量子デコヒーレンス

量子デコヒーレンスは、量子コヒーレンスの喪失です。量子デコヒーレンスは、量子システムが古典力学で説明できるシステムにどのように変換されるかを理解するために研究されてきました。量子力学の理解を広げる試みから始まったこの理論は、いくつかの方向に発展し、実験的研究によっていくつかの重要な問題が確認されました。量子コンピューティングは量子コヒーレンスに依存しており、この概念の主要な実用的応用の 1 つです。

量子力学では、物理システムは量子状態と呼ばれる数学的表現によって記述される。システムに対する実験の結果の確率は、そのシステムを記述する量子状態にボルンの規則を適用することによって計算される。量子状態は純粋または混合のいずれかであり、純粋状態は波動関数としても知られている。量子システムに純粋状態を割り当てることは、そのシステムに対する何らかの測定の結果が確実であることを意味する。つまり、可能な結果の 1 つが確率 1 で発生する測定が存在することを意味する。外部の力や相互作用がない場合、量子状態は時間の経過とともに単位的に進化する。したがって、純粋な量子状態は純粋のままである。ただし、たとえば測定中など、システムが完全に分離されていない場合、コヒーレンスは環境と共有され、時間の経過とともに失われるように見える ─ 量子デコヒーレンスまたは環境デコヒーレンスと呼ばれるプロセス。量子コヒーレンスは失われるのではなく、環境内のより多くの自由度と混合されます。これは、古典力学でエネルギーが実際に環境で熱を生成するときに摩擦によってエネルギーが失われるように見えるのと似ています。

デコヒーレンスは、システムから環境への情報の損失（多くの場合、熱浴としてモデル化される）と見なすことができます。^[1]これは、すべてのシステムが周囲のエネルギー状態と緩く結合しているためです。単独で見ると、システムのダイナミクスは非ユニタリーです（ただし、結合したシステムと環境はユニタリーな方法で進化します）。^[2]したがって、システムのみのダイナミクスは不可逆です。他の結合と同様に、システムと環境の間にエンタングルメントが生成されます。これにより、量子情報が周囲と共有されるか、周囲に転送される 効果があります。

量子力学の解釈は、量子物理学の数学的理論が経験された現実とどのように対応するかを説明する試みである。^[3]デコヒーレンスの計算は量子力学のどの解釈でも実行できる。なぜなら、それらの計算は量子論の標準的な数学的ツールの応用だからである。しかし、デコヒーレンスの主題は、その歴史を通じて解釈の問題と密接に関連してきた。^{[4] [5]}

デコヒーレンスは、量子力学における波動関数の崩壊の可能性を理解するために使用されてきた。デコヒーレンスは実際の波動関数の崩壊を引き起こすわけではない。デコヒーレンスは、量子システムのコンポーネントが同じ環境内の他の量子システムと絡み合うため、見かけ上の波動関数の崩壊の枠組みを提供するだけである。つまり、波動関数のコンポーネントはコヒーレントなシステムから切り離され、そのすぐ近くの環境から位相を獲得する。グローバルまたはユニバーサルな波動関数の完全な重ね合わせは依然として存在し（グローバルレベルではコヒーレントのままである）、その最終的な運命は解釈の問題として残る。

測定問題に関しては、デコヒーレンスは、システムが、観察者が知覚する状態に対応するように見える状態の混合状態に移行することを説明します。さらに、測定によって「集団」内の 1 つの状態が正確に「実現」されるため、この混合状態は測定状況では適切な量子集団のように見えることが観測によって示されています。

ヴェルナー・ハイゼンベルクとニールス・ボーアの哲学的見解は、重要な点において両者の間に大きな相違があるにもかかわらず、「コペンハーゲン解釈」としてまとめられることが多い。 ^{[6] [7]} 1955年、ハイゼンベルクは、システムとその周囲の環境との相互作用によって量子干渉効果が排除されると示唆した。しかし、ハイゼンベルクはこれがどのように起こるかについて詳細な説明をしておらず、そのプロセスにおけるエンタングルメントの重要性も明確に述べなかった。^{[7] [8]}

1929年にネビル・モットが示した象徴的なモット問題の解決法は、振り返ってみると最初の量子デコヒーレンス研究だと考えられています。 ^[9]これは最初の現代的な理論的扱いで引用されました。^[10]

量子デコヒーレンスという概念は、1951年にアメリカの物理学者デイビッド・ボームによって初めて導入され、彼はその用語を使用しなかったが、^{[11] [12]それを「測定過程における干渉の破壊」と呼んだ。ボームは後に、量子論の}ド・ブロイ＝ボーム解釈において測定過程を扱うためにデコヒーレンスを使用した。^[13]

デコヒーレンスの重要性は、1970年にドイツの物理学者H.ディーター・ツェーによってさらに強調され、^[14] 1980年代から活発な研究の対象となってきました。^[15]デコヒーレンスは完全な枠組みにまで発展しましたが、デコヒーレンス理論の創始者がその独創的な論文で認めているように、それが測定問題を解決するかどうかについては議論があります。^[16]

