉じているとし、 が 正準射影であるとします。 のすべてのコンパクト ディスクが Z の有界バナッハ ディスクの 像であるとします (これは、たとえば、 X と Z が 両方ともフレシェ空間である場合、または Z が フレシェ空間の強い双対であり、 Z で弱く閉じている場合に当てはまります )。すると、すべての核写像に対して、 となる 核写像が存在します 。
E
:
X
→
Z
{\displaystyle E:X\to Z}
π
:
Z
→
Z
/
Im
E
{\displaystyle \pi :Z\to Z/\operatorname {Im} E}
Z
/
Im
E
{\displaystyle Z/\operatorname {Im} E}
π
{\displaystyle \pi }
Im
E
{\displaystyle \operatorname {Im} E}
N
:
Y
→
Z
/
Im
E
{\displaystyle N:Y\to Z/\operatorname {Im} E}
N
~
:
Y
→
Z
{\displaystyle {\tilde {N}}:Y\to Z}
π
∘
N
~
=
N
{\displaystyle \pi \circ {\tilde {N}}=N}
さらに、 X と Zが バナッハ空間で Eが 等長写像であるとき、任意のに対して 、 となるように選ぶことができる 。
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
N
~
{\displaystyle {\tilde {N}}}
‖
N
~
‖
Tr
≤
‖
N
‖
Tr
+
ϵ
{\textstyle \left\|{\tilde {N}}\right\|_{\operatorname {Tr} }\leq \left\|N\right\|_{\operatorname {Tr} }+\epsilon }
X と Y を ハウスドルフ局所凸空間とし、を 連続 線型演算子とします。
N
:
X
→
Y
{\displaystyle N:X\to Y}
あらゆる核マップはコンパクトである。 上の一様収束する位相に対して 、核写像は の閉包に含まれる （ を の部分空間とみなす場合 ）。
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L(X;Y)}
X
′
⊗
Y
{\displaystyle X'\otimes Y}
X
′
⊗
Y
{\displaystyle X'\otimes Y}
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L(X;Y)}
参照 補助正規空間 共分散演算子 – 確率論における演算子 初期トポロジー – 特定の関数を連続させる最も粗いトポロジー 帰納的テンソル積 – 位相ベクトル空間上の二項演算 Pages displaying wikidata descriptions as a fallback 入射テンソル積 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間 バナッハ空間間の核作用素 – 有限次元作用素に似た性質を持つバナッハ空間上の作用素 Pages displaying wikidata descriptions as a fallback 核空間 – ヒルベルト空間とは異なる有限次元ユークリッド空間の一般化 射影テンソル積 – 2つの位相ベクトル空間上で定義されるテンソル積 Pages displaying wikidata descriptions as a fallback ヒルベルト空間のテンソル積 – 特別な内積を備えたテンソル積空間 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成 トレースクラス – 有限トレースを定義できるコンパクトな演算子 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間
参考文献
文献 ディーステル、ジョー (2008)。 テンソル積の計量理論：グロタンディークの要約の再考 。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会 。ISBN 978-0-8218-4440-3 . OCLC 185095773. エド・デュビンスキー (1979)。 核フレシェ空間の構造 。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 3-540-09504-7 . OCLC 5126156. グロタンディーク、アレクサンダー (1966)。 Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (フランス語)。プロビデンス: アメリカ数学協会。 ISBN 0-8218-1216-5 . OCLC 1315788. Husain, Taqdir (1978)。 位相的および順序付きベクトル空間におけるバレル性 。ベルリン、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 3-540-09096-7 . OCLC 4493665. Khaleelulla , SM (1982)。 位相ベクトル空間における反例 。 数学講義ノート 。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク： Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370. ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. Nlend, H (1977)。 『ボルノロジーと機能分析: 双対性トポロジー-ボルノロジー理論と機能分析におけるその使用に関する入門コース 』。アムステルダム、ニューヨーク、ノースホランド出版。米国およびカナダの独占販売元、エルゼビア-ノースホランド 。ISBN 0-7204-0712-5 . OCLC 2798822. Nlend, H (1981). 核空間と共核空間: 双対性の観点から見た核空間と共核空間の入門コース。アムステルダム ニューヨーク ニューヨーク、NY: North-Holland Pub. Co. 米国およびカナダの独占販売代理店、 Elsevier North-Holland。ISBN 0-444-86207-2 . OCLC 7553061. ピエチュ、アルブレヒト (1972)。 核の局所的に凸状の空間 。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 0-387-05644-0 . OCLC 539541. ロバートソン、AP (1973)。 位相ベクトル空間 。ケンブリッジ、イングランド：大学出版局 。ISBN 0-521-29882-2 . OCLC 589250. ライアン、レイモンド (2002)。 バナッハ空間のテンソル積入門 。ロンドン、ニューヨーク: シュプリンガー 。ISBN 1-85233-437-1 . OCLC 48092184. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322. ウォン (1979)。 シュワルツ空間、核空間、テンソル積 。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158.
外部リンク
