波動関数

量子力学において、波動関数（または波動関数）とは、孤立した量子系の量子状態を数学的に記述したものです。波動関数を表す最も一般的な記号は、ギリシャ文字の $ψ$ （小文字のψ）と $Ψ （大文字の$ Ϩ）です。

量子力学の重ね合わせの原理によれば、波動関数は加算され、複素数を乗算して新しい波動関数を形成し、ヒルベルト空間を形成する。2つの波動関数の内積は、対応する物理状態間の重なりの尺度であり、遷移確率と内積を関連付ける量子力学の基礎的な確率的解釈であるボルンの規則で使用される。シュレーディンガー方程式は、波動関数が時間とともにどのように変化するかを決定し、シュレーディンガー方程式は数学的に波動方程式の一種であるため、波動関数は水面波や弦上の波などの他の波と質的に同じように振る舞う。これが「波動関数」という名前の説明であり、波動-粒子二重性を生み出す。しかし、量子力学における波動関数が何らかの物理現象を記述するかどうかは、依然としてさまざまな解釈が可能であり、古典的な力学的波動とは根本的に異なる。^[¹^]^[²^]^[³^]^[⁴^]^[⁵^]^[⁶^]^[⁷^]

波動関数は複素数値です。たとえば、波動関数は空間領域の各点に複素数を割り当てることがあります。Bornの規則^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}は、これらの複素確率振幅を実際の確率に変換する手段を提供します。一般的な形式では、位置に依存する波動関数の絶対値の二乗は、粒子が特定の場所に存在すると測定される確率密度であると述べています。波動関数の絶対値の二乗をシステムのすべての自由度にわたって積分すると1に等しくなければならず、この条件は正規化と呼ばれます。波動関数は複素数値であるため、相対位相と相対振幅のみを測定できます。その値だけでは、測定可能な観測量の大きさや方向については何もわかりません。測定の可能な結果の集合に対応する固有値を持つ量子演算子を波動関数 $ψ$ に適用し、測定可能な量の統計分布を計算する必要があります。

波動関数は、位置以外の変数、例えば運動量の関数となることがあります。位置に依存する波動関数によって表される情報は、フーリエ変換によって運動量に依存する波動関数に変換でき、またその逆も可能です。電子や光子などの一部の粒子は、ゼロでないスピンを持ち、そのような粒子の波動関数には、固有の離散的な自由度としてスピンが含まれます。アイソスピンなどの他の離散変数も含まれることがあります。システムが内部自由度を持つ場合、連続自由度の各点（例えば、空間内の点）における波動関数は、離散自由度（例えば、スピンのz成分）の可能な各値に対して複素数を割り当てます。これらの値は、多くの場合、列行列（例えば、 $スピン$ $1/2$ の非相対論的電子の $2\times1$ $列$ ベクトル）に表示されます。

歴史的背景

1900年、マックス・プランクは周波数と振動数の比例関係を提唱した。 $f$ 光子とそのエネルギー $E$ 、 $E=hf$ [ ¹¹^]^[¹²^{] 1916年には光子の運動量}^と光子の運動量の間の対応する関係が $p$ 波長 $\lambda$ 、 $\lambda ={\frac {h}{p}}$ [ ^{13 ]} ここ^で $h$ はプランク定数である。1923年、ド・ブロイは、この関係を初めて提唱した。 $\lambda ={\frac {h}{p}}$ 現在ド・ブロイ関係と呼ばれるこの関係は、質量を持つ粒子に対して成り立ち、その主な手がかりはローレンツ不変性である^{[ 14 ]。}これは、量子力学の現代的発展の出発点と見なすことができる。この方程式は、質量のない粒子と質量のある粒子の両方について、波動と粒子の二重性を表している。

1920年代と1930年代には、量子力学は微積分と線形代数を用いて発展した。微積分の手法を用いたのは、ルイ・ド・ブロイ、エルヴィン・シュレーディンガーらで、「波動力学」を発展させた。線形代数の手法を用いたのは、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルンらで、「行列力学」を発展させた。シュレーディンガーは後に、この2つのアプローチが等価であることを示した。^{[ 15 ]}

1926年、シュレーディンガーは、現在彼の名にちなんで名付けられている有名な波動方程式、シュレーディンガー方程式を発表しました。この方程式は、量子演算子とド・ブロイの関係式を用いた古典的なエネルギー保存則に基づいており、方程式の解は量子系の波動関数です。^[¹⁶^]しかし、誰もその解釈方法を明確に理解していませんでした。^[¹⁷^]当初、シュレーディンガーらは、波動関数は波動関数が大きい場所に粒子の大部分が広がって存在する粒子を表していると考えていました。^[¹⁸^]これは、波動パケット（粒子を表す）がターゲットから弾性散乱されることと矛盾することが示されました。波動パケットはあらゆる方向に広がります。^[⁸^] 散乱粒子はあらゆる方向に散乱する可能性がありますが、分裂してあらゆる方向に飛び出すことはありません。1926年、ボルンは確率振幅の観点を提供しました。^[⁸^]^[⁹^]^[¹⁹^]これは、量子力学の計算を確率的な実験観測に直接関連付けます。これは量子力学のコペンハーゲン解釈の一部として受け入れられています。量子力学には他にも多くの解釈があります。1927年、ハートリーとフォックは N 体波動関数を解くための最初のステップを踏み、自己無撞着サイクル、つまり解を近似するための反復アルゴリズムを開発しました。現在ではハートリー・フォック法としても知られています。^[²⁰^]スレーター行列式とパーマネント（行列の）は、ジョン・C・スレーターによって提供されたこの方法の一部でした。

シュレーディンガーは、非相対論的な方程式を発表する前に、相対論的なエネルギー保存則を満たす波動関数の方程式に遭遇したが、負の確率と負のエネルギーを予測するため、それを破棄した。1927年、クライン、ゴードン、フォックもそれを発見したが、電磁相互作用を取り入れ、それがローレンツ不変であることを証明した。ド・ブロイも1928年に同じ方程式に到達した。この相対論的な波動方程式は現在、クライン・ゴードン方程式として最もよく知られている。^[²¹^]

1927年、パウリは電磁場中のスピン1/2粒子を記述する非相対論的方程式を現象論的に発見し、現在ではパウリ方程式と呼ばれている。^{[ 22 ]}パウリは、波動関数は空間と時間の単一の複素関数では記述されず、フェルミオンのスピン+1/2状態と-1/2状態にそれぞれ対応する2つの複素数が必要であることを発見した。その直後の1928年、ディラックは電子に適用された特殊相対性理論と量子力学の最初の統一に成功した方程式を発見し、現在ではディラック方程式と呼ばれている。この方程式では、波動関数は4つの複素数値成分で表されるスピノルである。 ^[²⁰^] 2つは電子用、2つは電子の反粒子である陽電子用である。非相対論的極限では、ディラック波動関数は電子のパウリ波動関数に似ている。その後、他の相対論的波動方程式が発見された。

現代理論における波動関数と波動方程式

これらの波動方程式はすべて、永続的な重要性を持っています。シュレーディンガー方程式とパウリ方程式は、多くの場合、相対論的方程式の優れた近似式となります。また、実際の問題においては、相対論的方程式よりもはるかに容易に解くことができます。

クライン・ゴルドン方程式とディラック方程式は相対論的ではあるものの、量子力学と特殊相対性理論を完全に調和させるものではありません。これらの方程式をシュレーディンガー方程式と同じように研究する量子力学の分野は、しばしば相対論的量子力学と呼ばれ、非常に成功を収めていますが、限界（例えばラムシフトを参照）や概念的な問題（例えばディラックの海を参照）も抱えています。

相対性理論では、システム内の粒子の数が一定でないことは避けられません。完全な調和のためには、量子場理論が必要です。^{[ 23 ]} この理論では、波動方程式と波動関数は、やや異なる形で位置づけられます。主な関心対象は波動関数ではなく、ヒルベルト状態の空間（次節で説明）上の演算子、いわゆる場演算子（または単に「演算子」が理解される場）です。元の相対論的波動方程式とその解は、ヒルベルト空間を構築するために依然として必要であることがわかります。さらに、相互作用が存在しないと仮定した場合の自由場演算子は、多くの場合、場（波動関数）と同じ方程式を（形式的に）満たすことがわかります。

したがって、この形式ではクライン・ゴルドン方程式（スピン $0$ ）とディラック方程式（スピン $1/2$ $）$ $が$ 理論に残ります。高スピンの類似式には、プロカ方程式（スピン $1$ ）、ラリタ・シュウィンガー方程式（スピン $3/2$ $）$ $、$ そしてより一般的にはバーグマン・ウィグナー方程式があります。質量のない自由場の場合、2つの例として、自由場マックスウェル方程式（スピン $1$ ）と自由場アインシュタイン方程式（スピン $2$ ）が場演算子について挙げられます。^[²⁴^] これらはすべて、本質的にローレンツ不変性の要件の直接的な結果です。これらの解は、ローレンツ変換の下で所定の方法で変換されなければなりません。つまり、ローレンツ群の特定の表現の下で変換されなければなりません。そして、因果律に影響を与えるクラスター分解特性[ ²⁵^]などの他のいくつかの妥当な要求と合わせて、方程式を固定するのに十分です^。

