局所的にコンパクトなグループ

数学において、局所コンパクト群とは、基礎となる位相が局所コンパクトかつハウスドルフである位相群Gのことである。局所コンパクト群は、数学全体を通して現れる多くの群の例が局所コンパクトであり、そのような群にはハール測度と呼ばれる自然な測度が存在するため重要である。これにより、 G上のボレル可測関数の積分を定義することができ、フーリエ変換や$\displaystyle L^{p}}$空間は一般化できる。

有限群表現論の多くの結果は、群の平均化によって証明される。コンパクト群の場合、これらの証明を修正することで、正規化されたハール積分に関して平均化することによって同様の結果が得られる。一般的な局所コンパクト設定では、このような手法は必ずしも成り立たない。結果として得られる理論は、調和解析の中心的な部分である。局所コンパクトアーベル群の表現論は、ポントリャーギン双対性によって記述される。

• コンパクト群は局所的にコンパクトである。
  • 特に、乗法に関して法が^{1である複素数の}円群S1はコンパクトであり、したがって局所コンパクトである。円群は、歴史的に見て、局所コンパクト性という性質も持つ最初の位相的に非自明な群として位置づけられており、そのため、ここで提示するより一般的な理論の探求を促した。
• 任意の離散群は局所コンパクトである。したがって、局所コンパクト群の理論は通常の群の理論を包含する。なぜなら、任意の群は離散位相を与えられたときに位相群になるからである。
• 実数Rと複素数Cの加法群は、標準的な位相が与えられれば局所的にコンパクトであり、非ゼロ数の乗法群R ^xとC ^xも同様である。
• リー群は局所的にユークリッド的であり、局所的にコンパクトである。ここでは、非可換な局所コンパクト群の多くの例を見出すことができる。
• 局所体上のノルム可能な位相ベクトル空間は、それが有限次元である場合に限り、局所コンパクトである。
• 有理数 の加法群Qは、標準位相（実数の部分集合としての相対位相）が与えられた場合、局所コンパクトではない。しかし、離散位相が与えられた場合は、局所コンパクトとなる。
• 標準位相を持つp進数 の加法群Q _{p は}、任意の素数pに対して局所的にコンパクトである。

同次性により、位相群の基礎となる空間の局所コンパクト性は単位元においてのみ確認すればよい。すなわち、群Gが局所コンパクト空間であるのは、単位元がコンパクト近傍を持つ場合かつその場合に限る。したがって、すべての点においてコンパクト近傍の局所基底が存在する。

局所コンパクト群の閉部分群はすべて局所コンパクトである。（閉包条件は、有理群の例が示すように必要である。）逆に、ハウスドルフ群の局所コンパクト部分群はすべて閉部分群である。局所コンパクト群の商群はすべて局所コンパクトである。局所コンパクト群の族の積群が局所コンパクトであるのは、有限個の因子を除くすべての因子が実際にコンパクトである場合に限る。

位相群は位相空間として常に完全正則である。局所コンパクト群は、正規であるというより強い性質を持つ。

T ₀かつ第一可算である局所コンパクト群はすべて位相群として計量可能（すなわち、位相と互換性のある左不変計量を与えることができる）であり、完備である。さらに空間が第二可算である場合、計量は適切な値に選択できる。（位相群に関する記事を参照。）

ポーランド群Gにおいて、ハール零集合の σ 代数が可算連鎖条件を満たすのは、 Gが局所コンパクトである場合に限る。^{[ 1 ]}

任意の局所コンパクトアーベル群 (LCA) Aに対して、連続準同型の群

Hom( A , S ¹ )

Aから円群への変換は再び局所コンパクトである。ポントリャーギン双対性によれば、この関手は圏の同値性を誘導する。

LCA ^op → LCA。

このファンクターは、位相群のいくつかの性質を交換します。例えば、有限群は有限群に対応し、コンパクト群は離散群に対応し、距離化可能群はコンパクト群の可算和に対応します（そして、すべての記述において逆もまた同様です）。

LCA群は厳密な圏を形成し、許容単射は閉部分群、許容全射は位相商写像となる。したがって、この圏のK理論スペクトルを考察することが可能である。Clausen （2017）は、それが整数Zと実数Rの代数的K理論の差を測るものであることを示した。それは、ホモトピーファイバー列が存在するという意味においてである。

K( Z ) → K( R ) → K(LCA)。

• コンパクト群– コンパクト位相を持つ位相群 
• 入力欄
• 局所的にコンパクトな場
• 局所コンパクト空間– 数学における位相空間の一種 
• 局所的にコンパクトな量子群
• 順序付き位相ベクトル空間
• 位相アーベル群
• 位相空間– 加算、乗算、除算を含む代数構造リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 位相群– 連続的な群演算を持つ位相空間である群 
• トポロジーモジュール
• 位相環
• 位相半群
• 位相ベクトル空間– 近接性の概念を持つベクトル空間 

• Clausen, Dustin (2017), A K-theoretic approach to Artin maps , arXiv : 1703.07842v2