バナッハ空間間の核作用素

数学において、バナッハ空間間の核作用素は、有限次元の対応するものといくつかの特性を共有する、無限次元のバナッハ空間間の線型作用素 である。ヒルベルト空間では、このような作用素は通常トレースクラス作用素と​​呼ばれ、トレースのようなものを定義できる。バナッハ空間では、これは一般の核作用素ではもはや不可能であるが、グロタンディークのトレース定理を介して -核作用素では可能である。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$

バナッハ空間の一般的な定義はグロタンディークによって与えられました。この記事では両方のケースを紹介しますが、バナッハ空間上の核演算子の一般的なケースに重点を置きます。

ヒルベルト空間上の作用素がコンパクトで あるとは、次の形式で記述できる場合である^[要出典] 。ここ で、およびおよびは（必ずしも完全ではない）正規直交集合である。ここで、実数の集合、すなわち作用素の特異値の集合は、${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n=1}^{N}\rho _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n},}$$${\displaystyle 1\leq N\leq \infty ,}$${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{N}\}}$${\displaystyle \{g_{1},\ldots ,g_{N}\}}$${\displaystyle \{\rho _{1},\ldots ,\rho _{N}\}}$${\displaystyle \rho _{n}\to 0}$${\displaystyle N=\infty .}$

括弧はヒルベルト空間上のスカラー積であり、右側の合計はノルムで収束する必要があります。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

上で定義したコンパクトな演算子は、次の場合、 核クラスまたはトレースクラスであると言われる。$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\rho _{n}|<\infty .}$$

ヒルベルト空間上の核作用素は、トレース演算が定義できるという重要な性質を持つ。ヒルベルト空間の正規直交基底が与えられた場合、トレースは次のように定義される。 ${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$$${\displaystyle \operatorname {Tr} {\mathcal {L}}=\sum _{n}\langle \psi _{n},{\mathcal {L}}\psi _{n}\rangle .}$$

明らかに、この和は絶対収束し、結果が基底に依存しないことが証明できます^[要出典]。このトレースは、（重複度を数えた）の固有値の合計と同一であることが示されます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

トレースクラス演算子の定義は、 1955 年にアレクサンダー・グロタンディークによってバナッハ空間に拡張されました。

とをバナッハ空間とし、をの双対、すなわち、通常のノルムを持つ 上の連続または（同値な）有界線型関数全体の集合とする。との射影テンソル積 からからへの連続線型写像のバナッハ空間への標準的な評価写像が存在する。 これは、 と を線型写像に送ることで決定される。 演算子は、この評価写像の像内にある場合、核演算子と呼ばれる。 ^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A^{\prime}}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle A^{\prime }\otimes B\to \operatorname {Hom} (A,B)}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f\in A^{\prime}}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle a\mapsto f(a)\cdot b.}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\in \operatorname {Hom} (A,B)}$

関数と複素数 を持つベクトルの列が存在し、その演算子がの ように書かれ、 その和が演算子ノルムで収束する 場合、演算子は の位数の核 であると言われます。$${\displaystyle {\mathcal {L}}:A\to B}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle \{g_{n}\}\in B}$${\displaystyle \Vert g_{n}\Vert \leq 1,}$${\displaystyle \left\{f_{n}^{*}\right\}\in A^{\prime }}$${\displaystyle \Vert f_{n}^{*}\Vert \leq 1}$ ${\displaystyle \{\rho _{n}\}}$$${\displaystyle \sum _{n}|\rho _{n}|^{q}}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n}\rho _{n}f_{n}^{*}(\cdot )g_{n}}$$

1 次核演算子は核演算子と呼ばれ、その級数は絶対収束します。2 次核演算子はヒルベルト・シュミット演算子と呼ばれます。 ${\displaystyle \sum \rho _{n}}$

追加の手順により、このような演算子のトレースを定義できます。${\displaystyle A=B.}$

トレースと行列式は、バナッハ空間では一般には定義できません。ただし、グロタンディークのトレース定理を介して、いわゆる-核演算子に対して定義できます。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$

より一般的には、局所凸位相ベクトル空間 からバナッハ空間への演算子は、0 の固定された近傍上で すべてが 1 で制限されるという上記の条件を満たす場合、核演算子と呼ばれます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f_{n}^{*}}$

核写像の概念を任意のモノイドカテゴリに拡張したものが、Stolz & Teichner (2012) によって与えられています。モノイドカテゴリは、適切なテンソル積の概念を備えたカテゴリと考えることができます。モノイドカテゴリの例には、バナッハ空間のカテゴリ、または局所凸完備ハウスドルフ空間のカテゴリがあります。どちらも射影テンソル積を備えています。モノイドカテゴリのマップは、適切な オブジェクトの合成として記述でき 、がモノイド単位で あるマップである場合、厚いと呼ばれます。${\displaystyle f:A\to B}$$${\displaystyle A\cong I\otimes A{\stackrel {t\otimes \operatorname {id} _{A}}{\longrightarrow }}B\otimes C\otimes A{\stackrel {\operatorname {id} _{B}\otimes s}{\longrightarrow }}B\otimes I\cong B}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle t:I\to B\otimes C,s:C\otimes A\to I,}$${\displaystyle I}$

射影テンソル積を備えたバナッハ空間のモノイドカテゴリでは、写像が厚いのはそれが核写像である場合に限ります。^[2]

とがヒルベルト空間間のヒルベルト・シュミット作用素であるとする。このとき合成は核作用素である。^[3]${\displaystyle f:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle g:H_{2}\to H_{3}}$${\displaystyle g\circ f:H_{1}\to H_{3}}$

• 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成
• 核作用素 – 位相ベクトル空間に関連する線型作用素
• 核空間 – ヒルベルト空間とは異なる有限次元ユークリッド空間の一般化

• A. Grothendieck (1955)、Produits tensoriels topologiques et espace nucléaires、Mem。午前。数学、社会。 １６．MR 0075539
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• A. Hinrichs および A. Pietsch (2010)、グロタンディークの意味でのp核演算子、 Mathematische Nachrichen 283 : 232–261。土井：10.1002/mana.200910128。MR 2604120
• GL Litvinov (2001) [1994]、「核演算子」、数学百科事典、EMS Press
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• シュトルツ、ステファン; テイヒナー、ピーター (2012)、「モノイドカテゴリのトレース」 、アメリカ数学会誌、364 (8): 4425–4464、arXiv : 1010.4527、doi :10.1090/S0002-9947-2012-05615-7、MR  2912459