これは自由場方程式に適用され、相互作用は含まれません。ラグランジュ密度（相互作用を含む）が利用可能な場合、ラグランジュ形式は古典レベルでの運動方程式を導出します。この方程式は非常に複雑で、解くことができない場合があります。解は固定数の粒子を参照し、これらの理論で言及されている「相互作用」という用語を考慮に入れません。相互作用とは、通常の「第一量子化」量子論のように外部ポテンシャルではなく、粒子の生成と消滅を伴うものです。

弦理論においても、状況は同様である。例えば、運動量空間における波動関数は、明確に定義されていない運動量を持つ粒子（弦）の一般的な状態におけるフーリエ展開係数の役割を果たす。^{[ 26 ]}

相対論的粒子：古典力学と量子力学

弾丸、ロケット、惑星などの古典的な粒子は空間的に局在しており、音や海の波などの古典的な意味での波は広い空間領域に広がることが知られています。しかし、量子波動粒子二重性は量子粒子のユニークな特性です。例えば、空間的に局在した原子は、原子内の電子に関連する波の存在によって安定しています。量子粒子に関連する波の性質については合意がありませんが、これらの波に対応する数学的表現を計算する方法については合意があります。^{[ 27 ]}

非相対論的量子力学では、スピン0の量子粒子に関連付けられた波動が存在する。この「シュレーディンガー」波動に対応する数学的表現を得るには、シュレーディンガー波動方程式を解く必要がある。しかし、相対論的量子力学では、相対論的波動方程式を解く必要がある。あるいは、相対論的だがシュレーディンガーに似た波動方程式のペアを解くことで、スピン0の相対論的量子粒子に関連付けられた2つのシュレーディンガーに似た波動の数学的表現を得ることができる。^{[ 27 ]}

古典粒子には波は関連付けられていないが、スピン0の非相対論的量子粒子には1つのシュレーディンガー波が関連付けられており、さらにスピン0の相対論的量子粒子には2つのシュレーディンガー波が関連付けられており、自由古典粒子と非相対論的量子粒子は正の運動エネルギーを持つ。しかし、相対論的量子粒子は、粒子が正の運動エネルギーを持つ「通常の」シュレーディンガー波に関連付けられることもあれば、粒子が負の運動エネルギーを持つ「異常な」シュレーディンガー波に関連付けられることもある。^{[ 27 ]}

粒子に関連付けられたシュレーディンガー波の存在は、量子粒子の量子特性を決定します。何らかの理由でシュレーディンガー波が消滅すると、粒子は量子性を失い、古典粒子に変化します。私たちの周りの巨視的な物体が古典的で物質のみで構成されているように見える理由を説明するために、このような量子から古典への遷移のいくつかの超越的な例が提案されています。量子-古典境界の例は次のとおりです。^{[ 27 ]}

重原子における原子核と電子間の静電引力は、相対論的電子に関連する通常のシュレーディンガー波を崩壊させる可能性がある。これが、原子番号Z > 137の原子に中性原子が存在しない理由である。
重力は、質量を持つ相対論的量子粒子に関連付けられた通常のシュレーディンガー波を崩壊させることができる。これが、巨視的な物体が古典的である理由を説明する。
静電反発力は反粒子に関連する特異なシュレーディンガー波を崩壊させる可能性があるが、相対論的量子粒子ではそのような現象は起こらない。これが、反原子の周期表が存在しないこと、そして反物質からなる生命が存在しない理由である。

定義（一次元空間におけるスピンを持たない粒子）

箱の中の粒子の定常波、定常状態の例

自由粒子の進行波。

1 つのスピン 0 粒子が x次元または

p

次元の 1 つに存在する場合の位置波動関数

Ψ(

x

)

と運動量波動関数

Φ(

p

)

の実部、および対応する確率密度

|Ψ(

x

) |

2

と

|Φ(

p

)

|

2

を示します。粒子の色の不透明度は、粒子が位置x

または運動量

p

に存在する確率密度 (波動関数ではない) に対応します。

ここではまず、スピンを持たない非相対論的な単一粒子が1次元空間に存在するという単純なケースを考えてみましょう。より一般的なケースについては後述します。

量子力学の公準によれば、物理システムの固定時刻における状態は $t$ は、分離可能な複素ヒルベルト空間に属する波動関数によって与えられる。^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}そのため、2つの波動関数 $Ψ1$ と $Ψ2$ $の$ 内積は $、$ $(時刻t$ における)複素数として定義できる。^[^nb1^]

(\Psi _{1},\Psi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)\,dx<\infty

。

詳細は以下に記載されています。ただし、波動関数 $Ψ$ とそれ自身との内積は、

(\Psi ,\Psi )=\|\Psi \|^{2}

、

は常に正の実数です。数 $‖ Ψ ‖$ ( $‖ Ψ ‖ 2$ ではない) は、波動関数 $Ψの$ ノルムと呼ばれます。考慮されている分離ヒルベルト空間は無限次元です^[^{nb 2}^]。これは、あらゆる可能な二乗可積分関数を作成するためにさまざまな組み合わせで加算できる二乗可積分関数の有限集合が存在しないことを意味します。

位置空間波動関数

このような粒子の状態は、その波動関数によって完全に記述される。 $\Psi (x,t)\,,$ ここで $、x$ は位置、 $t$ は時間です。これは、2つの実変数 $x$ と $tの$ 複素数値関数です。

1次元のスピンを持たない粒子1個の場合、波動関数を確率振幅として解釈すると、波動関数の絶対値の二乗は正の実数となる。 $\left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x),$ $は、ある時刻t$ における粒子の位置の測定に対する確率密度として解釈されます。アスタリスクは複素共役を表します。粒子の位置が測定された場合、その位置は波動関数から決定することはできませんが、確率分布によって記述されます。

正規化条件

$その位置x が$ 区間 $a \leq x \leq b$ に含まれる確率は、この区間における密度の積分である。 $P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx$ ここで、 $t$ は粒子が測定された時刻である。これにより、次の正規化条件が得られる。 $\int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,$ なぜなら、粒子が測定された場合、それがどこかに存在する確率は100%だからです。

与えられた系において、任意の時点におけるすべての正規化可能な波動関数の集合は、抽象的な数学的ベクトル空間を形成します。つまり、異なる波動関数を足し合わせたり、複素数を掛け合わせたりすることが可能です。厳密に言えば、波動関数は通常のベクトル空間ではなく、射影ヒルベルト空間における光線を形成します。

量子状態をベクトルとして捉える

ある特定の瞬間において、波動関数 $Ψ(x, t)$ のすべての値はベクトルの成分です。これらの成分は数えきれないほど無限にあり、総和の代わりに積分が用いられます。ブラケット記法では、このベクトルは次のように表されます。 $|\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx$ そしてそれは「量子状態ベクトル」、あるいは単に「量子状態」と呼ばれます。波動関数を抽象的なベクトル空間の要素として理解することには、いくつかの利点があります。

線形代数の強力なツールはすべて、波動関数を操作したり理解したりするために使用できます。例えば、次のようになります。
- 線形代数では、ベクトル空間に基底を与える方法、そしてベクトル空間内の任意のベクトルをこの基底で表現する方法が説明されます。これは、位置空間における波動関数と運動量空間における波動関数の関係を説明するものであり、他にも可能性が存在することを示唆しています。
- ブラケット記法は、波動関数を操作するために使用できる。
量子状態が抽象的なベクトル空間におけるベクトルであるという考えは、量子力学と量子場理論のあらゆる側面において完全に一般的であるのに対し、量子状態が空間の複素数値の「波動」関数であるという考えは、特定の状況においてのみ真である。

時間パラメータはしばしば省略され、以下でも省略される。x座標は連続インデックスである。 $|$ $x⟩$ $は$ 不適切ベクトル $と$ 呼ばれ、1 に正規化可能な適切ベクトルとは異なり、ディラックのデルタ関数にのみ正規化できる。^[^{nb 3}^]^[^{nb 4}^]^[³⁰^] $\langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)$ したがって $\langle x'|\Psi \rangle =\int \Psi (x)\langle x'|x\rangle dx=\Psi (x')$ そして $|\Psi \rangle =\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\left(\int |x\rangle \langle x|dx\right)|\Psi \rangle$ これは恒等演算子を明らかにする $I=\int |x\rangle \langle x|dx\,.$ これは、N次元ヒルベルト空間における正規直交基底の完全性関係に類似している。