デコヒーレンスを正式な主題として研究するようになったのは、1970年にH・ディーター・ツェーの論文「量子論における測定の解釈について」からである。^{[4] [14]}ツェーは波動関数を（コペンハーゲン型解釈に典型的な）計算装置や統計情報の要約ではなく、物理的実体とみなし、波動関数は常にシュレーディンガー方程式に従ってユニタリに進化するはずであると提唱した。ツェーは当初、ヒュー・エヴェレット3世の以前の研究^{[17]を知らなかった。この研究でも、ユニタリに進化する普遍的な波動関数が提唱されていたが、}ブライス・デウィットの論文を通じてエヴェレットの「相対状態解釈」を知った後、論文を改訂してエヴェレットを参照するようにした。^{[4] （デウィットはエヴェレットの提案を}多世界解釈と名付けた人物であり、この名前で広く知られている。）ゼーにとって、量子力学をどのように解釈するかという問題は極めて重要であり、エヴェレットの解釈に沿ったものが最も自然なものであった。物理学者が解釈の問題に一般的に無関心であったこともあり、ゼーの研究は1980年代初頭まで比較的無視されたままであったが、ヴォイチェフ・ズーレク^{[18] [19]}による2つの論文がこのテーマを活性化させた。ゼーの出版物とは異なり、ズーレクの記事は解釈についてかなり懐疑的であり、代わりに密度行列ダイナミクスの特定の問題に焦点を当てていた。ズーレクのデコヒーレンスへの関心は、ビル・ウッターズと共同で取り組んだアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックスに対する回答の中でボーアの二重スリット実験の分析をさらに進めたことに端を発しており、^[20]それ以来、ズーレクはデコヒーレンスがエヴェレット派とコペンハーゲン派の見解の間に一種の和解をもたらすと主張してきた。^{[4] [21]}

デコヒーレンスは、実際の波動関数の崩壊のメカニズムを提供するものではなく、むしろ波動関数の崩壊の出現に対する合理的な枠組みを提示するものである。システムの量子的性質は単に環境に絡み合っているだけなので、波動関数の完全な重ね合わせは依然として存在するが、少なくともすべての実用的な目的においては、測定の領域を超えて存在する。^{[22] [23]}定義により、融合しているが測定できない波動関数が依然として存在するという主張は、実験的に証明することはできない。量子システムが環境と相互作用した後に古典的な確率規則に従い始める理由を理解するには、デコヒーレンスが必要である（システムにボルンの確率規則を適用すると干渉項が抑制されるため）。

アンソニー・レゲットは、測定問題を解決するためにデコヒーレンス理論が適切であるかどうかについて批判している。^{[24] [25]}

デコヒーレンスがどのように機能するかを調べるために、以下に「直感的な」モデルを示します。このモデルを理解するには、量子理論の基礎に関するある程度の知識が必要です。視覚化可能な古典的な位相空間とヒルベルト空間の間には類似点があります。ディラック表記法によるより厳密な導出により、デコヒーレンスが干渉効果とシステムの「量子的性質」をどのように破壊するかが示されます。次に、密度行列アプローチを展望のために示します。

N粒子系は、非相対論的量子力学では波動関数 で表すことができます。ここで、各x _{i は}3 次元空間内の点です。これは、古典的な位相空間と類似しています。古典的な位相空間には、6 N次元の実数値関数が含まれます(各粒子は 3 つの空間座標と 3 つの運動量を提供します)。一方、この場合、「量子」位相空間には、3 N次元空間上の複素数値関数が含まれます。位置と運動量は、交換しない演算子によって表され、ヒルベルト空間の数学的構造に存在します。ただし、これらの違いを除けば、大まかな類似性は維持されます。 ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})}$${\displaystyle \psi }$

以前は孤立していた、相互作用のない異なるシステムは、異なる位相空間を占めます。あるいは、それらは結合システムの位相空間内の異なる低次元サブスペースを占めていると言うこともできます。システムの位相空間の有効次元は、存在する自由度の数であり、非相対論的モデルでは、システムの自由粒子の数の 6 倍です。マクロなシステムの場合、これは非常に大きな次元になります。ただし、2 つのシステム (環境は 1 つのシステム) が相互作用を開始すると、関連する状態ベクトルはサブスペースに制限されなくなります。代わりに、結合された状態ベクトルは、2 つのサブスペースの次元の合計である次元を持つ「より大きなボリューム」を通る経路を時間的に進化させます。2 つのベクトルが互いに干渉する程度は、位相空間内でそれらが互いにどれだけ「近い」か (正式には、それらの重なりまたはヒルベルト空間が乗算されます) の尺度です。システムが外部環境に結合すると、結合状態ベクトルの次元、つまり利用可能な「ボリューム」が大幅に増加します。環境の自由度ごとに、追加の次元が追加されます。

元のシステムの波動関数は、量子重ね合わせの要素の合計として、さまざまな方法で展開できます。各展開は、波動ベクトルの基底への投影に対応します。基底は自由に選択できます。結果として得られる基底要素が要素固有の方法で環境と相互作用する展開を選択すると、そのような要素は、圧倒的な確率で、独自の独立したパスに沿った自然なユニタリー時間発展によって互いに急速に分離されます。非常に短い相互作用の後、それ以上の干渉の可能性はほとんどありません。このプロセスは事実上不可逆です。さまざまな要素は、環境との結合によって作成された拡張位相空間で、事実上互いに「失われ」ます。位相空間では、この分離はウィグナー準確率分布によって監視されます。元の要素はデコヒーレンスしたと言われています。環境は、互いにデコヒーレンスする (または位相コヒーレンスを失う) 元の状態ベクトルの展開または分解を事実上選択しました。これは、「環境誘導スーパーセレクション」または「非選択」と呼ばれます。^[26]システムのデコヒーレンスされた要素は、二重スリット実験のように、互いに量子干渉を示さなくなります。環境との相互作用によって互いにデコヒーレンスされた要素は、環境と量子もつれしていると言われます。逆は真ではありません。すべての量子もつれ状態が互いにデコヒーレンスされているわけではありません。

