ド・ジッター空間

静的座標を導入することができます${\displaystyle (t,r,\ldots )}$ド・ジッターについては 以下のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\\x_{1}&={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\\x_{i}&=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n,\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle z_{i}}$これは、( n -2)球面をR ^{n- 1}に埋め込む標準的な方法である。これらの座標系では、ド・ ジッター計量は次の形式をとる。

$${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.}$$

宇宙論的地平線が存在することに注意してください。${\displaystyle r=\alpha }$。

させて

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)+{\frac {1}{2\alpha }}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{1}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)-{\frac {1}{2\alpha }}r^{2}e^{{\frac {1}{\alpha }}t},\\x_{i}&=e^{{\frac {1}{\alpha }}t}y_{i},\qquad 2\leq i\leq n\end{aligned}}}$$

どこ${\textstyle r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}}$.それから${\displaystyle \left(t,y_{i}\right)}$座標メトリックの読み取り値:

$${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+e^{2{\frac {1}{\alpha }}t}dy^{2}}$$

どこ${\textstyle dy^{2}=\sum _{i}dy_{i}^{2}}$フラットメトリックは${\displaystyle y_{i}}$の。

設定${\displaystyle \zeta =\zeta _{\infty }-\alpha e^{-{\frac {1}{\alpha }}t}}$すると、共形的に平坦な計量が得られます。

$${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{(\zeta _{\infty }-\zeta )^{2}}}\left(dy^{2}-d\zeta ^{2}\right)}$$

させて

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha z_{i}\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\sinh \xi ,\qquad 2\leq i\leq n\end{aligned}}}$$

どこ${\textstyle \sum _{i}z_{i}^{2}=1}$形成する${\displaystyle S^{n-2}}$標準メトリックを使用${\textstyle \sum _{i}dz_{i}^{2}=d\Omega _{n-2}^{2}}$ すると、ド・ジッター空間の計量は次のようになる。

$${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)dH_{n-1}^{2},}$$

どこ

$${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-2}^{2}}$$

これは標準的な双曲線計量です。

させて

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha \cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)z_{i},\qquad 1\leq i\leq n\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle z_{i}}$s は${\displaystyle S^{n-1}}$すると、その指標は次のようになります。

$${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)d\Omega _{n-1}^{2}.}$$

時間変数を共形時間に変換する${\textstyle \tan \left({\frac {1}{2}}\eta \right)=\tanh \left({\frac {1}{2\alpha }}t\right)}$アインシュタインの静的宇宙と共形的に等価な計量が得られる。

$${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}\left(-d\eta ^{2}+d\Omega _{n-1}^{2}\right).}$$

これらの座標は「グローバル座標」とも呼ばれ、ド・ジッター空間の最大拡張をカバーしており、そのためペンローズ図を 見つけるために使用できます。^{[ 5 ]}

させて

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\alpha \sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\cosh \xi ,\\x_{1}&=\alpha \cos \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right),\\x_{2}&=\alpha \sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\cosh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right),\\x_{i}&=\alpha z_{i}\sin \left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)\sinh \left({\frac {1}{\alpha }}t\right)\sinh \xi ,\qquad 3\leq i\leq n\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle z_{i}}$s は${\displaystyle S^{n-3}}$すると、その指標は次のようになります。

$${\displaystyle ds^{2}=d\chi ^{2}+\sin ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}\chi \right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$$

どこ

$${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {1}{\alpha }}t\right)dH_{n-2}^{2}}$$

は、${\displaystyle n-1}$ 曲率半径を持つ次元ド・ジッター空間${\displaystyle \alpha }$開スライス座標系において、双曲計量は次のように与えられる。

$${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.}$$

これは、以下の条件の下での開スライス座標の解析接続です。${\displaystyle \left(t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\phi _{n-3}\right)\to \left(i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\ldots ,\phi _{n-4}\right)}$また切り替えも${\displaystyle x_{0}}$そして${\displaystyle x_{2}}$なぜなら、それらは時間的／空間的な性質を変化させるからである。