基底における恒等演算子を見つけることで、抽象的な状態を基底で明示的に表現できるだけでなく、（2つの状態ベクトル間の内積や、観測可能な値に対するその他の演算子も基底で表現できる）さらに多くのことが可能になります。

運動量空間波動関数

この粒子は運動量空間においても波動関数を持つ。 $\Phi (p,t)$ ここで、 $p$ は1次元の運動量であり、 $-\inftyから$ $+\infty$ までの任意の値をとることができ、 $t$ は時間である。

$位置の場合と同様に、2つの$ $波動関数Φ1 (p, t)$ と $Φ2 (p, t)$ の内積は $次$ のように定義できる。 $(\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.$

時間によらないシュレーディンガー方程式の特定の解の一つは $\Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },$ $運動量がちょうどp$ である粒子の記述に使用できる平面波。これは運動量演算子の固有関数である。これらの関数は 1 に正規化できない (二乗可積分ではない) ため、実際には物理的なヒルベルト空間の要素ではない。 $\{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}$ これは運動量基底 と呼ばれるものを形成する。この「基底」は、通常の数学的な意味での基底ではない。まず、関数は正規化できないため、代わりにデルタ関数に正規化される。^{[ nb 4 ]} $(\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p').$

また、これらは線形独立ではあるものの、物理的なヒルベルト空間の基底としては数が多すぎる（非可算集合を形成する）ため、使用することはできません。しかし、次に説明するように、フーリエ変換を用いることで、ヒルベルト空間内のすべての関数を表現することは可能です。

位置表現と運動量表現の関係

xと $p$ $の$ 表現は ${\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}$

次に、 2つの方程式の最後の式を使用して、状態 $Ψを運動量の固有関数に射影します。$ $\int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).$

次に、自由シュレーディンガー方程式の位置表現解における運動量の適切に正規化された固有状態に対する既知の式を利用する。 $\langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},$ 得られるもの $\Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.$

同様に、位置の固有関数を使用すると、 $\Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.$

位置空間と運動量空間の波動関数は、互いにフーリエ変換であることがわかっています。 ^{[ 31 ]}これらは同じ状態の2つの表現であり、同じ情報を含んでおり、どちらか一方だけで粒子のあらゆる特性を計算するのに十分です。

実際には、運動量空間の波動関数よりも位置空間の波動関数の方がはるかに頻繁に使用されます。関連する方程式（シュレーディンガー方程式、ディラック方程式など）に現れるポテンシャルによって、どの基底で記述するのが最も簡単かが決まります。調和振動子の場合、 $x$ と $pは$ 対称的に現れるため、どちらの記述を使用しても問題ありません。同じ方程式（定数を法とする）が得られます。これから少し考察すると、調和振動子の波動方程式の解は $L 2$ におけるフーリエ変換の固有関数であることがわかります。^{[ nb 5 ]}

定義（その他の場合）

以下に、高次元系や粒子数の多い系、および位置座標や運動量成分以外の自由度を含む系における波動関数の一般的な形式を示す。

有限次元ヒルベルト空間

ヒルベルト空間は元々無限次元の完全内積空間を指しますが、定義上、有限次元の完全内積空間も含まれます。^{[ 32 ]}物理学では、しばしば有限次元ヒルベルト空間 と呼ばれます。^{[ 33 ]}すべての有限次元ヒルベルト空間には、ヒルベルト空間全体を張る正規直交基底ケットが存在します。

$N$ 次元集合の場合 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ が正規直交系である場合、これらの状態によって張られる空間の射影演算子は次のように与えられる。

$P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I$ ここで射影は恒等演算子と等価である。 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ これはヒルベルト空間全体を網羅するため、ヒルベルト空間内のどのベクトルも変化しません。これは有限次元ヒルベルト空間の完全性関係としても知られています。

波動関数は代わりに次のように与えられる。

$|\psi \rangle =I|\psi \rangle =\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle$ どこ ${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$ は、上記の式を用いて波動関数を構築するために使用できる複素数の集合です。

内積の確率的解釈

セットの場合 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ 固有値を持つ非退化観測量の固有ケットは ${\textstyle \lambda _{i}}$ 量子力学の公準により、観測量を測定する確率は ${\textstyle \lambda _{i}}$ ボルンの規則に従って次のように与えられます: ^{[ 34 ]}

$P_{\psi }(\lambda _{i})=|\langle \phi _{i}|\psi \rangle |^{2}$

非退化の場合 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ある観測可能なものの固有値の場合 ${\textstyle \lambda }$ 固有ベクトルのサブセットには、 ${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$ 量子力学の公準により、観測量を測定する確率は ${\textstyle \lambda }$ 次のように与えられます。

$P_{\psi }(\lambda )=\sum _{j}|\langle \lambda ^{(j)}|\psi \rangle |^{2}=|{\widehat {P}}_{\lambda }|\psi \rangle |^{2}$ どこ ${\textstyle {\widehat {P}}_{\lambda }=\sum _{j}|\lambda ^{(j)}\rangle \langle \lambda ^{(j)}|}$ は、状態を部分空間に投影する演算子であり、 ${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$ 等号は直交性により成り立つ。 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ 。

したがって、 ${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$ 量子力学系の状態を指定するもので、その二乗がそれぞれの測定の確率を与える大きさを持つ。 ${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$ 州。

相対位相の物理的意義

相対位相は実験において観測可能な影響を及ぼすが、システムの全体位相は実験的に区別できない。例えば、2つの状態の重ね合わせにある粒子の場合、観測量の期待値や異なる状態を観測する確率を求めることで粒子の全体位相を区別することはできないが、相対位相は観測量の期待値に影響を与える可能性がある。

システムの全体的な位相は任意であると考えられるが、各状態の相対位相は ${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$ 重ね合わせ状態における準備状態の位相は、準備状態の物理的意味とその対称性に基づいて決定できます。例えば、z方向のスピン状態の重ね合わせとしてx方向のスピン状態を構築するには、z方向のスピン状態に適切な回転変換を適用することで、状態間の適切な位相を得ることができます。

スピンを含むアプリケーション

有限次元ヒルベルト空間の例は、スピン固有ケットを使用して構築できます。 ${\textstyle s}$ -スピン粒子を形成する ${\textstyle 2s+1}$ 無限次元ヒルベルト空間。しかし、粒子の状態を完全に記述する一般的な波動関数は、粒子の位置または運動量に関連するヒルベルト空間とのテンソル積を含むため、常に無限次元ヒルベルト空間から得られます。とはいえ、有限次元ヒルベルト空間用に開発された手法は、独立して扱うことも、テンソル積の線形性を考慮して扱うこともできるため、有用です。

与えられたスピン演算子は ${\textstyle s}$ スピン粒子は有限として表現できる ${\textstyle (2s+1)^{2}}$ 作用するマトリックス ${\textstyle 2s+1}$ 独立したスピンベクトル成分の場合、通常は、該当する場合は行列/列/行表記を使用してスピン成分を表すのが望ましい。

例えば、各 $| s z ⟩$ は通常、列ベクトルとして識別されます。 $|s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |s-1\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\ldots \,,\quad |-(s-1)\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |-s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}$

しかし、これは表記法のよくある誤用です。なぜなら、ケット $| s z ⟩$ は列ベクトルと同義でも等しくもないからです。列ベクトルは単にスピン成分を表現する便利な方法を提供するだけです。

この表記法に対応して、z成分スピン演算子は次のように記述できます。 ${\frac {1}{\hbar }}{\hat {S}}_{z}={\begin{bmatrix}s&0&\cdots &0&0\\0&s-1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-(s-1)&0\\0&0&\cdots &0&-s\end{bmatrix}}$

z成分スピン演算子の固有ベクトルは上記の列ベクトルであり、固有値は対応するスピン量子数である。

この表記法に対応して、このような有限次元ヒルベルト空間のベクトルは次のように表される。

$|\phi \rangle ={\begin{bmatrix}\langle s|\phi \rangle \\\langle s-1|\phi \rangle \\\vdots \\\langle -(s-1)|\phi \rangle \\\langle -s|\phi \rangle \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s}\\\varepsilon _{s-1}\\\vdots \\\varepsilon _{-s+1}\\\varepsilon _{-s}\\\end{bmatrix}}$ どこ ${\textstyle \{\varepsilon _{i}\}}$ これらは対応する複素数である。

スピンに関する以下の議論では、完全な波動関数は、有限次元ヒルベルト空間からのスピン状態と、以前に導出された波動関数のテンソル積として考えられます。したがって、このヒルベルト空間の基底は次のようになります。 $|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle |s_{z}\rangle$ 。

3次元位置空間における1粒子状態

スピンを持たない単一粒子の3次元空間における位置空間波動関数は、上記の1次元空間の場合と同様である。 $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ ここで、 $r$ は3 次元空間における位置ベクトル、 $t$ は時間です。いつものように、 $Ψ(r, t)$ は実変数の複素数値関数です。ディラック記法では単一のベクトルとして、 $|\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle$

