最大原則

微分方程式や幾何解析といった数学の分野において、最大原理は最も有用かつ最もよく知られた研究ツールの 1 つです。領域Dにおける微分不等式の解は、 Dの境界で最大値を達成する場合に最大原理を満たします。

最大原理は、微分方程式の解そのものを明示的に知らなくても、その解に関する情報を得ることを可能にする。特に、最大原理は常微分方程式や偏微分方程式の解の数値近似や、そのような近似における誤差の境界を決定する際に有用なツールである。^[1]

単純な2次元の場合、2つの変数u ( x , y )の関数を考えます。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

この設定における弱い最大値原理は、uの定義域の任意の開いたプレコンパクト部分集合Mについて、 Mの閉包上のuの最大値はMの境界上で達成されるというものです。強い最大値原理は、 u が定数関数でない限り、最大値はM自体のどこでも達成できないというものです。

このような記述は、与えられた微分方程式の解の印象的な定性的な描写を与える。このような定性的な描写は、多くの種類の微分方程式に拡張することができる。多くの場合、このような最大原理を使用して、勾配の大きさの制御など、微分方程式の解に関する正確な定量的な結論を導き出すこともできる。一度にすべての状況に当てはまる単一の、または最も一般的な最大原理は存在しない。

凸最適化の分野では、コンパクトな凸集合上の凸関数の最大値は境界上で達成されると主張する類似の主張がある。^[2]

ここでは最も単純なケースを考えますが、同じ考え方はより一般的なシナリオにも適用できます。Mをユークリッド空間の開集合とし、uをM上のC ²関数で、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=0}$

ここで、 1からnまでの各iとjに対して、a _ijはM上の関数であり、a _ij = a _jiです。

Mのx を固定します。線型代数のスペクトル定理によれば、行列[ a _ij ( x )]のすべての固有値は実数であり、ℝ ⁿには固有ベクトルからなる正規直交基底があります。固有値をλ _iで、対応する固有ベクトルをv _iで表します( iは1 からnまで)。すると、点xにおける微分方程式は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left.{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right|_{t=0}{\big (}u(x+tv_{i}){\big )}=0.}$

最大原理の本質は、各固有値が正の場合 (これは微分方程式の「楕円性」の特定の定式化に相当します)、上記の式は解の方向 2 次導関数の特定のバランスを課すという単純な観察です。特に、方向 2 次導関数の 1 つが負の場合、もう 1 つは正でなければなりません。u が最大になる仮想ポイントでは、すべての方向 2 次導関数が自動的に非正になり、上記の式で表される「バランス」では、すべての方向 2 次導関数が同一にゼロである必要があります。

この基本的な推論は、いくつかの追加の仮定（ aの連続性など）の下で、uが最大化されるMの点がある場合、u は一定でなければならないことを述べる強い最大値原理の無限小定式化を表していると主張することができます。

上記の推論は、より一般的な偏微分方程式を考えた場合にも影響されないことに注意されたい。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,}$

なぜなら、追加された項は、任意の仮想的な最大点で自動的にゼロになるからである。より一般的な条件を考慮しても、推論は影響を受けない。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

この条件では、仮想的な最大点で厳密な不等式 ( ≥ではなく> ) が存在する場合、完全に矛盾が生じるという追加の現象にさえ気付くことができます。この現象は、古典的な弱い最大値原理の正式な証明において重要です。

しかし、上記の推論は、条件を考慮すると当てはまらなくなる。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,}$

なぜなら、uの仮想的な最大点で評価される「バランス」条件は、明らかに非正の量の加重平均が非正であるということだけを示しているからである。これは自明な事実であり、したがって、そこから非自明な結論を引き出すことはできない。これは、次のような数多くの具体的な例によって反映されている。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}\leq 0,}$

そして原点を含む任意の開領域上では関数− x ² − y ²は必ず最大値を持ちます。

M はユークリッド空間の開集合を表すものとする。滑らかな関数が点pで最大化される場合、次の式が自動的に成り立つ。 ${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle (du)(p)=0}$
• ${\displaystyle (\nabla ^{2}u)(p)\leq 0,}$行列不等式として。