あらゆる測定デバイスまたは装置は環境として機能します。測定チェーンのある段階で、人間が読み取れる大きさでなければならないためです。非常に多くの隠れた自由度を持たなければなりません。実際、相互作用は量子測定と見なすことができます。相互作用の結果、システムと測定デバイスの波動関数は互いに絡み合います。デコヒーレンスは、システムの波動関数の異なる部分が測定デバイスと異なる方法で絡み合うときに発生します。絡み合ったシステムの状態の 2 つの非選択要素が干渉するには、元のシステムと両方の要素の測定デバイスの両方が、スカラー積の意味で大幅に重なり合っていなければなりません。測定デバイスに多くの自由度がある場合、これが発生する可能性は 非常に低くなります。

その結果、システムは、異なる要素の単一のコヒーレントな量子重ね合わせとしてではなく、異なる要素の古典的な統計的集合体として動作します。各集合体の測定装置の観点からは、システムは、その要素に対して測定された属性の正確な値を持つ状態に不可逆的に崩壊しているように見えます。これは、ボルン則係数が、量子測定問題の解決策を構成する測定仮定に従って、どのように効果的に確率として機能するかを説明する 1 つの方法です。

ディラック記法を用いて、系の初期状態を

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}|i\rangle \langle i|\psi \rangle ,}$

ここで、sは非選択基底（環境誘導選択固有基底^[26]）を形成し、環境は初期状態にあるものとする。システムと環境の組み合わせのベクトル基底は、2つのサブシステムの基底ベクトルのテンソル積で構成される。したがって、2つのサブシステム間の相互作用の前に、ジョイント状態は次のように記述できる。 ${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle |\epsilon \rangle }$

${\displaystyle |{\text{before}}\rangle =\sum _{i}|i\rangle |\epsilon \rangle \langle i|\psi \rangle ,}$

ここで、 はテンソル積 の省略形です。システムが環境と相互作用する方法には、2 つの極端なケースがあります。(1) システムが明確なアイデンティティを失い、環境と融合する (例: 冷たく暗い空洞内の光子が空洞壁内で分子励起に変換される)、または (2) 環境が乱されてもシステムはまったく乱されない (例: 理想的な非乱れ測定)。一般に、相互作用は、私たちが調べるこれらの 2 つの極端なケースが混在したものです。 ${\displaystyle |i\rangle |\epsilon \rangle }$${\displaystyle |i\rangle \otimes |\epsilon \rangle }$

環境がシステムを吸収する場合、システム全体の基礎となる各要素は環境と相互作用し、

${\displaystyle |i\rangle |\epsilon \rangle }$進化して${\displaystyle |\epsilon _{i}\rangle ,}$

など

${\displaystyle |{\text{before}}\rangle }$進化して${\displaystyle |{\text{after}}\rangle =\sum _{i}|\epsilon _{i}\rangle \langle i|\psi \rangle .}$

時間発展のユニタリー性は、全体の状態基底が正規直交のままであることを要求します。 つまり、基底ベクトルのスカラーまたは内積は、次の理由によりゼロでなければなりません。${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}$

${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

この環境状態の正規直交性は、選択に必要な定義特性である。^[26]

理想的な測定では、システムは環境を乱すが、システム自体は環境によって乱されない。この場合、基底の各要素は環境と相互作用し、

${\displaystyle |i\rangle |\epsilon \rangle }$製品へと進化する${\displaystyle |i,\epsilon _{i}\rangle =|i\rangle |\epsilon _{i}\rangle ,}$

など

${\displaystyle |{\text{before}}\rangle }$進化して${\displaystyle |{\text{after}}\rangle =\sum _{i}|i,\epsilon _{i}\rangle \langle i|\psi \rangle .}$

この場合、統一性は

${\displaystyle \langle i,\epsilon _{i}|j,\epsilon _{j}\rangle =\langle i|j\rangle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle =\delta _{ij}\langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle =\delta _{ij}\langle \epsilon _{i}|\epsilon _{i}\rangle =\delta _{ij},}$

が使用されました。さらに、デコヒーレンスは、環境内の隠れた自由度の数が多いため、 ${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{i}\rangle =1}$

${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \approx \delta _{ij}.}$

前述のように、これがデコヒーレンスが非選択性になるための決定的な特徴である。^[26]影響を受ける環境の自由度の数が増加するにつれて、近似はより正確になる。

システム基底がeinselected 基底でない場合、擾乱環境は の関数ではないため、最後の条件は自明であり、自明な擾乱環境基底 となることに注意してください。これは、システム基底が環境定義の測定観測量に関して退化していることに対応します。複雑な環境相互作用 (典型的なマクロスケール相互作用で予想されるもの) の場合、非 einselected 基底を定義することは困難です。 ${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle |\epsilon _{j}\rangle =|\epsilon '\rangle }$