内積、運動量空間波動関数、フーリエ変換などに関するこれまでの説明はすべて、より高次元にも拡張される。

スピンを持つ粒子の場合、位置の自由度を無視すると、波動関数はスピンのみの関数となる（時間はパラメータである）。 $\xi (s_{z},t)$ ここで、 $s z$ $はz$ 軸に沿ったスピン射影量子数です。（ $z$ 軸は任意の選択です。波動関数を適切に変換すれば、他の軸を使用することもできます。詳細は後述します。） $s$ $z$ パラメータは、 $r$ や $tとは異なり、$ 離散変数です。例えば、スピン 1/2 の粒子の場合、 $s$ $z は$ $+1/2$ または $-1/2$ のみであり、他の値をとることはできません。（一般に、スピン $s$ の場合、 $s$ $z は$ $s$ $、$ $s$ $- 1、\dots、-s$ $+$ $1、$ $-s$ のいずれかになります。）各量子数を挿入すると、空間と時間の複素数値関数が得られ、その数は 2s + 1 個です $。$ $これらは$ 列ベクトルに配置できます $。$

$\xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}$

ブラケット記法では、これらは簡単にベクトルの成分に整理できます。 $|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle$

ベクトル $ξ$ 全体は、適切なハミルトニアンを持つシュレーディンガー方程式の解であり、これは $2 s + 1 個$ の常微分方程式の連立系に展開され、その解は $ξ (s, t), ξ (s - 1, t), ..., ξ (- s, t)$ です。一部の著者は、「波動関数」の代わりに「スピン関数」という用語を使用しています。これは、位置座標が連続的な自由度である位置空間波動関数の解とは対照的です。なぜなら、その場合、シュレーディンガー方程式は波動方程式の形をとるからです。

より一般的に言えば、任意のスピンを持つ3次元粒子の場合、波動関数は「位置-スピン空間」で次のように表すことができる。 $\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)$ これらは列ベクトルに並べることもできます $\Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}$ ここでは、スピン依存性はエントリのインデックス付けに用いられ、波動関数は空間と時間のみの複素ベクトル値関数である。

離散変数だけでなく連続変数も含めた波動関数のすべての値は、単一のベクトルに集約される。 $|\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle$

単一粒子の場合、その位置状態ベクトル $|$ $ψ⟩$ とスピン状態ベクトル $|$ $ξ⟩$ のテンソル積 $\otimesは$ $、$ 合成位置スピン状態ベクトルを与える $。$ $|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle$ 識別情報とともに $|\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle$ $\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)$ $|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle$

エネルギー固有状態のテンソル積分解は、系のダイナミクスの根底にあるハミルトニアン演算子において粒子の軌道角運動量とスピン角運動量が分離可能であれば常に可能である（言い換えれば、ハミルトニアンは軌道項とスピン項の和に分解できる^{[ 35 ]}）。時間依存性はどちらの因子にも配置でき、それぞれの時間発展を個別に研究することができる。このようなハミルトニアンの下では、任意のテンソル積状態は別のテンソル積状態に発展し、これは本質的に、非エンタングル状態は時間発展の下で非エンタングル状態のままであることを意味する。これは、テンソル積の状態間に物理的な相互作用がない場合に起こると言われている。分離不可能なハミルトニアンの場合、エネルギー固有状態は、そのような状態の線形結合であると言われ、必ずしも因子分解可能である必要はない。例としては、磁場中の粒子やスピン軌道結合などが挙げられる。

前述の議論は、離散変数としてのスピンに限定されるものではなく、全角運動量Jも使用できます。^{[ 36 ]}アイソスピンなどの他の離散自由度も、上記のスピンの場合と同様に表現できます。

3次元位置空間における多粒子状態

粒子が多数ある場合、一般に波動関数は1つだけであり、各粒子ごとに個別の波動関数はありません。1つの波動関数が多数の粒子を記述するという事実が、量子もつれとEPRパラドックスを可能にしています。N個 $の$ 粒子の位置空間波動関数は次のように記述されます。 ^{[ 20 ]} $\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)$ ここで、 $r i$ $はi$ 番目の粒子の 3 次元空間における位置、 $tは時間です。全体として、これは$ $3 N + 1 個$ の実変数の複素数値関数です。

量子力学では、同一粒子と識別可能な粒子の間に根本的な区別がある。例えば、任意の2つの電子は同一であり、根本的に区別できない。物理法則では、特定の電子に「識別番号を刻印」して追跡することは不可能である。^{[ 31 ]}これは、同一粒子系の波動関数に対する要件となる。 $\Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)$ ここで、 $+$ 記号は粒子がすべてボソンである場合に発生し、 $-記号は$ すべてフェルミオンである場合に発生します。言い換えれば、波動関数はボソンの位置に関して完全に対称であるか、フェルミオンの位置に関して完全に反対称であるかのいずれかです。^{[ 37 ]}粒子の物理的な交換は、波動関数の引数を数学的に交換することに対応します。フェルミオン波動関数の反対称性はパウリの排他原理につながります。一般に、ボソンとフェルミオンの対称性の要件は粒子統計の現れであり、他の量子状態の形式にも存在します。

$N個$ の識別可能な粒子（同一の粒子は2つとなく、つまり量子数の組が同じ粒子は2つとない）の場合、波動関数が対称であるか反対称であるかの要件はない。

粒子群において、座標 $r 1 、 r 2 、 ...を持つ同一の粒子と、$ $x 1 、 x 2 、 ...$ を持つ区別可能な粒子（互いに同一ではなく、前述の同一の粒子とも同一ではない）が存在する場合、波動関数は同一の粒子の座標 $r i$ に関してのみ対称または反対称となる。 $\Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)$

$繰り返しますが、識別可能な粒子の座標x i$ には対称性の要件はありません。

スピンを持つN個の粒子の波動関数は複素数値関数である。 $\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)$

これらの要素をすべて1つのベクトルに集約すると、

$|\Psi \rangle =\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}\;\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\begin{array}{c}{\text{wave function (component of }}\\{\text{ state vector along basis state)}}\end{array}}\;\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.$

同一の粒子の場合、対称性の要件は波動関数の位置引数とスピン引数の両方に適用され、全体として正しい対称性を持つようにする。

内積の公式は、すべての座標または運動量に関する積分と、すべてのスピン量子数に関する和です。3次元空間でスピンを持つ $N個の粒子の一般的な場合、$ $(\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)$ これは合計で $N 個の$ 3 次元体積積分と $N$ 個のスピンに関する和です。微分体積要素 $d 3 r i$ $は " dV i$ " または " $dx i dy i dz i$ "とも表記されます。

位置空間波動関数または位置-スピン空間波動関数の多次元フーリエ変換により、運動量空間波動関数または運動量-スピン空間波動関数が得られる。

確率の解釈

3次元空間におけるスピンを持つ $N$ 個の粒子の一般の場合、 $Ψを$ 確率振幅と解釈すると、確率密度は $\rho \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\right|^{2}$

そして、時刻 $t$ において粒子 1 がスピン $s$ $z$ $1$ $=$ $m$ $1$ の領域 $R 1$ にあり、粒子 2 がスピン $s$ $z$ $2$ $=$ $m$ $2の領域$ $R$ $2$ にあるなどの確率は、これらの領域にわたる確率密度の積分であり、これらのスピン数で評価されます。

P_{\mathbf {r} _{1}\in R_{1},s_{z\,1}=m_{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}\in R_{N},s_{z\,N}=m_{N}}(t)=\int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}\int _{R_{2}}d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},m_{1}\cdots m_{N},t\right)\right|^{2}

位相の物理的意義

非相対論的量子力学では、シュレーディンガーの時間依存波動方程式を用いて、次の式が成り立つことが示される。

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$ 満たされている ${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$ 確率密度と ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\hbar }{2im}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}{\text{Im}}(\psi ^{*}\nabla \psi )}$ は、上記の式の連続方程式の形式に従って、確率流束として知られています。

波動関数には以下の式を用いる。 $\psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}\exp {\frac {iS(\mathbf {x} ,t)}{\hbar }}$ どこ ${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$ 確率密度と ${\textstyle S(\mathbf {x} ,t)}$ は波動関数の位相であり、以下のことが示される。

$\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\rho \nabla S}{m}}$

したがって、位相の空間的変動が確率流束を特徴づける。

古典的な類推では、 ${\textstyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$ 数量 ${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$ は速度に類似している。ただし、これは文字通りの解釈を意味するものではないことに注意する。 ${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$ 速度と位置は不確定性原理により同時に決定できないため、速度として扱います。シュレーディンガーの時間依存波動方程式に波動関数の形式を代入し、古典極限を取ると、 ${\textstyle \hbar |\nabla ^{2}S|\ll |\nabla S|^{2}}$ :

