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関数解析という数学の一分野において、作用素環とは、位相ベクトル空間上の連続線形作用素の環であり、乗法は写像の合成によって与えられる。
作用素環の研究で得られた結果はしばしば代数的な用語で表現されるが、使用される手法はしばしば高度に解析的である。[ 1 ] 作用素環の研究は通常、関数解析の一分野として分類されるが、表現論、微分幾何学、量子統計力学、量子情報、量子場理論に直接応用されている。
作用素環は、代数的な関係がほとんどない任意の作用素の集合を同時に研究するために使用できる。この観点から、作用素環は単一作用素のスペクトル理論の一般化とみなすことができる。一般に、作用素環は非可換環である。
作用素環は、通常、連続線形作用素の環全体において、特定の作用素位相において閉じていることが求められる。具体的には、代数的閉包性と位相的閉包性の両方を持つ作用素の集合である。一部の分野では、このような性質が公理化され、特定の位相構造を持つ環が研究対象となる。
作用素の代数はさまざまな文脈で研究されていますが（例えば、分布空間に作用する擬微分作用素の代数など）、作用素代数という用語は通常、バナッハ空間上の有界作用素の代数、あるいはさらに具体的には、作用素ノルム位相を備えた可分ヒルベルト空間上の作用素の代数に関して使用されます。
ヒルベルト空間上の作用素の場合、作用素に対するエルミート随伴写像は自然な対合を与え、これにより代数に課すことができる追加の代数構造が提供される。この文脈において、最もよく研究されている例は自己随伴作用素代数であり、これは随伴を取ることに関して閉じていることを意味する。これには、 C*-代数、フォン・ノイマン代数、AW*-代数が含まれる。C*-代数は、ノルム、対合、および乗法を関連付ける条件によって抽象的に容易に特徴付けることができる。このように抽象的に定義されたC*-代数は、適切なヒルベルト空間上の連続線形作用素の代数の特定の閉じた部分代数と同一視することができる。フォン・ノイマン代数についても同様の結果が成り立つ。
可換自己共役作用素環は、局所コンパクト空間上の複素数値連続関数の環、あるいは標準可測空間上の可測関数の環とみなすことができる。したがって、一般作用素環は、これらの環の非可換一般化、あるいは関数が定義される基底空間の構造とみなされることが多い。この観点は、非可換作用素環を用いて様々な非古典的および／または病理的な対象を研究しようとする非可換幾何学の哲学として展開される。
自己共役でない作用素環の例としては、以下のようなものがある。