弱演算子トポロジー

関数解析において、弱い作用素位相（よくWOTと略される）^[1]は、ヒルベルト空間上の有界作用素の集合における最も弱い位相であり、複素数に作用素を送る関数は任意のベクトルに対して連続であり、ヒルベルト空間内に存在する。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \langle Tx,y\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

明示的に、演算子 に対して、次のタイプの近傍の基底が存在します。有限個のベクトル、連続関数、および同じ有限集合 によってインデックス付けされた正の実定数を選択します。演算子が近傍に存在するのは、すべての に対してである場合のみです。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle |y_{i}(T(x_{i})-S(x_{i}))|<\varepsilon _{i}}$${\displaystyle i\in I}$

同様に、すべてのおよびに対してネットがに収束する場合、有界演算子のネット はWOT でに収束します。 ${\displaystyle T_{i}\subseteq B(H)}$${\displaystyle T\in B(H)}$${\displaystyle y\in H^{*}}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle y(T_{i}x)}$${\displaystyle y(Tx)}$

WOT は、ヒルベルト空間上の有界演算子である 上のすべての一般的な位相${\displaystyle B(H)}$の中で最も弱いものです。 ${\displaystyle H}$

上の強い演算子位相、つまり SOT は、点ごとの収束の位相です。内積は連続関数なので、SOT は WOT よりも強くなります。次の例は、この包含が厳密であることを示しています。 とし、右シフトのシーケンスを検討します。コーシー・シュワルツの適用により、WOT では であることが示されます。しかし、明らかにSOT ではに収束しません。 ${\displaystyle B(H)}$${\displaystyle H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \{T^{n}\}}$${\displaystyle T^{n}\to 0}$${\displaystyle T^{n}}$${\displaystyle 0}$

強い作用素位相で連続するヒルベルト空間上の有界作用素の集合上の線型関数は、WOT で連続する線型関数とまったく同じです (実際、WOT は、ヒルベルト空間H上の有界作用素の集合上のすべての強連続線型関数を連続にする最も弱い作用素位相です)。この事実により、WOT の凸型作用素集合の閉包は、SOT のその集合の閉包と同じです。 ${\displaystyle B(H)}$

これは、WOT の場合に限り、SOT でネットが収束するという分極恒等式から導かれます。 ${\displaystyle \{T_{\alpha }\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0}$

B ( H )のプレデュアルはトレースクラス演算子 C ₁ ( H ) であり、  B ( H ) 上の w*-位相、つまり弱スター演算子位相または σ-弱位相を生成する。弱演算子位相と σ-弱位相は、  B ( H ) 内のノルム有界集合上で一致する。

ネット { T _α } ⊂ B ( H ) がWOT でTに収束するのは、すべての有限ランク演算子Fに対してTr( T _α F ) が Tr( TF ) に収束する場合のみです。すべての有限ランク演算子はトレースクラスであるため、これは WOT が σ 弱位相よりも弱いことを意味します。この主張が正しい理由を理解するには、すべての有限ランク演算子Fが有限和である ことを思い出してください。

${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}.}$

つまり、{ T _α } がWOTで Tに収束するということは、

${\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }F\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TF).}$

少し拡張すると、弱演算子とσ弱​​位相はB ( H )のノルム有界集合上で一致すると言える。すべてのトレースクラス演算子は次の形式である。

${\displaystyle S=\sum _{i}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*},}$

ここで級数は収束する。WOTでと を仮定する。すべてのトレースクラスSについて、 ${\displaystyle \sum \nolimits _{i}\lambda _{i}}$${\displaystyle \sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,}$${\displaystyle T_{\alpha }\to T}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }S\right)=\sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TS),}$

たとえば、優勢収束定理を適用することによって。

したがって、バナッハ-アラオグルの定理により、ノルム有界閉集合はすべて WOT でコンパクトになります。

随伴演算T → T*は、その定義の直接的な結果として、WOT では連続です。

WOT では乗算は共連続ではありません。ここでも を片側シフトとします。コーシー・シュワルツの法則に従えば、WOT ではT ⁿとT* ^{n は}両方とも 0 に収束します。しかし、 T* ⁿ T ^{n は}すべての に対して恒等演算子です。(WOT は有界集合上の σ 弱位相と一致するため、σ 弱位相では乗算は共連続ではありません。) ${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$

しかし、より弱い主張もできます。WOT では乗算は別々に連続です。WOT でネットT _i → Tの場合、 WOT ではST _i → STかつT _i S → TS です。

SOTとWOTの定義を、より一般的な設定に拡張することができます。この場合、XとYはノルム空間であり、は形式の有界線型作用素の空間です。この場合、各ペアとにより、規則を介して上の半ノルムが定義されます。結果として得られる半ノルムの族は、上の弱作用素位相を生成します。同様に、上のWOTは、基本開近傍に対して、形式の集合を 取ることによって形成されます。${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y^{*}\in Y^{*}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{x,y^{*}}}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle \|T\|_{x,y^{*}}=|y^{*}(Tx)|}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$

${\displaystyle N(T,F,\Lambda ,\epsilon ):=\left\{S\in B(X,Y):\left|y^{*}((S-T)x)\right|<\epsilon ,x\in F,y^{*}\in \Lambda \right\},}$

ここで、は有限集合、も有限集合、です。この空間は、WOT が付与されている場合、局所凸位相ベクトル空間になります。 ${\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}$${\displaystyle \Lambda \subseteq Y^{*}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle B(X,Y)}$

上の強作用素位相は、規則 を介して半ノルムの族によって生成される。したがって、SOT の位相基底は、次の形式の開近傍によって与えられる。 ${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle \|\cdot \|_{x},x\in X,}$${\displaystyle \|T\|_{x}=\|Tx\|}$

${\displaystyle N(T,F,\epsilon ):=\{S\in B(X,Y):\|(S-T)x\|<\epsilon ,x\in F\},}$

ここで、は前と同様に有限集合であり、${\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}$${\displaystyle \epsilon >0.}$

上のさまざまな位相に対する異なる用語は、時々混乱を招くことがあります。たとえば、ノルム空間内のベクトルの「強い収束」は、ノルム収束を指すことがありますが、これは、問題のノルム空間が である場合、SOT 収束とは非常に異なる（そしてより強い）ことがよくあります。ノルム空間上の弱い位相は、 の線形関数を連続させる最も粗い位相です。の代わりに を取ると、弱い位相は弱い演算子位相とは非常に異なる場合があります。また、WOT は形式的には SOT よりも弱いですが、SOT は演算子ノルム位相よりも弱いです。 ${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle X}$

一般的に、次の内容が含まれます。

${\displaystyle \{{\text{WOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{SOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{operator-norm-open sets in }}B(X,Y)\},}$

これらの包含は、およびの選択に応じて厳密である場合とそうでない場合があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

WOTはSOTよりも形式的には弱い位相ですが、それでもいくつかの重要な特性を共有しています。たとえば、 ${\displaystyle B(X,Y)}$

${\displaystyle (B(X,Y),{\text{SOT}})^{*}=(B(X,Y),{\text{WOT}})^{*}.}$

その結果、が凸であれ ば${\displaystyle S\subseteq B(X,Y)}$

${\displaystyle {\overline {S}}^{\text{SOT}}={\overline {S}}^{\text{WOT}},}$

言い換えれば、凸集合では SOT 閉包と WOT 閉包が一致する。

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