${\frac {1}{2m}}|\nabla S(\mathbf {x} ,t)|^{2}+V(\mathbf {x} )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$

これは古典力学のハミルトン・ヤコビ方程式に類似している。この解釈はハミルトン・ヤコビ理論に合致しており、 ${\textstyle \mathbf {P} _{\text{class.}}=\nabla S}$ ここで、 $S$ はハミルトンの主関数である。^{[ 38 ]}

時間依存性

時間に依存しないポテンシャル中の系の場合、波動関数は常に自由度と時間依存の位相因子の積の関数として表すことができ、その形式はシュレーディンガー方程式で与えられます。N個 $の$ 粒子の場合、位置のみを考慮し、他の自由度を無視すると、 $\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,$ ここで、 $Eは固有状態$ $Ψ$ に対応する系のエネルギー固有値である。この形式の波動関数は定常状態と呼ばれる。

量子状態と演算子の時間依存性は、演算子と状態に対するユニタリ変換に従って配置できます。任意の量子状態 $| Ψ ⟩$ と演算子 $O$ に対して、シュレーディンガー描像では $、| Ψ(t) ⟩$ はシュレーディンガー方程式に従って時間とともに変化しますが、 $O$ は定数です。ハイゼンベルク描像では、その逆で、 $| Ψ ⟩$ は定数ですが、 $O (t)$ はハイゼンベルク運動方程式に従って時間とともに変化します。ディラック（または相互作用）描像は中間的で、時間依存性は運動方程式に従って変化する演算子と状態の両方に配置されます。これは主にS 行列要素の計算に役立ちます。^{[ 39 ]}

非相対論的な例

以下は、非相対論的なスピンを持たない粒子1個に対するシュレーディンガー方程式の解である。

有限のポテンシャル障壁

$高さV₀$ の有限ポテンシャル障壁における散乱。左方向および右方向 $に$ 進む波の振幅と方向が示されている。赤色で示されているのは、反射振幅と透過振幅の導出に使用される波である。この図では $E > V₀ である。$

波動力学の最も顕著な特徴の1つは、粒子が（古典力学では）不可能な力ポテンシャルを持つ場所に到達できる可能性である。一般的なモデルは「ポテンシャル障壁」であり、1次元の場合はポテンシャルが $V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}$ そして、波動方程式の定常解は（定数 $k 、 κ$ に対して）次の形式をとる。 $\Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}$

これらの波動関数は規格化されていないことに注意してください。詳細については散乱理論を参照してください。

$この標準的な解釈では、$ $粒子の流れが左側（負のx$ の方向）からステップに発射されると考えられます。A $r = 1と設定すると、粒子が 1 つずつ発射されます。A$ $r$ と $C$ $r を$ 含む項は右方向への運動を、 $A l$ と $C l は$ 左方向への運動を表します。このビームの解釈では、右側から粒子が来ないため、 $C l = 0$ とします。境界での波動関数とその導関数の連続性を適用することで、上記の定数を決定することができます。

半径が励起子ボーア半径よりも小さい半導体結晶では、励起子が圧縮され、量子閉じ込め効果が生じる。この場合、エネルギー準位は箱の中の粒子モデルを用いてモデル化することができ、異なる状態のエネルギーは箱の長さに依存する。

量子調和振動子

量子調和振動子の波動関数はエルミート多項式 $H n$ で表すことができ、それらは次のようになる。 $\Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}$ ここで $n = 0, 1, 2, ...$ 。

水素原子

水素原子中の電子の波動関数は、球面調和関数と一般化ラゲール多項式で表されます（これらは著者によって定義が異なります。水素原子とこれらに関するメイン記事を参照してください）。

球面座標を使うと便利で、波動関数は各座標の関数に分離できます。^{[ 40 ]} $\Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )$ ここで、 $R$ は動径関数であり、 $Y m ℓ (θ, φ)$ は次数 $ℓ$ で次数 $m$ の球面調和関数です。これは、シュレーディンガー方程式が厳密に解かれた唯一の原子です。多電子原子には近似法が必要です。解の族は次のとおりです。^[⁴¹^] $\Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )$ ここで、 $a 0 = 4 πε 0 ħ 2 / m e e 2$ はボーア半径、 $L 2 ℓ + 1 n - ℓ - 1$ は次数 $n$ $-$ $ℓ$ $- 1の$ 一般化ラゲール多項式、 $n$ $= 1, 2, ...$ は主量子数、 $ℓ$ $= 0, 1, ...,$ $n$ $- 1$ は方位量子数、 $m$ $= -$ $ℓ$ $, -$ $ℓ$ $+ 1, ...,$ $ℓ$ $- 1,$ $ℓ$ は磁気量子数です。水素様原子は非常に似た解を持ちます。

この解法は電子のスピンを考慮に入れていない。

水素原子軌道の図において、19個のサブイメージは位置空間における波動関数（ノルムの二乗）のイメージである。波動関数は、各イメージの右下にある量子数 $（ n 、 ℓ 、 m ）$ の3つ組によって特徴づけられる抽象的な状態を表している。これらは主量子数、軌道角運動量量子数、および磁気量子数である。電子のスピン射影量子数と合わせると、これは完全な観測量のセットとなる。

この図は、波動関数の関数空間のさらなる性質を説明するのに役立つ。

この場合、波動関数は二乗可積分です。関数空間は、通常 $L 2$ で表される二乗可積分関数の空間として最初に考えることができます。
表示されている関数はシュレーディンガー方程式の解です。明らかに、 $L 2内のすべての関数が水素原子のシュレーディンガー方程式を満たすわけではありません。したがって、関数空間は$ $L 2$ の部分空間です。
表示されている関数は、関数空間の基底の一部を形成します。各3つ組 $(n, ℓ, m)$ には、基底波動関数が対応します。スピンを考慮すると、各3つ組に対して2つの基底関数が存在します。したがって、関数空間は可算基底を持ちます。
基底関数は互いに正規直交関係にある。

波動関数と関数空間

波動関数に関する議論において、関数空間の概念は自然に登場します。関数空間とは、通常、関数に何らかの定義条件（この場合は二乗可積分であること）が課せられた関数の集合であり、場合によっては集合上に代数構造（この場合は内積を持つベクトル空間構造）と位相が与えられます。後者はここではほとんど使用しませんが、関数空間の部分集合が閉集合であるとはどういうことかを正確に定義するために必要となります。以下で、波動関数の関数空間はヒルベルト空間であると結論付けられます。この観察は、量子力学の主要な数学的定式化の基礎となっています。

ベクトル空間構造

波動関数は、以下の具体的および抽象的な記述によって部分的に特徴付けられる関数空間の要素である。

シュレーディンガー方程式は線形方程式です。つまり、その解である波動関数は、加算やスカラー倍によって新たな解を生成できます。シュレーディンガー方程式の解の集合はベクトル空間を形成します。
量子力学の重ね合わせの原理。Ψと $Φが$ $量子力学$ 系の抽象的な状態空間における2つの状態であり、 $a$ と $bが$ 任意の2つの複素数である場合、 $aΨ$ $+$ $bΦ$ $も$ 有効な状態である。（零ベクトルが有効な状態（「システムが存在しない」状態）として数えられるかどうかは定義の問題である。零ベクトルは、少なくとも量子場理論における真空状態を表すものではない。）許容される状態の集合はベクトル空間である。

この類似性は当然ながら偶然ではない。ただし、それぞれの空間には留意すべき相違点も存在する。

表現

基本状態は、量子数の集合によって特徴づけられます。これは、可換な観測量の最大集合の固有値の集合です。物理的な観測量は、ベクトル空間上の線形演算子（観測量とも呼ばれる）によって表されます。最大性とは、既に存在する観測量と可換な、代数的に独立な観測量を、それ以上集合に追加できないことを意味します。このような集合の選択は、表現の選択と呼ばれることがあります。

量子力学の公準として、位置、運動量、スピンなどの系の物理的に観測可能な量は、状態空間上の線形エルミート演算子によって表される。その量の測定の可能な結果は、演算子の固有値である。 ^{[ 18 ]}より深いレベルでは、ほとんどの観測量、おそらくすべては、対称性の生成子として生じる。^{[ 18 ]}^{[ 42 ]}^{[ nb 6 ]}
物理的な解釈としては、このような集合は、理論上は任意の精度で同時に測定可能なものを表している。ハイゼンベルクの不確定性原理は、互いに可換でない2つの観測量を同時に正確に測定することを禁じている。
$この集合は$ 一意ではありません。例えば、1粒子系の場合、位置とスピンの $z$ 射影 $(x, Sz)$ となる場合もあれば、運動量とスピンの $y$ 射影 $(p, Sy)となる場合もあり$ ます。この場合、位置に対応する演算子(位置表現における乗算演算子)と運動量に対応する演算子(位置表現における微分演算子)は可換ではありません。
表現方法が選択された後も、まだ任意性が残っています。座標系を選択する必要があるのです。これは、例えば、 $x 、 y$ 、 $z$ 軸の選択に対応する場合もあれば、水素原子波動関数に使用される球座標に代表されるような曲線座標の選択に対応する場合もあります。この最後の選択によって、抽象ヒルベルト空間の基底も固定されます。基本状態は、可換な観測量の最大集合と適切な座標系に対応する量子数によってラベル付けされます。^[^{nb 7}^]