偏微分方程式は、関数のさまざまな導関数間の代数関係の強制と見ることができます。したがって、u が偏微分方程式の解である場合、uの 1 次および 2 次導関数に関する上記の条件がこの代数関係に矛盾する可能性があります。これが最大値原理の本質です。明らかに、このアイデアの適用可能性は、問題となっている特定の偏微分方程式に大きく依存します。

例えば、uが微分方程式を解く と

${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}+2,}$

すると、領域のどの点でもとを持つことは明らかに不可能です。したがって、上記の観察に従うと、 uが最大値を取ることは不可能です。代わりにu が微分方程式を解くと、このような矛盾は発生せず、これまでの分析は何も興味深いことを意味しません。uが微分方程式を解くと、同じ分析によりu が最小値を取ることはできないことがわかります。 ${\displaystyle \Delta u\leq 0}$${\displaystyle du=0}$${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}}$${\displaystyle \Delta u=|du|^{2}-2,}$

このような解析の可能性は偏微分方程式に限ったものではない。例えば、が次のような関数である 場合、${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Delta u-|du|^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,}$

これは一種の「非局所的」な微分方程式であるため、右辺の自動的な厳密な正値は、上記と同じ分析により、u が最大値に到達できないことを示します。

この種の分析の適用範囲をさまざまな方法で拡張する方法は多数あります。たとえば、u が調和関数である場合、点pの存在はどこでも要求と矛盾しないため、上記の種類の矛盾は直接的には発生しません。ただし、任意の実数sに対して、次のように定義される 関数u _{sを考えることができます。}${\displaystyle \Delta u(p)\leq 0}$${\displaystyle \Delta u=0}$

${\displaystyle u_{s}(x)=u(x)+se^{x_{1}}.}$

それは一目瞭然だ

${\displaystyle \Delta u_{s}=se^{x_{1}}.}$

上の分析により、 の場合、u s_は最大値を達成できないことがわかります。 u も最大値を達成できないと結論付けるために、sから 0 への極限を検討したい場合があります。 ただし、最大値を持たない関数のシーケンスの点ごとの極限が最大値を持つ可能性があります。 それにもかかわらず、M が境界を持ち、Mとその境界がコンパクトである場合、u を境界まで連続的に拡張できると仮定すると、uとu _{s の}両方が で最大値を達成することが直ちにわかります。 u _{s は}M上の関数として最大値を持たないことを示したので、任意のsに対してu _sの最大点は にあることがわかります。の連続コンパクト性により、uの最大値は で達成されることがわかります。 これは調和関数の弱い最大値原理です。 これだけでは、 uの最大値がM上のどこかで達成される可能性を排除しません。 これが「強い最大値原理」の内容であり、さらに分析する必要があります。 ${\displaystyle s>0}$${\displaystyle M\cup \partial M.}$${\displaystyle \partial M.}$${\displaystyle \partial M,}$${\displaystyle \partial M.}$

上記の特定の関数の使用は、まったく本質的ではありません。重要なのは、境界まで連続的に拡張され、ラプラシアンが厳密に正である関数を持つことです。したがって、たとえば、 ${\displaystyle e^{x_{1}}}$

${\displaystyle u_{s}(x)=u(x)+s|x|^{2}}$

同じ効果があります。

M をユークリッド空間の開集合とする。 を2回微分可能な関数とし、その最大値Cを得る。 ${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0.}$

以下を発見（または存在を証明）できると仮定します。

• Mのコンパクト部分集合Ωで、内部が空でなく、Ωの内部にあるすべてのxに対してu ( x ) < Cであり、 Ωの境界上にu ( x ₀ ) = Cとなるx ₀が存在する。
• Ωの内部で2回微分可能で、${\displaystyle h:\Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\geq 0,}$

そして、 Ωの境界上でu + h ≤ Cが成り立ち、h ( x ₀ ) = 0となる。

すると、Ω上でL ( u + h − C ) ≥ 0 となり、 Ωの境界上でu + h − C ≤ 0となる。弱最大原理によれば、Ω上でu + h − C ≤ 0となる。これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle -{\frac {u(x)-u(x_{0})}{|x-x_{0}|}}\geq {\frac {h(x)-h(x_{0})}{|x-x_{0}|}}}$

