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量子化（イギリス英語ではquantisation ）とは、物理現象の古典的な理解から量子力学として知られる新しい理解へと体系的に移行する手順のことである。これは、 古典力学から量子力学を構築するための手順である。無限の自由度を含む一般化は場の量子化であり、「電磁場の量子化」のように、光子を場の「量子」（例えば光量子）と呼ぶ。この手順は、原子物理学、化学、素粒子物理学、核物理学、凝縮系物理学、量子光学の理論の基礎となっている。
1901年、マックス・プランクは紫外線破局問題を解決するために統計力学の分布関数を開発していた際、黒体放射の性質は、エネルギー量が可算な基本単位、すなわち連続ではなく離散的であるという仮定によって説明できることに気づいた。つまり、最小エネルギー単位が存在し、以下の関係が成り立つ。 周波数について 。 ここ、 これはプランク定数と呼ばれ、量子力学的効果の大きさを表す。これは、物理量の数学モデルにおける根本的な変化を意味する。
1905年、アルベルト・アインシュタインは「光の放出と変換に関する発見的観点について」という論文を発表し、量子化された電磁波に対する光電効果を説明した。[ 1 ]この論文で言及されたエネルギー量子は、後に「光子」と呼ばれるようになった。1913年7月、ニールス・ボーアは「原子と分子の構成について」という論文で、量子化を用いて水素原子のスペクトルを記述した。
これまでの理論は成功を収めてきたが、それらは非常に現象論的な理論である。しかし、フランスの数学者アンリ・ポアンカレは、1912年の論文「量子論について」で、量子化とは何かを体系的かつ厳密に定義した。[ 2 ] [ 3 ]
「量子物理学」という用語は、ジョンストンの『現代物理学に照らしたプランクの宇宙』（1931年）で初めて使用された。
正準量子化は、古典力学から量子力学を発展させるものです。正準座標 間の交換関係を導入します。厳密には、生成演算子と消滅演算子の組み合わせによって、座標を演算子に変換します。これらの演算子は、理論の量子状態に作用します。最もエネルギーの低い状態は真空状態と呼ばれます。
正準量子化の枠組み内であっても、古典位相空間上の任意の観測量を量子化することには困難が伴います。これは順序の曖昧性です。古典的には、位置変数と運動量変数xとpは可換ですが、量子力学的な対応する演算子は可換ではありません。この曖昧性を解消するためにさまざまな量子化スキームが提案されており、[ 4 ]その中で最もよく知られているのはワイル量子化スキームです。しかしながら、グローネウォルドの定理によれば、完全な量子化スキームは存在しません。具体的には、 xと pの量子化を 通常の位置演算子と運動量演算子とすると、どの量子化スキームも古典的な観測量間のポアソン括弧関係を完全に再現することはできません。[ 5 ]
時空を葉層化してハミルトニアンを選択するという非共変的な手法に頼ることなく、正準量子化を実行する方法がある。この方法は古典的な作用に基づいているが、関数積分法とは異なる。
この方法は、すべての可能なアクション（例えば、非因果構造を持つアクションやゲージ「フロー」を持つアクション）には適用できません。まず、構成空間上のすべての（滑らかな）汎関数の古典的な代数から始めます。この代数は、オイラー・ラグランジュ方程式によって生成されるイデアルで商代数化されます。次に、この商代数は、アクションから導出可能なポアソン括弧（パイエルス括弧と呼ばれる）を導入することによって、ポアソン代数に変換されます。このポアソン代数は、正準量子化と同じ方法でℏ変形されます。
量子場理論においても、ゲージ「フロー」を用いて作用を量子化する方法が存在する。これは、 BRST形式の拡張であるバタリン・ヴィルコヴィスキー形式を用いる。
自然量子化の初期の試みの 1 つは、1927 年にヘルマン・ワイルによって提案されたワイル量子化です。 [ 6 ] ここでは、量子力学的観測量 (ヒルベルト空間上の自己共役演算子) を古典位相空間上の実数値関数に関連付けようと試みます。この位相空間における位置と運動量はハイゼンベルク群の生成子にマッピングされ、ヒルベルト空間はハイゼンベルク群の群表現として現れます。1946 年に、HJ グローネウォルド[ 7 ]は、そのような観測量のペアの積を考察し、対応する関数が古典位相空間上でどうなるかを問いました。これにより、彼は関数のペアの位相空間スター積を発見しました。より一般的には、この手法は変形量子化につながり、★ 積はシンプレクティック多様体またはポアソン多様体上の関数の代数の変形とみなされます。しかし、自然な量子化スキーム（ファンクター）としては、ワイルの写像は満足のいくものではない。
例えば、古典的な角運動量の二乗のワイル写像は、量子的な角運動量の二乗演算子だけではなく、さらに定数項 3ħ 2 / 2 を含んでいます。（この余分な項のオフセットは、水素原子の基底状態のボーア軌道の非ゼロの角運動量を説明するため、教育的に重要です。原子の標準的な量子力学の基底状態ではlがゼロになります。）[ 8 ]
しかし、単なる表現の変更として、ワイルの写像は有用かつ重要であり、従来の量子力学における代替的な等価位相空間定式化の基礎となっている。
数理物理学において、幾何学的量子化とは、与えられた古典理論に対応する量子理論を定義するための数学的手法である。一般的に厳密な手順は存在しない量子化を、古典理論と量子理論の間の特定の類似性が明確に残るように実行しようとする試みである。例えば、量子力学のハイゼンベルク描像におけるハイゼンベルク方程式と古典物理学におけるハミルトン方程式との類似性を組み込むべきである。
古典的な位相空間を一般的なシンプレクティック多様体とする、より幾何学的な量子化のアプローチは、1970年代にBertram KostantとJean-Marie Souriauによって開発されました。この方法は2つの段階に分かれています。[ 9 ]まず、位相空間上の二乗可積分関数（より正確には、線束のセクション）からなる「前量子ヒルベルト空間」を構築します。ここで、古典的なポアソン括弧関係に正確に対応する交換関係を満たす演算子を構築できます。一方、この前量子ヒルベルト空間は物理的に意味を持つには大きすぎます。次に、位相空間上の変数の半分に依存する関数（またはセクション）に制限し、量子ヒルベルト空間を得ます。
古典力学理論は、作用によって与えられ、許容される配置は、その作用の関数的変化に関して極値となる配置である。古典系の量子力学的記述は、経路積分定式化によって、系の作用から構築することもできる。
