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数学において、WVD ホッジにちなんで名付けられたホッジ理論は、偏微分方程式を用いて滑らかな多様体Mのコホモロジー群を研究する方法である。重要な点は、M上のリーマン計量が与えられたとき、すべてのコホモロジー類には標準代表元、すなわち計量のラプラシアン作用素の下で消滅する微分形式が存在するということである。このような形式は調和形式と呼ばれる。
この理論は、1930年代にホッジによって代数幾何学の研究のために開発され、ジョルジュ・ド・ラームのド・ラームコホモロジーに関する研究に基づいている。主な応用分野は、リーマン多様体とケーラー多様体の2つである。ホッジの主な動機である複素射影多様体の研究は、後者のケースに含まれる。ホッジ理論は、特に代数サイクルの研究との関連において、代数幾何学における重要なツールとなっている。
ホッジ理論は本質的に実数と複素数に依存しているが、数論における問題にも応用できる。算術的な状況において、 p進ホッジ理論の手法は、古典的なホッジ理論の代替的な証明、あるいは類似の結果をもたらしてきた。
1920年代、代数トポロジーの分野はまだ黎明期にあった。コホモロジーの概念はまだ確立されておらず、微分形式とトポロジーの相互作用は十分に理解されていなかった。1928年、エリー・カルタンは「閉群空間のベッティ数について」という論文を発表し、微分形式とトポロジーは関連付けられるべきだと示唆したが、証明はしなかった。当時学生だったジョルジュ・ド・ラームはこれを読み、インスピレーションを得た。1931年の学位論文で、彼は現在ド・ラームの定理と呼ばれる結果を証明した。ストークスの定理によれば、任意のコンパクトで滑らかな多様体Mに対して、特異鎖に沿った微分形式の積分は、以下に示すような双線形ペアリングを誘導する。
元々述べたように、[ 1 ]ド・ラームの定理は、これが完全ペアリングであり、したがって左辺の各項は互いにベクトル空間の双対であると主張しています。現代の言葉では、ド・ラームの定理は、実係数の特異コホモロジーがド・ラームコホモロジーと同型であるという記述として表現されることが多いです。
ド・ラームの元の主張は、実数体上では特異コホモロジーが特異ホモロジーの双対であるという事実から導かれる結果である。
また、1927年のソロモン・レフシェッツの論文では、位相幾何学的手法を用いてリーマンの定理を再証明した。[ 2 ]現代の言葉で言えば、ω 1とω 2 が代数曲線C上の正則微分である場合、C は複素次元を 1 つしか持たないため、それらのウェッジ積は必然的にゼロになる。したがって、それらのコホモロジー類のカップ積はゼロになり、明示的に示すと、レフシェッツはリーマン関係式の新しい証明を得た。さらに、ω がゼロでない正則微分である場合、は正の体積形式であり、レフシェッツはそこからリーマンの不等式を再導出することができた。1929年、WVDホッジはレフシェッツの論文を知った。彼はすぐに、同様の原理が代数曲面にも適用されることに気づいた。より正確には、ωが代数曲面上の非零正則形式である場合、は正なので、カップの積はそしてはゼロでない必要がある。したがって、ω自体がゼロでないコホモロジー類を表す必要があり、その周期はすべてゼロであってはならない。これはセヴェリの問題を解決した。[ 3 ]
ホッジは、これらの手法はより高次元の多様体にも適用できるはずだと考えていた。同僚のピーター・フレイザーは、彼にド・ラームの論文を勧めた。ド・ラームの論文を読んだホッジは、リーマン面上の正則1形式の実部と虚部が、ある意味で互いに双対であることに気づいた。彼は、より高次元にも同様の双対性があるはずだと推測した。この双対性は現在、ホッジスター演算子として知られている。彼はさらに、各コホモロジー類には、自身とその双対の両方が外微分演算子の下で消滅するという性質を持つ特別な代表元が存在するはずだと推測した。これらは現在、調和形式と呼ばれている。ホッジは1930年代のほとんどをこの問題に費やした。彼の最初の証明の試みは1933年に発表されたが、彼はそれを「極めて粗雑」だと考えていた。 同時代の最も優れた数学者の一人であるヘルマン・ワイルは、ホッジの証明が正しいかどうかを判断できなかった。 1936年、ホッジは新たな証明を発表した。ホッジ自身はこの新しい証明がはるかに優れていると考えていたが、ボーネンブルストによって重大な欠陥が発見された。ヘルマン・ワイルと小平邦彦はそれぞれ独立にホッジの証明を修正し、その誤りを訂正した。これにより、ホッジが求めていた調和形式とコホモロジー類との同型性が確立された。
