位相テンソル積

数学では、通常、2 つの位相ベクトル空間の位相テンソル積を構成するさまざまな方法があります。ヒルベルト空間または核空間については、テンソル積の単純な行儀の良い理論があります(ヒルベルト空間のテンソル積を参照)。しかし、一般のバナッハ空間または局所凸位相ベクトル空間については、理論が非常に微妙であることで有名です。

位相テンソル積の元々の動機の1つは、滑らかな実数値関数の空間のテンソル積が期待通りに動作しないという 事実である。${\displaystyle {\hat {\時々 }}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\hookrightarrow C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})}$

しかしこれは同型ではない。例えば、関数は^[1]の滑らかな関数の有限線型結合として表現できない。位相テンソル積を構築した後にのみ同型が得られる。すなわち、 ${\displaystyle f(x,y)=e^{xy}}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{x})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} _{y}).}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mathop {\hat {\otimes }} C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\cong C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m}).}$

この記事では、まずバナッハ空間の場合の構築について詳しく説明します。この空間はバナッハ空間ではありません。その他のケースについては最後に説明します。 ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

2 つのヒルベルト空間AとBの代数テンソル積は、AとBのセスクイリニア形式によって誘導される自然な正定値セスクイリニア形式(スカラー積) を持ちます。したがって、特にそれは自然な正定値二次形式を持ち、対応する完備化はヒルベルト空間A ⊗ Bであり、 AとBの (ヒルベルト空間) テンソル積と呼ばれます。

ベクトルa _iとb _{j が}AとBの正規直交基底を通る場合、ベクトルa _i ⊗ b _{j は}A ⊗ Bの正規直交基底を形成します。

このセクションでは、(Ryan 2002) の表記法を使用します。2 つのバナッハ空間と のテンソル積を定義する明白な方法は、ヒルベルト空間の方法をコピーすることです。つまり、代数テンソル積にノルムを定義し、このノルムの完備化を取ります。問題は、テンソル積にノルムを定義する自然な方法が複数あることです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

とがバナッハ空間であるとき、との代数テンソル積は、ベクトル空間としてのとのテンソル積を意味し、 と で表されます。代数テンソル積は、が とに依存する自然数であり、に対して で あるすべての有限和で構成されます 。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\otimes B.}$${\displaystyle A\otimes B}$$${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i},}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{i}\in A}$${\displaystyle b_{i}\in B}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

とがバナッハ空間であるとき、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$クロスノルム（または代数テンソル積上の交差ノルムは、条件を満たすノルムである 。${\displaystyle p}$${\displaystyle A\otimes B}$$${\displaystyle p(a\otimes b)=\|a\|\|b\|,}$$ $${\displaystyle p'(a'\otimes b')=\|a'\|\|b'\|.}$$

ここで、およびはそれぞれ、およびの位相双対空間の要素であり、およびはの双対ノルムである。${\displaystyle a^{\prime}}$${\displaystyle b^{\prime }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle p^{\prime }}$${\displaystyle p.}$上記の定義では、 合理的なクロスノルムも使用されます。

射影交差ノルムと呼ばれる 交差ノルムがあり、これは 次のように表される。${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle \pi (x)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|:x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\right\},}$$${\displaystyle x\in A\otimes B.}$

射影交差ノルムは最大交差ノルムと一致することが判明しました ((Ryan 2002)、pp. 15-16)。

入射的交差 ノルムと呼ばれる交差ノルムがあり、 によって定義されます。ここで 、と はそれぞれとの位相的双対を表します。 ${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle \varepsilon (x)=\sup \left\{\left|(a'\otimes b')(x)\right|:a'\in A',b'\in B',\|a'\|=\|b'\|=1\right\}}$$${\displaystyle x\in A\otimes B.}$${\displaystyle A^{\prime }}$${\displaystyle B^{\prime }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$

ここで、入射クロスノルムは、ある合理的な意味でのみ「最小」であることに注意してください。

これら2つのノルムにおける代数テンソル積の完備化は射影テンソル積と単射テンソル積と呼ばれ、次のように表される。${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\pi }B}$${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\varepsilon }B.}$

とがヒルベルト空間であるとき、それらのヒルベルト空間テンソル積に用いられるノルムは一般にこれらのノルムのどちらとも等しくない。一部の著者はこれを と表記するので、上の節のヒルベルト空間テンソル積は次のようになる。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \sigma ,}$${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\sigma }B.}$

あ一様交差ノルム は、バナッハ空間の各ペアに、 上の妥当な交差ノルムを割り当てることです。 が任意のバナッハ空間である場合、すべての（連続線型）演算子と演算子 は連続であり、と2つのバナッハ空間であり、 が一様交差ノルムである場合代数テンソル積 上の妥当な交差ノルムを定義します。装備することで得られるノルム付き線型空間は表されますの完備化はバナッハ空間であり、 で表されます。 で によって与えられるノルムの値は、（または）の元に対する完備テンソル積 上では、${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle X,W,Y,Z}$${\displaystyle S:X\to W}$${\displaystyle T:Y\to Z}$${\displaystyle S\otimes T:X\otimes _{\alpha }Y\to W\otimes _{\alpha }Z}$${\displaystyle \|S\otimes T\|\leq \|S\|\|T\|.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A\otimes B.}$${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B.}$${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B,}$${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B.}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B}$${\displaystyle \alpha _{A,B}(x){\text{ or }}\alpha (x).}$

一様交差ノルムは次のように言われる。${\displaystyle \alpha }$任意のバナッハ空間のペアと任意の${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$ $${\displaystyle \alpha (u;X\otimes Y)=\inf\{\alpha (u;M\otimes N):\dim M,\dim N<\infty \}.}$$

一様クロスノルムは${\displaystyle \alpha }$任意のバナッハ空間のペアと任意の${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$ $${\displaystyle \alpha (u)=\sup\{\alpha ((Q_{E}\otimes Q_{F})u;(X/E)\otimes (Y/F)):\dim X/E,\dim Y/F<\infty \}.}$$

あテンソルノルムは有限生成の一様クロスノルムとして定義されます。上で定義した射影クロスノルムと入射クロスノルムはテンソルノルムであり、それぞれ射影テンソルノルムと入射テンソルノルムと呼ばれます。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \varepsilon }$

とが任意のバナッハ空間であり、が任意の一様交差ノルムで ある場合、${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \varepsilon _{A,B}(x)\leq \alpha _{A,B}(x)\leq \pi _{A,B}(x).}$$

局所凸位相ベクトル空間およびの位相は、半ノルムの族によって与えられる。 および上の半ノルムの各選択に対して、代数テンソル積上の対応するクロスノルムの族を定義でき、各族から 1 つのクロスノルムを選択することで、位相を定義する 上のクロスノルムが得られる。一般に、これを行う方法は膨大にある。最も重要な 2 つの方法は、すべての射影クロスノルム、またはすべての入射クロスノルムを取ることである。 上の結果として得られる位相の完備化は、射影テンソル積および入射テンソル積と呼ばれ、 および で示される。からへの自然な写像が存在する。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\otimes B,}$${\displaystyle A\otimes B,}$${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$

または が核空間である場合、から への自然な写像は同型である。大まかに言えば、これは、または が核空間である場合、との有効なテンソル積は 1 つしかないことを意味します。この性質は、核空間を特徴付けるものです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

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• Ryan, RA (2002)、バナッハ空間のテンソル積入門、ニューヨーク：Springer。
• Grothendieck, A. (1955)、「Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires」、米国数学協会回想録、16。