崩壊定理

数学 において、分解定理は測度論と確率論における結果である。これは、対象となる測度空間の測度ゼロ部分集合への測度の非自明な「制限」という概念を厳密に定義する。これは条件付き確率測度の存在と関連している。ある意味で、「分解」は積測度の構成とは逆のプロセスである。

単位正方形を考える${\displaystyle S=[0,1]\times [0,1]}$ユークリッド平面において$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$確率測度を考えてみましょう${\displaystyle \mu }$定義済み${\displaystyle S}$2次元ルベーグ測度の制限により$\displaystyle \lambda ^{2}}$に${\displaystyle S}$つまり、ある事象の確率${\displaystyle E\subseteq S}$は単に${\displaystyle E}$我々は仮定する${\displaystyle E}$ は測定可能な部分集合である${\displaystyle S}$。

1 次元のサブセットを考えてみましょう${\displaystyle S}$線分など${\displaystyle L_{x}=\{x\}\times [0,1]}$。${\displaystyle L_{x}}$もっている${\displaystyle \mu }$- ゼロを測る。すべての部分集合${\displaystyle L_{x}}$は${\displaystyle \mu }$-空集合。ルベーグ測度空間は完備測度空間であるため、 $${\displaystyle E\subseteq L_{x}\implies \mu (E)=0.}$$

確かにそうではあるが、これはやや物足りない。${\displaystyle \mu }$「～に制限される」${\displaystyle L_{x}}$は一次元ルベーグ測度である$\displaystyle \lambda ^{1}}$ゼロ測度ではなく、二次元事象の確率${\displaystyle E}$垂直方向の「スライス」の1次元確率の積分として得られる。${\displaystyle E\cap L_{x}}$より正式には、${\displaystyle \mu _{x}}$は、上の1次元ルベーグ測度を表す。${\displaystyle L_{x}}$、 それから $${\displaystyle \mu (E)=\int _{[0,1]}\mu _{x}(E\cap L_{x})\,\mathrm {d} x}$$ どんな「いい」に対しても${\displaystyle E\subseteq S}$分解定理は、距離空間上の測度の文脈においてこの議論を厳密にする。

（以下、$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$は位相空間上のボレル確率測度の集合を表す。${\displaystyle (X,T)}$定理の仮定は次のとおりです。^{[ 1 ]}

• させて${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle X}$2 つのポーランド空間(つまり、分離可能で完全に距離化可能な空間)である。
• させて${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(Y)}$。
• させて${\displaystyle \pi :Y\to X}$ボレル可測関数である。ここでは、${\displaystyle \pi }$「崩壊する」機能として${\displaystyle Y}$分割という意味で${\displaystyle Y}$の中へ${\displaystyle \{\pi ^{-1}(x)\ |\ x\in X\}}$例えば、上記の動機付けとなる例では、次のように定義できます。${\displaystyle \pi ((a,b))=a}$、${\displaystyle (a,b)\in [0,1]\times [0,1]}$それによって、${\displaystyle \pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]}$私たちが捉えたいのは、その一部です。
• させて${\displaystyle \nu \in {\mathcal {P}}(X)}$前進するための措置となる${\displaystyle \nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}}$この尺度は、${\displaystyle x}$（これはイベントに対応します）$\displaystyle \pi ^{-1}(x)$)

定理の結論：${\displaystyle \nu }$-ほぼあらゆる場所で一意に決定される確率測度の族${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$これは「崩壊」をもたらす${\displaystyle \mu }$の中へ${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$次のような場合：

• 機能${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}}$ボレルは測定可能であり、${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}(B)}$は、各ボレル可測集合に対するボレル可測関数である。${\displaystyle B\subseteq Y}$;
• ${\displaystyle \mu _{x}}$繊維上で「生き続ける」$\displaystyle \pi ^{-1}(x)$： のために${\displaystyle \nu }$-ほぼすべて${\displaystyle x\in X}$、$${\displaystyle \mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,}$$など${\displaystyle \mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))}$;
• すべてのボレル可測関数に対して${\displaystyle f:Y\to [0,\infty ]}$、$${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\,\mathrm {d} \nu (x)。}$$特に、あらゆるイベントにおいて${\displaystyle E\subseteq Y}$取って${\displaystyle f}$指示関数となる${\displaystyle E}$[ ^{2 ]​}$${\displaystyle \mu (E)=\int _{X}\mu _{x}(E)\,\mathrm {d} \nu (x),}$$これは家族が${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$これは通常の条件付き確率です。

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• Bogachev, Vladimir Igorevich (2007). Measure theory. Springer Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-540-34513-8.