振り返ってみると、存在定理における技術的な難しさは、実際には画期的な新しいアイデアを必要とするものではなく、古典的な手法を慎重に拡張するだけでよかったことが明らかである。ホッジの最大の貢献である真の革新性は、調和積分の概念とその代数幾何学における重要性にあった。このように概念が技術を凌駕した例は、ホッジの偉大な先駆者であるベルンハルト・リーマンの業績における同様のエピソードを彷彿とさせる。
— MF Atiyah、William Vallance Douglas Hodge、1903年6月17日 - 1975年7月7日、王立協会フェローの伝記、第22巻、1976年、169-192ページ。
ホッジ理論はド・ラーム複体を参照する。Mを滑らかな多様体とする。非負整数kに対して、Ω k ( M )をM上の次数kの滑らかな微分形式の実ベクトル空間とする。ド・ラーム複体は微分作用素の列である。
ここで、d k はΩ k ( M ) 上の外微分を表します。これは、 d k +1 ∘ d k = 0 ( d 2 = 0とも表記)という意味でコチェイン複体です。ド・ラームの定理によれば、実係数を持つMの特異コホモロジーは、ド・ラーム複体によって計算されます。
M上のリーマン計量gを選択し、次のことを思い出してください。
この指標は各ファイバー上で内積を生成する。各余接ファイバーからgによって誘導される内積を拡張することによって（グラミアン行列を参照）その外装製品：.内積は、与えられたk形式のペアの体積形式に関するM上の点ごとの内積の積分として定義される。gに関連付けられている。具体的には、いくつかの我々は持っています
当然ながら、上記の内積はノルムを誘導する。ただし、そのノルムは、ある固定されたk形式上で有限である。
すると、被積分関数は、 M上の実数値の二乗可積分関数であり、その点ごとのノルムによって与えられた点で評価される。
これらの内積に関するdの随伴演算子を考えてみましょう。
すると、フォーム上のラプラシアンは次のように定義される。
これは、 R n上の関数に対するラプラシアンを一般化した、2階線形微分演算子です。定義により、 M上の形式は、そのラプラシアンがゼロであれば調和的であると言えます。
ラプラシアンは、数学物理学において初めて登場した。特に、マクスウェル方程式によれば、真空中、すなわち電荷が存在しない状態における電磁場は、4次元ミンコフスキー空間として捉えた時空において、ΔF = 0となるような2形式Fで表される。
閉じたリーマン多様体上のすべての調和形式αは閉じており、dα = 0である。その結果、正準写像が存在する。 :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\to H^{k}(M,\mathbf {R} )} 。ホッジの定理は、これはベクトル空間の同型写像である。[ 4 ]言い換えれば、M上の各実コホモロジー類は一意の調和表現を持つ。具体的には、調和表現は、与えられたコホモロジー類を表す最小L 2ノルムの一意の閉形式である。ホッジの定理は楕円型偏微分方程式の理論を用いて証明され、ホッジの最初の議論は1940 年代に小平らによって完成された。
例えば、ホッジの定理は、閉多様体の実係数コホモロジー群が有限次元であることを示しています。（もちろん、これを証明する他の方法もあります。）実際、作用素 Δ は楕円型であり、閉多様体上の楕円型作用素の核は常に有限次元ベクトル空間です。ホッジの定理のもう 1 つの帰結は、閉多様体M上のリーマン計量が、 Mのねじれを法とする積分コホモロジー上の実数値内積を決定することです。例えば、Mの等長変換群の一般線形群GL( H ∗ ( M , Z ))における像は有限です（格子の等長変換群は有限であるため）。
ホッジ定理の変形として、ホッジ分解がある。これは、閉じたリーマン多様体上の任意の微分形式ωは、次の形式の3つの部分の和として一意に分解できることを示している。
ここでγは調和的である：Δγ = 0。 [ 5 ]微分形式上のL2メトリックの観点から、これは直交直和分解を与える：
ホッジ分解は、ド・ラーム複体に対するヘルムホルツ分解の一般化である。
アティヤとボットは、楕円複体をド・ラーム複体の一般化として定義した。ホッジの定理はこの設定に以下のように拡張される。は、体積形式dVを持つ閉じた滑らかな多様体M上の計量を備えたベクトル束であると仮定します。
これらは、これらのベクトル束のC ∞セクションに作用する線形微分演算子であり、誘導されたシーケンスは