デコヒーレンスの有用性は、環境との相互作用の前後の確率の分析、特にデコヒーレンス発生後の量子干渉項の消失への応用にあります。システムが環境と相互作用する前にからへの遷移を観測する確率はどれくらいかと問うと、ボルンの確率則を適用すると、遷移確率は2 つの状態のスカラー 積の係数の 2 乗になります。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{before}}(\psi \to \phi )=\left|\langle \psi |\phi \rangle \right|^{2}=\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\phi _{i}\right|^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}+\sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i},}$

ここで、、、など。 ${\displaystyle \psi _{i}=\langle i|\psi \rangle }$${\displaystyle \psi _{i}^{*}=\langle \psi |i\rangle }$${\displaystyle \phi _{i}=\langle i|\phi \rangle }$

上記の遷移確率の展開には、 を含む項があります。これらは、異なる基底要素または量子選択肢間の干渉を表すものと考えることができます。これは純粋に量子的な効果であり、量子選択肢の確率の非加法性を表します。 ${\displaystyle i\neq j}$

システムが環境と相互作用した後にからへの量子飛躍を起こすのを観測する確率を計算するには、ボルンの確率則を適用して、係数を二乗する 前に環境の関連する可能な状態すべてを合計する必要があることを示します。${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle |\epsilon _{i}\rangle }$

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )=\sum _{j}\,\left|\langle {\text{after}}\right|\phi ,\epsilon _{j}\rangle |^{2}=\sum _{j}\,\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\langle i,\epsilon _{i}|\phi ,\epsilon _{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\left|\sum _{i}\psi _{i}^{*}\phi _{i}\langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \right|^{2}.}$

デコヒーレンス/非選択条件を適用すると内部和は消え、式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle \langle \epsilon _{i}|\epsilon _{j}\rangle \approx \delta _{ij}}$

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )\approx \sum _{j}|\psi _{j}^{*}\phi _{j}|^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}.}$

これを環境がデコヒーレンスを導入する前に導出した式と比較すると、デコヒーレンスの影響により、和の符号が係数の符号の内側から外側に移動していることがわかります。その結果、すべての相互干渉項または量子干渉項は ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}}$

${\displaystyle \sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i}}$

遷移確率の計算からは消え去った。デコヒーレンスは量子挙動（加法的な確率振幅）を古典的挙動（加法的な確率）に不可逆的に変換した。 ^{[26] [27] [28]} しかし、Ballentine ^[29]は、干渉を減らすためのデコヒーレンスの大きな影響は、量子系が古典的極限に遷移する上で必ずしも重要ではないことを示している。

密度行列の観点から見ると、干渉効果の消失は「環境的にトレースされた」密度行列の対角化に対応する。^[26]

デコヒーレンスが密度行列に与える影響は、本質的には、結合系の密度行列の部分トレースの非対角要素、すなわち、結合系とその環境の密度行列の、任意の環境基底に関するトレースの減衰または急速な消失である。デコヒーレンスは、「平均化された」または「環境的にトレースされた」^[26]密度行列を純粋な状態から縮小された混合物へと不可逆的に変換する。これが波動関数の崩壊のように見える原因である。これもまた、「環境的に誘導された超選択」または「非選択」と呼ばれる。^[26]部分トレースを取る利点は、この手順が選択された環境基底とは無関係であることだ。

まず、複合システムの密度行列は次のように表される。

${\displaystyle \rho =|{\text{before}}\rangle \langle {\text{before}}|=|\psi \rangle \langle \psi |\otimes |\epsilon \rangle \langle \epsilon |,}$

ここで、 は環境の状態です。システムと環境の間で何らかの相互作用が発生する前に遷移が発生した場合、環境サブシステムには部分が存在せず、 をトレースして、システムの縮小密度行列を残すことができます。 ${\displaystyle |\epsilon \rangle }$

${\displaystyle \rho _{\text{sys}}=\operatorname {Tr} _{\textrm {env}}(\rho )=|\psi \rangle \langle \psi |\langle \epsilon |\epsilon \rangle =|\psi \rangle \langle \psi |.}$

遷移確率は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{before}}(\psi \to \phi )=\langle \phi |\rho _{\text{sys}}|\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle ={\big |}\langle \psi |\phi \rangle {\big |}^{2}=\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2}+\sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i},}$

ここで、、、など。 ${\displaystyle \psi _{i}=\langle i|\psi \rangle }$${\displaystyle \psi _{i}^{*}=\langle \psi |i\rangle }$${\displaystyle \phi _{i}=\langle i|\phi \rangle }$

さて、システムと環境の相互作用の後に遷移が起こる場合、結合密度行列は次のようになる。

${\displaystyle \rho =|{\text{after}}\rangle \langle {\text{after}}|=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i,\epsilon _{i}\rangle \langle j,\epsilon _{j}|=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\otimes |\epsilon _{i}\rangle \langle \epsilon _{j}|.}$

システムの縮約密度行列を得るために、環境をトレースし、デコヒーレンス/非選択条件を適用し、非対角項が消えることを確認します（1985年にErich JoosとHD Zehによって得られた結果）。^[30]