抽象状態が「抽象的」であるのは、それを明示的に記述するために必要な任意の選択が与えられていないという点においてのみです。これは、可換な観測量の最大集合の選択が与えられていないことと同じです。これは、基底が指定されていないベクトル空間に類似しています。したがって、状態に対応する波動関数は一意ではありません。この非一意性は、可換な観測量の最大集合の選択における非一意性を反映しています。1次元の1つのスピン粒子に対して、特定の状態には、同じ状態を記述する2つの波動関数 $Ψ(x, S z)$ と $Ψ(p, S y)$ が対応します。

抽象状態空間における観測量の最大可換集合のそれぞれの選択に対して、波動関数の関数空間に関連付けられた対応する表現が存在する。
これら様々な関数空間と抽象状態空間の間には、一対一の対応関係が存在する（ここでは正規化と観測不可能な位相因子は無視する）。ここでの共通項は、特定の抽象状態である。例えば、同じ状態を記述する運動量空間と位置空間の波動関数の関係は、フーリエ変換である。

それぞれの表現方法の選択は、その表現方法に対応する波動関数が存在する固有の関数空間を指定するものと考えるべきである。たとえそのような関数空間が数学的に等しいと主張できたとしても（例えば、二乗可積分関数の集合など）、この区別は維持するのが最善である。その場合、関数空間は、その集合の異なる2つのコピーと考えることができる。

内積

波動関数のベクトル空間と抽象状態空間には、さらに別の代数的構造が存在する。

物理的には、異なる波動関数はある程度重なり合うと解釈されます。状態 $Ψ$ にあるシステムが状態 $Φと$ 重なり合わない場合、測定時に状態 $Φ$ にあるとは見なされません。しかし、 $Φ$ $1$ $、 Φ$ $2$ $、 \dots$ が $Ψ$ とある程度重なり合う場合、 $Ψ$ で記述されるシステムの測定結果が状態 $Φ$ $1$ $、 Φ$ $2$ $、 \dots$ にあると見なされる可能性があります。また、選択則が適用されることも観察されます。これらは通常、いくつかの量子数の保存という形で定式化されます。これは、初期および最終の全波動関数が重なり合わないため、ある観点（例えば、エネルギーと運動量の保存）から許容される特定のプロセスが発生しないことを意味します。
数学的には、特定のポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式の解は、ある意味で直交することが判明しており、これは通常、積分によって記述される。 $\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},$ ここで、 $m 、 nは$ 異なる解をラベル付けするインデックス（量子数）の集合であり、厳密に正の関数 $w$ は重み関数と呼ばれ、 $δmn は$ クロネッカーのデルタである。積分は関連する空間全体で行われる。

これは、抽象量子状態のベクトル空間に内積を導入する動機となり、表現への移行時に上記の数学的考察と整合します。これは $(Ψ, Φ)$ 、またはブラケット記法では $⟨ Ψ | Φ ⟩$ と表記されます。これは複素数になります。内積を用いると、関数空間は内積空間になります。内積 (通常は積分または積分の和) の明示的な出現は表現の選択に依存しますが、複素数 $(Ψ, Φ) は$ 依存しません。量子力学の物理的解釈の多くは、ボルンの規則に由来します。ボルンの規則は、システムが状態 $Ψ$ にあるときに測定によって状態 $Φ$ が見つかる確率 $p は$ 、 $p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},$ ここで $、Φ$ と $Ψ は$ 正規化されていると仮定します。散乱実験を考えてみましょう。量子場理論では、 $Φ out が$ 散乱粒子間の相互作用が停止した後の「遠い未来」（「アウト状態」）の状態を表し、 $Ψ in が$ 「遠い過去」の「イン状態」を表す場合、 $Φ$ $out$ と $Ψ$ $in$ がそれぞれ完全なイン状態とアウト状態のセットにわたって変化する量 (Φ out 、Ψ in ) は、S 行列または散乱行列と呼ばれます $。これを知ること$ は、少なくとも予測に関しては、その理論を解いたことに相当します。減衰率や散乱断面積などの測定可能な量は、S 行列から計算できます。^[⁴³^]

ヒルベルト空間

上記の観察は、波動関数が要素である関数空間の本質を捉えています。しかし、この説明はまだ完全ではありません。関数空間には、完全性という技術的な要件がさらにあります。これにより、関数空間内の数列の極限を取ることができ、極限が存在する場合、それが関数空間の要素であることが保証されます。完全な内積空間はヒルベルト空間と呼ばれます。完全性の性質は、量子力学の高度な扱いと応用において重要です。たとえば、射影演算子または直交射影の存在は、空間の完全性に依存します。^{[ 44 ]}これらの射影演算子は、スペクトル定理など、多くの有用な定理の記述と証明に不可欠です。入門的な量子力学ではそれほど重要ではなく、技術的な詳細とリンクは、次の脚注のようなもので見つけることができます。^{[ nb 8 ]} 空間 $L 2$ はヒルベルト空間であり、内積は後で説明します。図の例の関数空間は $L2$ の部分空間である。ヒルベルト空間の部分空間は、それが閉じている場合にヒルベルト空間となる $。$

要約すると、特定の基底の選択を持つ系に対して可能なすべての正規化可能な波動関数の集合と零ベクトルは、ヒルベルト空間を構成する。

$関心のある関数のすべてが、例えばL 2$ のようなヒルベルト空間の要素であるとは限りません。最も顕著な例は、関数 $e 2 πi p \cdot x ⁄ h$ の集合です。これらは自由粒子のシュレーディンガー方程式の平面波解であり、正規化できないため、 $L 2$ には含まれません。しかし、それでも記述には不可欠です。これらを用いることで、波束を用いて正規化可能な関数を表現できます。これらは、ある意味で、関心のある波動関数を表現できる基底（ただし、ヒルベルト空間の基底でも、ハーメル基底でもない）です。また、表記上の便宜のために頻繁に用いられる「デルタ関数への正規化」という人工的な表現もあります（後述）。デルタ関数自体も二乗可積分ではありません。

波動関数を含む関数空間の上記の説明は、主に数学的な動機に基づいています。関数空間は、完全性のため、ある意味で非常に大きいものです。すべての関数が、あらゆる物理システムの現実的な記述であるとは限りません。たとえば、関数空間 $L 2$ $では、区間[0, 1]$ 内のすべての有理数に対して $0 の$ 値を取り、無理数に対して $- i の$ 値を取る関数を見つけることができます。これは二乗可積分ですが^[^{nb 9}^] 、物理状態を表すことはほとんどできません。

共通ヒルベルト空間

解の空間全体はヒルベルト空間であるが、構成要素としてよく現れる他の多くのヒルベルト空間も存在する。

区間 $[0, 2 π]$ 上の二乗可積分な複素数値関数。集合 ${e int /2 π, n \in Z}$ はヒルベルト空間の基底、すなわち最大正規直交集合である。
フーリエ変換は、上記の空間の関数を、平方和可能な関数の空間である $l 2 (Z)の要素に取ります$ $。Z$ $\to$ $C$ 。後者の空間はヒルベルト空間であり、フーリエ変換はヒルベルト空間の同型です。^[^{nb 10}^]その基底は ${$ $e$ $i$ $,$ $i$ $\in$ $Z$ $}$ であり、 $e$ $i$ $($ $j$ $) =$ $δ$ $ij$ $、$ $i$ $、$ $j$ $\in$ $Z$ です。
$多項式を張る最も基本的な例は、区間[-1, 1]$ 上の二乗可積分関数の空間であり、その空間ではルジャンドル多項式がヒルベルト空間の基底（完全正規直交系）となる。
単位球面 $S 2$ 上の二乗可積分関数はヒルベルト空間です。この場合の基底関数は球面調和関数です。ルジャンドル多項式は球面調和関数の構成要素です。回転対称性を持つほとんどの問題は、その対称性に関して「同じ」（既知の）解を持つため、元の問題はより低次元の問題に縮小されます。
関連するラゲール多項式は、球面調和関数を因数分解した後、水素様波動関数問題に現れます。これらは、半無限区間 $[0, \infty)$ 上の二乗可積分関数のヒルベルト空間を張ります。