は楕円複体である。直和を導入する。
L ∗ をLの随伴とする。楕円型作用素Δ = LL ∗ + L ∗ Lを定義する。ド・ラームの場合と同様に、これは調和断面のベクトル空間を与える。
させてを直交射影とし、G をΔのグリーン演算子とする。すると、ホッジの定理は次のことを主張する。[ 6 ]
この状況では、上記の記述をド・ラーム複体について一般化したホッジ分解も存在する。
X を滑らかな複素射影多様体とする。つまり、Xはある複素射影空間CP Nの閉じた複素部分多様体である。Chowの定理により、複素射影多様体は自動的に代数的である。すなわち、 CP N上の同次多項式方程式がゼロになることで定義される。CP N上の標準的なリーマン計量は、複素構造と強い互換性を持つリーマン計量をX上に誘導し、 X をケーラー多様体にする。
複素多様体Xと自然数rに対して、X上のすべてのC ∞ r形式(複素係数を持つ) は、 p + q = rとなる( p , q )型の形式の和として一意に記述できます。ここで、 は、各項が次の形式をとる有限項の和として局所的に記述できる形式を意味します。
fはC ∞関数、z sとw s は正則関数です。ケーラー多様体上では、調和形式の( p , q )成分は再び調和的です。したがって、任意のコンパクトケーラー多様体Xに対して、ホッジの定理は、複素係数を持つXのコホモロジーを複素ベクトル空間の直和として分解します。 [ 7 ]
この分解は実際にはケーラー計量の選択に依存しない（ただし、一般的なコンパクト複素多様体には同様の分解はない）。一方、ホッジ分解は複素多様体としてのXの構造に真に依存するが、群H r ( X , C )はXの基礎となる位相空間のみに依存する。
これらの調和代表のウェッジ積を取ることは、コホモロジーにおけるカップ積に対応するため、複素係数を持つカップ積はホッジ分解と互換性がある。
ホッジ分解の要素H p , q ( X ) は、コヒーレント層コホモロジー群と同一視することができ、これは複素多様体としてのXのみに依存します(ケーラー計量の選択には依存しません)。[ 8 ]
ここで、Ωp はX上の正則p形式の層を表す。例えば、Hp , 0 ( X ) はX上の正則p形式の空間である。（X が射影的である場合、SerreのGAGA定理によれば、 X全体上の正則p形式は実際には代数的である。）
一方、サイクル Z に沿った積分は、Zのホモロジー類と、によって表されるコホモロジー類のキャップ積として書くことができる。ポアンカレ双対性により、 Zのホモロジー類は[ Z ]と呼ばれるコホモロジー類と双対であり、キャップ積は [ Z ] と αのカップ積を取り、 Xの基本類でキャップすることによって計算できます。
[ Z ] はコホモロジー類であるため、ホッジ分解を持ちます。上記の計算により、この類を任意の型の類と組み合わせると、すると、ゼロになります。なぜなら我々は、[ Z ] が。
ホッジ数h p , q ( X ) は、複素ベクトル空間H p . q ( X )の次元を意味します。これらは滑らかな複素射影多様体の重要な不変量であり、 Xの複素構造が連続的に変化しても変化しませんが、一般に位相不変量ではありません。ホッジ数の性質には、ホッジ対称性h p , q = h q , p ( H p , q ( X ) がH q , p ( X )の複素共役であるため) およびh p , q = h n − p , n − q ( Serre 双対性により) があります。
滑らかな複素射影多様体（またはコンパクトなケーラー多様体）のホッジ数は、ホッジダイヤモンド（複素次元2の場合を示す）に列挙することができる。
例えば、種数gのすべての滑らかな射影曲線はホッジダイヤモンドを持つ。
別の例として、すべてのK3曲面にはホッジダイヤモンドが存在する。
Xのベッティ数は、与えられた行のホッジ数の合計です。ホッジ理論の基本的な応用として、滑らかな複素射影多様体 (またはコンパクトなケーラー多様体) の奇数ベッティ数b 2 a +1は、ホッジ対称性により偶数になります。これは一般にコンパクトな複素多様体では当てはまりません。ホップ曲面の例がそれを示しており、これはS 1 × S 3と微分同相であるため、 b 1 = 1となります。
「ケーラーパッケージ」は、ホッジ理論に基づいて構築された、滑らかな複素射影多様体（またはコンパクトケーラー多様体）のコホモロジーに対する強力な制約の集合です。結果には、レフシェッツ超平面定理、ハードレフシェッツ定理、およびホッジ・リーマン双線形関係が含まれます。[ 9 ]これらの結果の多くは、ケーラー恒等式や、ホッジ理論を使用してコンパクトケーラー多様体に対して証明できる基本的な技術的ツールから導かれます。-補題。