${\displaystyle \rho _{\text{sys}}=\operatorname {Tr} _{\text{env}}{\Big (}\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\otimes |\epsilon _{i}\rangle \langle \epsilon _{j}|{\Big )}=\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\langle \epsilon _{j}|\epsilon _{i}\rangle =\sum _{i,j}\psi _{i}\psi _{j}^{*}|i\rangle \langle j|\delta _{ij}=\sum _{i}|\psi _{i}|^{2}|i\rangle \langle i|.}$

同様に、遷移後の最終的な縮減密度行列は

${\displaystyle \sum _{j}|\phi _{j}|^{2}|j\rangle \langle j|.}$

遷移確率は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {prob} _{\text{after}}(\psi \to \phi )=\sum _{i,j}|\psi _{i}|^{2}|\phi _{j}|^{2}\langle j|i\rangle \langle i|j\rangle =\sum _{i}|\psi _{i}^{*}\phi _{i}|^{2},}$

干渉項からの寄与はない

${\displaystyle \sum _{ij;i\neq j}\psi _{i}^{*}\psi _{j}\phi _{j}^{*}\phi _{i}.}$

密度行列アプローチは、システムの縮約密度行列と環境の影響を考慮した縮約軌道アプローチを生み出すために、ボフミアンアプローチと組み合わされている。 ^[31]

閉じていて量子力学的に扱えるシステムSと環境（浴室）Bを考える。と をそれぞれシステムと浴室のヒルベルト空間とする。すると、結合したシステムのハミルトニアンは ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},}$

ここで、はそれぞれシステムとバスのハミルトニアン、はシステムとバス間の相互作用ハミルトニアン、はそれぞれシステムとバスのヒルベルト空間上の恒等演算子である。この閉システムの密度演算子の時間発展はユニタリであり、次のように与えられる。 ${\displaystyle {\hat {H}}_{S},{\hat {H}}_{B}}$${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$${\displaystyle {\hat {I}}_{S},{\hat {I}}_{B}}$

${\displaystyle \rho _{SB}(t)={\hat {U}}(t)\rho _{SB}(0){\hat {U}}^{\dagger }(t),}$

ここでユニタリ演算子は である。システムと浴が最初からエンタングルメントしていない場合は と書くことができる。したがって、システムの発展は次のようになる。 ${\displaystyle {\hat {U}}=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$${\displaystyle \rho _{SB}=\rho _{S}\otimes \rho _{B}}$

${\displaystyle \rho _{SB}(t)={\hat {U}}(t)[\rho _{S}(0)\otimes \rho _{B}(0)]{\hat {U}}^{\dagger }(t).}$

システム-浴相互作用ハミルトニアンは、一般的な形で次のように表される。

${\displaystyle {\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},}$

ここで、はシステムと浴室を組み合わせたヒルベルト空間に作用する演算子であり、はそれぞれシステムと浴室に作用する演算子です。システムと浴室のこの結合が、システムのみのデコヒーレンスの原因です。これを確認するには、浴室の部分トレースを実行して、システムのみの記述を行います。 ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i}}$${\displaystyle {\hat {S}}_{i},{\hat {B}}_{i}}$

${\displaystyle \rho _{S}(t)=\operatorname {Tr} _{B}{\big [}{\hat {U}}(t)[\rho _{S}(0)\otimes \rho _{B}(0)]{\hat {U}}^{\dagger }(t){\big ]}.}$

${\displaystyle \rho _{S}(t)}$は縮約密度行列と呼ばれ、システムに関する情報のみを与えます。浴が直交基底ケットの集合で記述されている場合、つまり最初に対角化されている場合、 となります。この（計算）基底に関する部分トレースを計算すると、次のようになります。 ${\displaystyle \textstyle \rho _{B}(0)=\sum _{j}a_{j}|j\rangle \langle j|}$

${\displaystyle \rho _{S}(t)=\sum _{l}{\hat {A}}_{l}\rho _{S}(0){\hat {A}}_{l}^{\dagger },}$

ここで、はクラウス演算子として定義され、 として表されます (インデックスはと のインデックスを組み合わせたものです)。 ${\displaystyle {\hat {A}}_{l},{\hat {A}}_{l}^{\dagger }}$${\displaystyle l}$${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|{\hat {U}}|j\rangle .}$

これは演算子和表現（OSR）として知られています。クラウス演算子の条件は、という事実を使って得ることができます。これにより、 ${\displaystyle \operatorname {Tr} [\rho _{S}(t)]=1}$

${\displaystyle \sum _{l}{\hat {A}}_{l}^{\dagger }{\hat {A}}_{l}={\hat {I}}_{S}.}$

この制限により、OSR でデコヒーレンスが発生するかどうかが決まります。特に、 の合計に複数の項が存在する場合、システムのダイナミクスは非ユニタリになり、デコヒーレンスが発生します。 ${\displaystyle \rho _{S}(t)}$

量子系におけるデコヒーレンスの存在に関するより一般的な考察は、マスター方程式によって与えられ、これは系の密度行列のみが時間とともにどのように発展するかを決定する（連続測定下での発展についてはベラフキン方程式^{[32] [33] [34]も参照）。これは、}状態の発展（その密度行列によって表される）を考慮するシュレーディンガー描像を使用する。マスター方程式は

