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有限主義とは、数学的対象は有限のみ存在すると認める数学哲学である。無限の数学的対象（例えば、無限集合）の存在を認める主流の数学哲学と比較することで、最もよく理解できる。
有限主義数学の基本的な考え方は、無限集合などの無限対象の存在を認めないことである。すべての自然数は存在すると認められるが、すべての自然数の集合は数学的対象としては存在しないとみなされる。したがって、無限領域における量化は意味を持たないと考えられている。有限主義と関連付けられることが多い数学理論は、トーラルフ・スコレムの原始再帰算術である。
無限の数学的対象が導入されたのは数世紀前のことで、当時すでに無限の対象の使用は数学者の間で議論の的となっていた。この問題は、 1874年にゲオルク・カントールが現在では素朴集合論と呼ばれるものを導入し、それを超限数に関する研究の基礎として用いたことで新たな局面を迎えた。カントールの素朴集合論において、ラッセルのパラドックス、ベリーのパラドックス、ブラリ＝フォルティのパラドックスといったパラドックスが発見されると、この問題は数学者の間で激しい議論を巻き起こした。
数学者たちは様々な立場をとった。自然数などの有限な数学的対象については全員が同意したが、無限な数学的対象については意見が分かれた。その一つが、LEJ・ブラウワーが提唱した直観主義数学であり、無限な対象は構築されるまでは存在を否定した。
もう一つの立場は、デイヴィッド・ヒルベルトによって支持された。すなわち、有限な数学的対象は具体的な対象であり、無限な数学的対象は理想的な対象であり、理想的な数学的対象を受け入れることは有限な数学的対象に関して問題を引き起こさない、という立場である。より厳密に言えば、ヒルベルトは、理想的な無限対象を用いて得られる有限な数学的対象に関する定理は、それらを用いなくても得られることを示すことができると信じていた。したがって、無限な数学的対象を認めることは、有限な対象に関して問題を引き起こさない。このことから、ヒルベルトは有限的な手段を用いて集合論の無矛盾性と完全性の両方を証明するという計画に着手した。これは、理想的な数学的対象を追加することは有限的な部分に関して保守的であることを意味するからである。ヒルベルトの見解は、数学の形式主義哲学とも関連付けられている。有限的な手段によって集合論、あるいは算術の無矛盾性と完全性を証明するというヒルベルトの目標は、クルト・ゲーデルの不完全性定理のために不可能な課題であることが判明した。しかし、ハーヴェイ・フリードマンの壮大な予想は、ほとんどの数学的成果は有限的な手段を用いて証明可能であることを示唆している。
ヒルベルトは、彼が有限主義的と考え、初等的と呼んだものについて厳密な説明を与えなかった。しかし、ポール・ベルネイズとの共同研究に基づき、テイト（1981）などの一部の専門家は、原始再帰算術はヒルベルトが有限主義的数学と考えたものの上限とみなすことができると主張している。 [ 1 ]
ゲーデルの定理の結果、数学の無矛盾性と完全性の両方を証明することは不可能であることが明らかになり、ツェルメロ＝フレンケル集合論のような一見無矛盾な公理的集合論が発展したことにより、現代の数学者のほとんどはこのテーマに焦点を当てなくなりました。
メアリー・タイルズは著書『集合論の哲学』の中で、潜在的に無限な対象を許容する人々を古典的有限主義者、潜在的に無限な対象を許容しない人々を厳格有限主義者と特徴づけた。例えば、古典的有限主義者は「すべての自然数には後継数がある」といった命題を許容し、有限部分和の極限という意味での無限級数の意味を認めるが、厳格有限主義者はそうしない。歴史的に見ると、数学の記述史は、19世紀末にカントールが超限基数の階層構造を確立するまで、古典的有限主義に基づいていた。
レオポルド・クロネッカーはカントールの集合論に強く反対し続けた。[ 2 ]
あらゆることを考えて、Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk。 神は整数を創造しました。それ以外はすべて人間の仕事です。
ルーベン・グッドスタインもまた、有限主義の提唱者の一人であった。彼の研究の中には、有限主義的な基礎から解析学へと発展させていくものもあった。
ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタイン自身は否定しているが、彼の数学に関する著作の多くは有限主義と強い親和性を持っている。[ 4 ]
有限主義者を超越有限主義者（例えばゲオルク・カントールの無限の階層の提唱者）と対比させるならば、アリストテレスもまた有限主義者と特徴づけられるかもしれない。アリストテレスは特に、厳密な有限主義と現実の無限（後者は自然界における終わりのない何かの現実化であり、カントールの現実の無限は超限基数と順序数から成り、自然界の事物とは何の関係もない）の中間的な選択肢として、潜在的無限を提唱した。
しかし一方で、無限が全く存在しないと仮定すると、明らかに多くの不可能な結果が生じる。すなわち、時間の始まりと終わりが存在し、大きさは大きさに分割できず、数は無限ではないことになる。したがって、上記の考察を踏まえると、どちらの選択肢も不可能と思われる場合は、仲裁者を呼ぶ必要がある。
—アリストテレス、『自然学』第3巻第6章
超有限主義（超直観主義とも呼ばれる）は、有限主義よりもさらに保守的な数学的対象に対する態度を持ち、有限な数学的対象が大きすぎる場合には、それらの存在に異議を唱える。
20世紀末、ジョン・ペン・メイベリーは「ユークリッド算術」と名付けた有限数学体系を開発した。彼の体系の最も際立った特徴は、反復過程、特に「+1」による自然数の構成に通常与えられる特別な基礎的地位を完全に、かつ厳密に否定することである。したがって、メイベリーは有限数学をペアノ算術や、原始再帰算術などのその断片と同一視しようとする人々とは真っ向から対立している。