ホッジ理論や、非可換ホッジ理論などの拡張は、コンパクトなケーラー多様体の可能な基本群に対しても強い制約を与える。
させて滑らかな複素射影多様体である。複素部分多様体で共次元のコホモロジー群の要素を定義するさらに、結果として得られるクラスは特別な性質を持ちます。複素コホモロジーにおけるその像はホッジ分解の中間部分に位置する。ホッジ予想は逆を予測する。複素コホモロジーにおける像が部分空間にある正の整数倍を持つべきである-複雑なサブバリアントのクラスの線形結合（このような線形結合は、代数サイクルと呼ばれます。）
重要な点は、ホッジ分解は複素係数のコホモロジー分解であり、通常は整数（または有理）係数のコホモロジー分解から得られるものではないということです。結果として、交差は
グループ全体よりもはるかに小さい場合があるホッジ数がは大きい。要するに、ホッジ予想は、複雑なサブバリアントの可能な「形状」が（コホモロジーで説明されているように）は、ホッジ構造によって決定される。（整数コホモロジーと複素コホモロジーのホッジ分解の組み合わせ）
レフシェッツの(1,1)定理によれば、ホッジ予想は以下に対して真である。（整数であっても、つまり、記述に正の整数倍を必要としない場合でも）。
品種のホッジ構造代数微分形式の積分について説明しますホモロジークラスを超えてこの意味で、ホッジ理論は微積分学における基本的な問題、すなわち、一般に代数関数の積分には「公式」が存在しないという問題と関連している。特に、周期と呼ばれる代数関数の定積分は超越数となることがある。ホッジ予想の難しさは、こうした積分に対する一般的な理解の欠如を反映している。
例：滑らかな複素射影曲面K3の場合グループは同型である、 そしては同型であるそれらの共通部分のランクは1から20の間になります。このランクはピカール数と呼ばれます。すべての射影K3曲面のモジュライ空間は、それぞれ複素次元19の可算無限個の成分を持つ。ピカール数を持つK3曲面の部分空間寸法がある[ 10 ] (したがって、ほとんどの射影 K3 曲面の場合、とは同型であるただし、「特殊な」K3曲面の場合は、交差部分が大きくなる可能性があります。）
この例は、複素代数幾何学におけるホッジ理論のいくつかの異なる役割を示唆している。第一に、ホッジ理論は、滑らかな複素射影多様体の構造を持つことができる位相空間に制約を与える。第二に、ホッジ理論は、与えられた位相型を持つ滑らかな複素射影多様体のモジュライ空間に関する情報を提供する。最良のケースは、トレリの定理が成り立つ場合であり、これは多様体がホッジ構造によって同型を除いて決定されることを意味する。最後に、ホッジ理論は、与えられた多様体上の代数サイクルのチャウ群に関する情報を提供する。ホッジ予想は、チャウ群から通常のコホモロジーへのサイクル写像の像に関するものであるが、ホッジ理論は、例えばホッジ構造から構築される中間ヤコビアンを用いて、サイクル写像の核に関する情報も提供する。
ピエール・ドリーニュによって開発された混合ホッジ理論は、ホッジ理論を滑らかまたはコンパクトである必要のない、すべての複素代数多様体に拡張するものです。つまり、任意の複素代数多様体のコホモロジーは、より一般的なタイプの分解、すなわち混合ホッジ構造を持ちます。
ホッジ理論を特異多様体に一般化した別の例として、交差ホモロジーが挙げられる。具体的には、森彦斎藤は、任意の複素射影多様体（必ずしも滑らかである必要はない）の交差ホモロジーは、滑らかな場合と同様に、純粋なホッジ構造を持つことを示した。実際、ケーラーパッケージ全体が交差ホモロジーにまで拡張されている。
複素幾何学の基本的な側面は、非同型複素多様体の連続族が存在することである（これらはすべて実多様体として微分同相である）。フィリップ・グリフィスのホッジ構造の変分という概念は、滑らかな複素射影多様体のホッジ構造がどのように変化するかを記述している。変化する多様である。幾何学的に言えば、これは多様体の族に関連付けられた周期写像を研究することに相当する。斎藤のホッジ加群理論は一般化である。大まかに言えば、多様体上の混合ホッジ加群は混合ホッジ構造の束それは、滑らかさやコンパクトさを必要としない品種群から生じるようなものである。
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