${\displaystyle \rho '_{S}(t)={\frac {-i}{\hbar }}{\big [}{\tilde {H}}_{S},\rho _{S}(t){\big ]}+L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]},}$

ここで はシステムハミルトニアンと浴からの（可能な）ユニタリー寄与であり、 はリンドブラッドのデコヒーリング項である。^[2]リンドブラッドのデコヒーリング項は次のように表される。 ${\displaystyle {\tilde {H}}_{S}=H_{S}+\Delta }$${\displaystyle H_{S}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle L_{D}}$

${\displaystyle L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{M}b_{\alpha \beta }{\Big (}{\big [}\mathbf {F} _{\alpha },\rho _{S}(t)\mathbf {F} _{\beta }^{\dagger }{\big ]}+{\big [}\mathbf {F} _{\alpha }\rho _{S}(t),\mathbf {F} _{\beta }^{\dagger }{\big ]}{\Big )}.}$

は、システムヒルベルト空間に作用するM次元の有界演算子空間の基底演算子であり、誤差生成子です。^[35]行列要素は、正の半定値エルミート行列の要素を表します。これらはデコヒーリングプロセスを特徴付けるため、ノイズパラメータと呼ばれます。^[35]半群アプローチは、ユニタリプロセスとデコヒーリング（非ユニタリ）プロセスを区別するため特に便利ですが、OSR ではそうではありません。特に、非ユニタリダイナミクスは で表されますが、状態のユニタリダイナミクスは通常のハイゼンベルク交換子で表されます。 のとき、システムの動的発展はユニタリであることに注意してください。マスター方程式によって記述されるシステム密度行列の発展の条件は次のとおりです。^[2]${\displaystyle \{\mathbf {F} _{\alpha }\}_{\alpha =1}^{M}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle b_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle L_{D}}$${\displaystyle L_{D}{\big [}\rho _{S}(t){\big ]}=0}$

1. システム密度行列の発展は1パラメータ半群によって決定される
2. 進化は「完全に正」である（つまり、確率は保存される）
3. システムと浴密度行列は最初は分離されている

デコヒーレンスは、システムがその環境と結合する非ユニタリープロセスとしてモデル化できます（ただし、結合したシステムと環境はユニタリーな方法で進化します）。 ^[2]したがって、単独で扱われるシステムのダイナミクスのみは非ユニタリーであり、システムのヒルベルト空間に作用する不可逆な変換によって表されます。システムのダイナミクスは不可逆な表現によって表されるため、量子システムに存在する情報は環境または熱浴に失われる可能性があります。あるいは、システムと環境の結合によって引き起こされる量子情報の減衰は、デコヒーレンスと呼ばれます。^[1]したがって、デコヒーレンスは、量子システムの情報がシステムとその環境（閉じたシステムを形成）の相互作用によって変更され、システムと熱浴（環境）の間にエンタングルメントを作成するプロセスです。このように、システムは何らかの未知の方法で環境と絡み合っているため、環境を参照せずに（つまり、環境の状態を記述せずに）システム自体を記述することはできません。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

対称的にバスに結合されたN個の量子ビットのシステムを考えます。このN個の量子ビットのシステムがの固有状態の周りを回転するとします。このような回転により、 の固有状態 と の間にランダムな位相が生成されます。したがって、これらの基底量子ビットと は次のように変換されます。 ${\displaystyle |{\uparrow }\rangle \langle {\uparrow }|,|{\downarrow }\rangle \langle {\downarrow }|}$ ${\displaystyle {\big (}|0\rangle \langle 0|,|1\rangle \langle 1|{\big )}}$${\displaystyle {\hat {J_{z}}}}$ ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle {\hat {J_{z}}}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |0\rangle \to |0\rangle ,\quad |1\rangle \to e^{i\phi }|1\rangle .}$

この変換は回転演算子によって実行される。

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\phi }\end{pmatrix}}.}$

この空間内の任意の量子ビットは基底量子ビットで表現できるため、このような量子ビットはすべてこの回転によって変換されます。の純粋状態にある番目の量子ビットを考えます。回転を適用する前のこの状態は次のとおりです。 ${\displaystyle j}$${\displaystyle \vert \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}\vert }$${\displaystyle |\psi _{j}\rangle =a|0\rangle +b|1\rangle }$

${\displaystyle \rho _{j,{\text{init}}}={\begin{pmatrix}|a|^{2}&ab^{\ast }\\a^{\ast }b&|b|^{2}\end{pmatrix}}}$。

この状態は、位相ずれ係数 （に依存して） でエンコードされていないため、デコヒーレンスが失われます。これは、ランダム位相 にわたって平均化された密度行列を調べることで確認できます。 ${\displaystyle e^{i\phi }}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \rho _{j}=\mathbb {E} [R_{z}(\phi )\vert \psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}\vert R_{z}^{\dagger }(\phi )]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R_{z}(\phi )|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|R_{z}^{\dagger }(\phi )\;P({\text{d}}\phi )}$、