より一般的には、ヒルベルト空間の設定において、シュトゥルム・リウヴィル方程式のすべての2次多項式解を統一的に扱うことを検討してもよい。これには、ルジャンドル多項式、ラゲール多項式、チェビシェフ多項式、ヤコビ多項式、エルミート多項式が含まれる。これらはすべて、実際の物理問題に現れ、後者は調和振動子に現れる。そうでなければ、特殊関数の性質の混乱した迷路が、体系化された事実の集合となる。これについては、Byron & Fuller (1992 、第5章)を参照のこと。

有限次元のヒルベルト空間も存在する。空間 $C n$ $はn$ 次元のヒルベルト空間である。内積はこれらの空間における標準的な内積である。その中に、単一粒子の波動関数の「スピン部分」が存在する。

電子の非相対論的記述では、 $n = 2であり、全波動関数は$ パウリ方程式の解である。
対応する相対論的処理では、 $n = 4$ であり、波動関数はディラック方程式を解きます。

粒子数が増えると、状況はより複雑になります。テンソル積を用い、関係する対称群（回転群とローレンツ群）の表現論を用いて、テンソル積から（全）スピン波動関数が存在する空間を抽出する必要があります。（粒子が自由でない限り、相対論的な場合にはさらに問題が生じます。^{[ 45 ]}ベテ・サルピーター方程式を参照してください。）同様の注意は、対称群がSU(2)であるアイソスピンの概念にも当てはまります。60年代の核力のモデル（今日でも有用です。核力を参照してください）では、対称群SU(3)が使用されました。この場合も、内部対称性に対応する波動関数の部分は、 $C$ $n$ またはそのような空間のテンソル積の部分空間に存在します。

量子場理論において、基礎となるヒルベルト空間はフォック空間である。これは、表現を選択すれば、自由単粒子状態、すなわち波動関数から構築され、時間的に一定とは限らない有限個の粒子を収容することができる。興味深い（あるいは扱いやすい）ダイナミクスは、波動関数ではなく、フォック空間に作用する場演算子にある。したがって、ハイゼンベルク描像（状態は一定、演算子は時間的に変化する）が最も一般的な選択肢となる。

システムの次元が無限であるため、適切な数学的手法は関数解析の研究対象となる。

簡略化された説明

すべての入門教科書が長い道のりをたどり、完全なヒルベルト空間の仕組みを紹介するわけではなく、特定の標準ポテンシャルに対する位置表示の非相対論的シュレーディンガー方程式に重点が置かれています。計算と物理的解釈が意味を持つように、波動関数に対する次の制約が明示的に定式化されることがあります。^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}

波動関数は二乗可積分でなければならない。これは、波動関数を確率振幅として捉えるコペンハーゲン解釈に基づいている。
それはあらゆる場所で連続かつあらゆる場所で連続微分可能でなければならない。これは、物理的に妥当なほとんどのポテンシャルに対してシュレーディンガー方程式が現れるという事実に基づいている。

特別な目的のために、これらの条件を多少緩和することは可能です。^{[注11 ]} これらの要件が満たされない場合、波動関数を確率振幅として解釈することはできません。^{[ 48 ]}ポテンシャル場の無限不連続点では、導関数の連続性の規則に例外が生じる可能性があることに注意してください。たとえば、ポテンシャルが無限不連続であることがわかっている箱の境界で波動関数の導関数が不連続になる可能性がある箱の中の粒子の場合です。

これは、これらの特定の波動関数が存在するヒルベルト空間の構造を変えるものではありませんが、2 番目の要件を満たす二乗可積分関数のサブスペース $L 2$ はヒルベルト空間であり、 $L$ $2$ では閉じていないため、それ自体はヒルベルト空間ではありません。^[^{nb 12}^] 要件を満たさない関数は、技術的および実用的な理由の両方から依然として必要です。^[^{nb 13}^]^[^{nb 14}^]

波動関数と抽象状態空間についてさらに詳しく

既に述べたように、あるシステムの何らかの表現におけるすべての可能な波動関数の集合は、一般に無限次元のヒルベルト空間を構成します。表現基底の選択肢が複数あるため、これらのヒルベルト空間は一意ではありません。したがって、表現と基底の選択が未決定のまま残される抽象的なヒルベルト空間、状態空間について議論します。具体的には、各状態は状態空間において抽象的なベクトルとして表現されます。 ^{[ 49 ]}任意の表現における量子状態 $| Ψ⟩ は$ 一般にベクトルとして表現されます。 $|\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi _{t}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }})\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle$ どこ

$| α, ω ⟩ は、$ 選択された表現の基底ベクトルです。
$d m ω = dω 1 dω 2 ... dω m$ 連続自由度における微小体積要素
${\boldsymbol {\Psi }}_{t}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }})$ ベクトルの成分 $|\Psi \rangle$ システムの波動関数と呼ばれる
$α = (α 1, α 2, ..., α n)$ は無次元の離散量子数である。
$ω = (ω 1, ω 2, ..., ω m)$ 連続変数（必ずしも無次元ではない）

これらの量子数は状態ベクトルの成分をインデックス付けします。さらに、すべての $α$ は $n$ 次元集合 $A = A 1 \times A 2 \times ... \times A n$ に属し、各 $A i$ $はα i$ の許容値の集合です。すべての $ωは$ $m$ 次元の「体積」 $Ω \subseteq ℝ m$ に属し、 $Ω = Ω 1 \times Ω 2 \times ... \times Ω m$ であり、各 $Ω i \subseteq Rは$ $ω i$ の許容値の集合であり、実数 $R$ の部分集合です。一般性を保つため、 $n$ と $m は$ 必ずしも等しいとは限りません。

例：

スピンsを持つ 3 次元の単一粒子について、他の自由度を無視し、デカルト座標を使用すると、z 方向の粒子のスピン量子数を $α = (s z)$ 、粒子の位置座標を $ω = (x, y, z)とすることができます。ここで$ $、A = {- s, - s + 1, ..., s - 1, s}$ は許容されるスピン量子数の集合であり、 $Ω = R 3$ は 3 次元位置空間全体におけるすべての可能な粒子位置の集合です。
別の選択肢として、y方向のスピン量子数には $α = (s y) 、粒子の運動量成分には$ $ω = (p x, p y, p z)$ を用いる方法がある。この場合、 $A$ と $Ωは$ 以前と同じである。

時刻にシステムを発見する確率密度 $t$ 状態 $| α, ω ⟩$ では $\rho _{\alpha ,\omega }(t)=|\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)|^{2}$

$α が$ 可能な離散変数構成の一部またはすべて $D \subseteq A$ にあり、 $ω が$ 可能な連続変数構成の一部またはすべて $C \subseteq Ω$ にあるシステムを見つける確率は、密度に関する和と積分である。^{[ nb 15 ]} $P(t)=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in D}\int _{C}d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\rho _{\alpha ,\omega }(t)$

すべての確率の合計は 1 でなければならないため、正規化条件 $1=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in A}\int _{\Omega }d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\rho _{\alpha ,\omega }(t)$ システムの進化過程において、常に維持されなければならない。

正規化条件では、 $ρ d m ω が$ 無次元である必要があり、次元解析により、 $Ψ は$ $(ω 1 ω 2 ... ω m) -1/2$ と同じ単位を持つ必要があります。

オントロジー

波動関数が実際に存在するのか、そしてそれが何を表しているのかは、量子力学の解釈における重要な問題である。エルヴィン・シュレーディンガー、アルベルト・アインシュタイン、ニールス・ボーアなど、前世代の多くの著名な物理学者がこの問題に頭を悩ませた。コペンハーゲン解釈の定式化や変形を提唱する者もいれば（ボーア、ユージン・ウィグナー、ジョン・フォン・ノイマンなど）、ジョン・アーチボルド・ホイーラーやエドウィン・トムソン・ジェインズのように、より古典的なアプローチ^[⁵⁰^]を取り、波動関数は観測者の心の中にある情報、つまり現実に関する我々の知識の尺度を表していると考える者もいる。シュレーディンガー、デイヴィッド・ボーム、ヒュー・エヴェレット3世など一部の者は、波動関数は客観的な物理的存在を持たなければならないと主張した。アインシュタインは、物理的現実の完全な記述は、抽象的な数学的空間を参照する波動関数とは区別して、物理的な空間と時間に直接言及するべきだと考えた。^[⁵¹^]