Ω内のすべてのxに対して成り立ちます。右辺が明らかに正の性質を持つようにhを選択できる場合、 x ₀がM上のuの最大点であるという事実と矛盾し、その勾配は必ずゼロになります。

上記の「プログラム」は実行可能です。Ωを球状の環状体として選び、その中心x _{cを閉集合}u ⁻¹ ( C )に近い点として閉集合∂ Mよりも選び、外半径R をこの中心からu ⁻¹ ( C )までの距離として選びます。x 0_をこの後者の集合上の点として距離を実現します。内半径ρ は任意です。定義します。

${\displaystyle h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.}$

ここで、 Ωの境界は2 つの球から構成されます。外側の球では、h = 0です。 Rの選択により、この球ではu ≤ Cとなり、したがって境界のこの部分ではu + h − C ≤ 0 が成立し、 h ( x ₀ ) = 0という要件も成立します。内側の球では、u < Cです。 uの連続性と内側の球のコンパクトさにより、δ > 0を選択してu + δ < Cとすることができます。この内側の球ではhは定数であるため、内側の球で、したがってΩの境界全体でu + h ≤ Cとなるようにε > 0 を選択できます。

直接計算すると

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{ii}-2\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}\right).}$

右辺が非負であることが保証される条件はいくつかあります。以下の定理の説明を参照してください。

最後に、環状空間の内側を向く放射状線に沿ったx ₀におけるhの方向微分は厳密に正であることに注意してください。上記の要約で説明したように、これにより、 x ₀におけるuの方向微分がゼロ以外になることが保証されますが、これはx ₀が開集合M上のuの最大点であることと矛盾します。

以下は、ホップ (1927) の元の記述に従って、モリーとスモラーの著書に記載されている定理の記述です。

M をユークリッド空間ℝ ⁿの開集合とする。1からnまでの各iとjについて、a _ijとb _iをM上の連続関数でa _ij = a _jiとする。Mのすべてのxについて、対称行列[ a _ij ]が正定値であるとする。uがM上の非定数C ²関数で、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0}$

M 上では、u はM上で最大値を達成しません。

連続性仮定のポイントは、連続関数がコンパクト セット上で有界であるということです。ここでの関連するコンパクト セットは、証明に現れる球面環状体です。さらに、同じ原理により、環状体内のすべてのxに対して、行列[ a _ij ( x )]のすべての固有値がλ以上になるような数λが存在します。次に、証明に現れるα は、これらの境界に対して大きいとします。Evans の本では、やや弱い定式化が採用されており、M内のすべてのxに対して[ a _ij ]の固有値の下限となる正の数λがあると仮定しています。

これらの連続性の仮定は、明らかに、証明が機能するために考えられる最も一般的な仮定ではありません。たとえば、以下は同じ証明に続くギルバーグとトゥルーディンガーの定理の記述です。

M をユークリッド空間ℝ ⁿの開集合とする。1からnまでの各iとjに対して、a _ijとb _{i を}a _ij = a _jiを満たすM上の関数とする。Mのすべてのxに対して、対称行列[ a _ij ]は正定値であり、λ(x) はその最小の固有値を表すものとする。1からnまでの各iに対して、およびはM上の有界関数であるとする。uがM上の非定数C ²関数で、 ${\displaystyle \textstyle {\frac {a_{ii}}{\lambda }}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {|b_{i}|}{\lambda }}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0}$

M 上では、u はM上で最大値を達成しません。

1 次元の場合で既に見たように、これらの記述を一般的な 2 次線形楕円方程式に単純に拡張することはできません。たとえば、常微分方程式y ″ + 2 y = 0には正弦波解があり、これは確実に内部最大値を持ちます。これは高次元の場合に拡張され、内部最大値を持つ「固有関数」方程式Δ u + cu = 0の解がしばしばあります。1次元の場合にも見られるように、cの符号は関連しています。たとえば、 y ″ - 2 y = 0の解は指数関数であり、このような関数の最大値の特性は正弦関数のそれとはまったく異なります。

• 最大弾性率原理
• ホップ最大原理

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