ここで、はランダム位相の確率測度である。必ずしも必要ではないが、ここでは簡単のため、これがガウス分布、すなわちで与えられるものと仮定しよう。ここで、 はランダム位相の広がりを表す。すると、上記のように計算された密度行列は、 ${\displaystyle P(\cdot )}$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle P({\text{d}}\phi )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {\phi }{\sigma }})^{2}}\,{\text{d}}\phi }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \rho _{j}={\begin{pmatrix}|a|^{2}&ab^{\ast }\,e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}\\a^{\ast }b\,e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}&|b|^{2}\end{pmatrix}}}$。

非対角要素（コヒーレンス項）は、ランダム位相 の広がりが時間の経過とともに増加するにつれて減少することに注目してください（これは現実的な期待値です）。したがって、システムの各量子ビットの密度行列は、時間の経過とともに区別できなくなります。これは、測定によって量子ビットを区別できないことを意味し、さまざまな量子ビット状態間のデコヒーレンスが発生します。特に、この位相のずれのプロセスにより、量子ビットは の純粋状態の 1 つに崩壊します。このタイプのデコヒーレンス プロセスが集団的位相のずれと呼ばれるのは、N量子ビット システムのすべての量子ビット間の相互位相が破壊されるためです。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{\vert 0\rangle \langle 0\vert ,\vert 1\rangle \langle 1\vert \}}$

脱分極は、純粋状態を混合状態にマッピングする量子システム上の非ユニタリ変換です。このプロセスを逆転させる変換はいずれも、それぞれのヒルベルト空間から状態をマッピングするため、正値が保存されないため、非ユニタリ プロセスです (つまり、元の確率が負の確率にマッピングされますが、これは許可されていません)。このような変換の 2 次元ケースは、ブロッホ球面上の純粋状態をブロッホ球内の混合状態にマッピングすることで構成されます。これにより、ブロッホ球が有限量だけ収縮し、逆のプロセスによりブロッホ球が拡大しますが、これは起こり得ません。

散逸は、量子状態の集団が浴とのエンタングルメントにより変化するデコヒーリング過程である。この例としては、相互作用ハミルトニアンを介して浴とエネルギーを交換できる量子システムが挙げられる。システムが基底状態になく、浴の温度がシステムよりも低い場合、システムは浴にエネルギーを放出し、したがってシステムハミルトニアンの高エネルギー固有状態は冷却後に基底状態にデコヒーレントになり、したがってすべて非縮退になる。状態はもはや縮退していないため、区別できず、したがってこの過程は不可逆的（非ユニタリー）である。

デコヒーレンスは、マクロな物体にとっては非常に速いプロセスである。なぜなら、マクロな物体は、自然環境において膨大な数の自由度を持つ多くのミクロな物体と相互作用しているからである。このプロセスは、日常のマクロな物体で量子的な振る舞いが観察されない傾向がある理由と、大量の物質の物質と放射線の相互作用の特性から古典的な場が出現するのを見る理由を理解するために必要である。密度行列の非対角成分が実質的に消滅するのにかかる時間は、デコヒーレンス時間と呼ばれる。これは、日常のマクロスケールのプロセスでは通常、非常に短い。^{[26] [27] [28]}デコヒーレンス時間の現代の基底に依存しない定義は、初期状態と時間依存状態の間の忠実度の短時間の振る舞い^[36]または同等に、純度の減衰に依存している。^[37]

現時点では、問題のシステムは研究対象のサブシステムAと「環境」で構成されており、全体のヒルベルト空間はA を記述するヒルベルト空間とを記述するヒルベルト空間のテンソル積であると仮定します。つまり、 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\epsilon }}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{\epsilon }.}$

これは、 Aとが比較的独立している場合（たとえば、 Aの一部が の一部と混ざったり、その逆になったりすることはない）には、かなり良い近似です。ポイントは、環境との相互作用は、実際上は避けられないということです（たとえば、真空中の単一の励起原子でさえ光子を放出し、それが消えてしまいます）。この相互作用は、に作用するユニタリ変換Uによって記述されるとします。環境の初期状態は、Aの初期状態は重ね合わせ状態である と仮定します。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |{\text{in}}\rangle }$

${\displaystyle c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle ,}$

ここで、 と は直交しており、最初はエンタングルメントはありません。また、の正規直交基底を選択します。(これは「連続的にインデックス付けされた基底」または連続インデックスと離散インデックスの混合である可能性があります。その場合、不正なヒルベルト空間を使用し、正規直交の意味についてより注意する必要がありますが、これは説明の目的では重要ではない詳細です。)次に、展開できます。 ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle \{|e_{i}\rangle \}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$

${\displaystyle U{\big (}|\psi _{1}\rangle \otimes |{\text{in}}\rangle {\big )}}$

そして

${\displaystyle U{\big (}|\psi _{2}\rangle \otimes |{\text{in}}\rangle {\big )}}$

ユニークな

${\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \otimes |f_{1i}\rangle }$

そして

${\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \otimes |f_{2i}\rangle }$

それぞれです。認識すべきことの 1 つは、環境には膨大な数の自由度が含まれており、そのうちのかなりの数が常に互いに相互作用しているということです。これにより、次の仮定は、簡単なおもちゃのモデルで真であることが証明できる、大まかな意味では妥当なものになります。i ≠ jの場合、およびがすべてほぼ良好な程度に直交し、任意のiおよびjに対して、およびおよびについても同様のことが成り立つような基底が存在すると仮定します(デコヒーレンス特性)。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\epsilon }}$${\displaystyle |f_{1i}\rangle }$${\displaystyle |f_{1j}\rangle }$${\displaystyle |f_{2i}\rangle }$${\displaystyle |f_{2j}\rangle }$${\displaystyle |f_{1i}\rangle }$${\displaystyle |f_{2j}\rangle }$