注記

備考

↑ここで関数は、二乗可積分関数の空間 $L 2$ の要素であると仮定します。この空間の要素は、より正確には二乗可積分関数の同値類であり、2 つの関数がルベーグ測度 $0の集合上で異なる場合に同値であると宣言されます。これは、$ 半内積ではなく内積 (つまり、 $(Ψ, Ψ) = 0 \Rightarrow Ψ \equiv 0$ ) を得るために必要です。積分はルベーグ積分とします。これは空間の完全性にとって不可欠であり、完全な内積空間 = ヒルベルト空間が得られます。
↑量子力学では、可分ヒルベルト空間のみが考慮され、ツォルンの補題を用いると、線形代数の意味での正規直交基底（ハーメル基底）ではなく、可算無限のシャウダー基底が許容されることになる。
↑厳密に言えば、これらはヒルベルト空間に属しません。詳細はスペクトル定理を参照してください。
1 2グリフィス、デイビッド J. 『量子力学入門（第 3版）』によれば、「ディラック直交性」とも呼ばれる
↑空間 $L 2$ $上のユニタリ演算子として見たフーリエ変換は、\pm1、\pm i の$ 固有値を持ちます。固有ベクトルは「エルミート関数」、つまりガウス関数を乗じたエルミート多項式です。フーリエ変換をユニタリ変換として説明するには、 Byron & Fuller (1992)を参照してください。固有値と固有値については、第 9 章の問題 27 を参照してください。
↑この記述が意味を成すためには、観測量が最大可換集合の要素である必要があります。これを確認するには、例えば、n粒子系におけるi番目の粒子の運動量演算子は、自然界のいかなる対称性も生成しないことに注目すれば簡単です。一方、全運動量自然界の対称性、すなわち並進対称性の生成子です。
↑結果として得られる基底は、数学的な意味でのヒルベルト空間の基底である場合もあれば、そうでない場合もあります。例えば、位置と運動量が確定している状態は二乗積分可能ではありません。これは、波動パケットを用いるか、システムを「箱」で囲むことによって克服できます。詳細は後述の注釈を参照してください。
↑技術的には、これは次のように定式化されます。内積はノルムを生成します。このノルムは、今度は計量を誘導します。この計量が完備であれば、前述の極限は関数空間に含まれます。内積空間は完備と呼ばれます。完備な内積空間はヒルベルト空間です。抽象状態空間は常にヒルベルト空間として扱われます。関数空間のマッチング要件は自然なものです。抽象状態空間のヒルベルト空間特性は、もともとシュレーディンガー方程式の正規化可能な解を形成する関数空間がヒルベルト空間であるという観察から抽出されました。
↑後述の脚注で説明されているように、積分はルベーグ積分でなければならず、リーマン積分では不十分である。
↑ Conway 1990。これは、内積、ひいてはノルムが保存され、写像が有界、すなわち連続な線形全単射であることを意味します。完備性の性質も保存されます。したがって、これはヒルベルト空間の圏における同型性の正しい概念です。
↑そのような緩和の一つは、波動関数がソボレフ空間W ^{1,2に属していなければならないというものです。これは、}波動関数が分布の意味で微分可能であり、その勾配が二乗可積分であることを意味します。この緩和は、ディラックのデルタ関数のように、関数ではなく分布であるポテンシャルに対して必要です。
↑不連続関数に収束するという要件を満たす関数のシーケンスを視覚化するのは簡単です。そのためには、内積空間#いくつかの例で示されている例を修正します。ただし、この要素 $はL$ $2$ の要素です。
↑例えば、摂動論では、真の波動関数を近似する関数列を構築することができる。この関数列はより大きな空間で収束することが保証されるが、完全なヒルベルト空間を仮定しない限り、収束が関連空間内の関数に収束し、元の問題を解決することが保証されるわけではない。
↑平面波自由粒子解のように二乗積分できない関数は、前の注記およびさらに後述するように、説明に必要です。
↑こちら： $\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\equiv \sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}\equiv \sum _{\alpha _{1}}\sum _{\alpha _{2}}\cdots \sum _{\alpha _{n}}$ これは倍数の合計です。

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さらに読む

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ポルキングホーン、ジョン（2002）。量子論入門。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-280252-1。

外部リンク

エンジニアのための量子力学
スピン波動関数（ニューヨーク大学）
同一粒子再考、マイケル・ファウラー
多電子波動関数の性質
バークレーXの量子力学と量子計算（ 2013年5月13日にWayback Machineにアーカイブ済み）
アインシュタイン、『放射の量子論』

[30] ここで関数は、二乗可積分関数の空間 $L 2$ の要素であると仮定します。この空間の要素は、より正確には二乗可積分関数の同値類であり、2 つの関数がルベーグ測度 $0の集合上で異なる場合に同値であると宣言されます。これは、$ 半内積ではなく内積 (つまり、 $(Ψ, Ψ) = 0 \Rightarrow Ψ \equiv 0$ ) を得るために必要です。積分はルベーグ積分とします。これは空間の完全性にとって不可欠であり、完全な内積空間 = ヒルベルト空間が得られます。

[31] 量子力学では、可分ヒルベルト空間のみが考慮され、ツォルンの補題を用いると、線形代数の意味での正規直交基底（ハーメル基底）ではなく、可算無限のシャウダー基底が許容されることになる。

[32] 厳密に言えば、これらはヒルベルト空間に属しません。詳細はスペクトル定理を参照してください。

[:0-33] 1 2グリフィス、デイビッド J. 『量子力学入門（第 3版）』によれば、「ディラック直交性」とも呼ばれる

[36] 空間 $L 2$ $上のユニタリ演算子として見たフーリエ変換は、\pm1、\pm i の$ 固有値を持ちます。固有ベクトルは「エルミート関数」、つまりガウス関数を乗じたエルミート多項式です。フーリエ変換をユニタリ変換として説明するには、 Byron & Fuller (1992)を参照してください。固有値と固有値については、第 9 章の問題 27 を参照してください。

[48] この記述が意味を成すためには、観測量が最大可換集合の要素である必要があります。これを確認するには、例えば、n粒子系におけるi番目の粒子の運動量演算子は、自然界のいかなる対称性も生成しないことに注目すれば簡単です。一方、全運動量自然界の対称性、すなわち並進対称性の生成子です。

[49] 結果として得られる基底は、数学的な意味でのヒルベルト空間の基底である場合もあれば、そうでない場合もあります。例えば、位置と運動量が確定している状態は二乗積分可能ではありません。これは、波動パケットを用いるか、システムを「箱」で囲むことによって克服できます。詳細は後述の注釈を参照してください。

[52] 技術的には、これは次のように定式化されます。内積はノルムを生成します。このノルムは、今度は計量を誘導します。この計量が完備であれば、前述の極限は関数空間に含まれます。内積空間は完備と呼ばれます。完備な内積空間はヒルベルト空間です。抽象状態空間は常にヒルベルト空間として扱われます。関数空間のマッチング要件は自然なものです。抽象状態空間のヒルベルト空間特性は、もともとシュレーディンガー方程式の正規化可能な解を形成する関数空間がヒルベルト空間であるという観察から抽出されました。

[53] 後述の脚注で説明されているように、積分はルベーグ積分でなければならず、リーマン積分では不十分である。

[54] Conway 1990。これは、内積、ひいてはノルムが保存され、写像が有界、すなわち連続な線形全単射であることを意味します。完備性の性質も保存されます。したがって、これはヒルベルト空間の圏における同型性の正しい概念です。

[58] そのような緩和の一つは、波動関数がソボレフ空間W ^{1,2に属していなければならないというものです。これは、}波動関数が分布の意味で微分可能であり、その勾配が二乗可積分であることを意味します。この緩和は、ディラックのデルタ関数のように、関数ではなく分布であるポテンシャルに対して必要です。

[60] 不連続関数に収束するという要件を満たす関数のシーケンスを視覚化するのは簡単です。そのためには、内積空間#いくつかの例で示されている例を修正します。ただし、この要素 $はL$ $2$ の要素です。

[61] 例えば、摂動論では、真の波動関数を近似する関数列を構築することができる。この関数列はより大きな空間で収束することが保証されるが、完全なヒルベルト空間を仮定しない限り、収束が関連空間内の関数に収束し、元の問題を解決することが保証されるわけではない。

[62] 平面波自由粒子解のように二乗積分できない関数は、前の注記およびさらに後述するように、説明に必要です。

[64] こちら： $\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\equiv \sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}\equiv \sum _{\alpha _{1}}\sum _{\alpha _{2}}\cdots \sum _{\alpha _{n}}$ これは倍数の合計です。

[FOOTNOTEBorn1927354–357-1] 1927年生まれ、354～357ページ。

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[3] ハイゼンベルク、W. (1927/1985/2009)。ハイゼンベルクはカミレーリ訳、2009年、 71ページ（ボーア訳、1985年、 142ページより）。

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[13] アインシュタイン 1916 、pp. 47–62、およびほぼ同じバージョンのアインシュタイン 1917 、pp. 121–128 、ter Haar 1967 、pp. 167–183に翻訳。

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[23] ワインバーグ（2002）は、量子場理論がそのような形になっているのは、量子力学と特殊相対性理論を調和させる唯一の方法だからだという立場を取っている

[24] Weinberg (2002)特に第5章を参照。これらの結果の一部はそこで導出されている。

[25] ワインバーグ 2002第4章。

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[44] Weinberg 2002第3章、散乱行列。

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