これは位置基底においてしばしば（合理的な推測として）真実であることが判明する。なぜなら、 A が環境とどのように相互作用するかは、 A内のオブジェクトの位置に大きく依存するからである。そして、環境上の部分トレースを取ると、密度状態^{[明確化が必要]}は近似的に次のように記述されること がわかる。

${\displaystyle \sum _{i}{\big (}\langle f_{1i}|f_{1i}\rangle +\langle f_{2i}|f_{2i}\rangle {\big )}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|,}$

つまり、対角混合状態があり、建設的または破壊的な干渉はなく、「確率」は古典的に加算されます。U ( t ) (時間の関数としてのユニタリー演算子) がデコヒーレンス特性を示すのにかかる時間は、デコヒーレンス時間と呼ばれます。

デコヒーレンス率は温度や位置の不確実性など多くの要因に依存しており、多くの実験で外部環境に応じてそれを測定しようと試みられてきた。^[38]

量子重ね合わせがデコヒーレンスによって徐々に消滅するプロセスは、1996年にパリのエコール・ノルマル・シュペリウールのセルジュ・アロッシュと彼の同僚によって初めて定量的に測定されました。 ^{[39]彼らのアプローチでは、2つの状態の重ね合わせにある個々の}ルビジウム原子を、マイクロ波で満たされた空洞に送り込みました。2つの量子状態はどちらもマイクロ波場の位相に変化を引き起こしますが、その変化の程度は異なるため、場自体も2つの状態の重ね合わせになります。空洞ミラーの欠陥による光子の散乱により、空洞場は環境に対する位相のコヒーレンスを失います。アロッシュと彼の同僚は、原子間のさまざまな時間遅延で空洞に送られた原子ペアの状態間の相関関係を介して、結果として生じるデコヒーレンスを測定しました。

2011年7月、ブリティッシュコロンビア大学とカリフォルニア大学サンタバーバラ校の研究者らは、単一分子磁石に高磁場をかけると、デコヒーレンスの既知の3つの原因のうち2つが抑制されることを示した。^{[40] [41] [42]}研究者らは、デコヒーレンスの温度と磁場強度への依存性を測定することができた。

デコヒーレンスは量子コンピュータの実用化における課題です。なぜなら、そのようなマシンは量子コヒーレンスの乱されない発展に大きく依存すると予想されるからです。量子計算を実際に実行するには、状態のコヒーレンスが維持され、デコヒーレンスが管理される必要があります。したがって、コヒーレンスの維持とデコヒーレンスの影響の軽減は、量子エラー訂正の概念に関連しています。

2020年8月、科学者らは、環境放射性物質や宇宙線からの電離放射線が適切に遮蔽されていない場合、量子ビットのコヒーレンス時間を大幅に制限する可能性があると報告した。これは、将来、フォールトトレラントな超伝導量子コンピュータを実現するために重要になる可能性がある。^{[43] [44] [45]}

• Bacciagaluppi, Guido (2020年4月21日) [2003年11月3日]。「量子力学におけるデコヒーレンスの役割」。スタンフォード哲学百科事典。 2022年1月3日閲覧。
• コリンズ、グラハム P. (2005 年 10 月 17 日)。「量子バグ: 量子ビットは数秒で自然に崩壊する可能性がある」。サイエンティフィック・アメリカン。
• Schlosshauer, Maximilian (2007).デコヒーレンスと量子から古典への遷移(第 1 版). ベルリン/ハイデルベルク: Springer.
• Joos, E.; et al. (2003).デコヒーレンスと量子理論における古典的世界の出現(第 2 版). ベルリン: Springer.
• Omnes, R. (1999). 『量子力学の理解』 プリンストン: プリンストン大学出版局.
• Zurek, Wojciech H. (2003). 「デコヒーレンスと量子から古典への移行 – 再考」、arXiv :quant-ph/0306072 (PHYSICS TODAY、44:36–44 (1991) の記事の更新版)
• Schlosshauer, Maximilian (2005 年 2 月 23 日). 「デコヒーレンス、測定問題、量子力学の解釈」. Reviews of Modern Physics . 76 (2004): 1267–1305. arXiv : quant-ph/0312059 . Bibcode :2004RvMP...76.1267S. doi :10.1103/RevModPhys.76.1267. S2CID  7295619.
• Halliwell, JJ; Perez-Mercader, J.; Zurek, Wojciech H.編 (1996 年 3 月 21 日)。時間非対称性の物理的起源。第 3 部: デコヒーレンス。ISBN 0-521-56837-4。
• Berthold-Georg Englert、Marlan O. Scully、Herbert Walther、「Quantum Optical Tests of Complementarity」、Nature、Vol 351、pp 111–116 (1991 年 5 月 9 日) および (同じ著者) The Duality in Matter and Light Scientific American、pg 56–61、(1994 年 12 月)。相補性は不可逆な物体と装置の相関によって強化され、量子干渉効果は破壊されるのであって、これまで一般に信じられていたようにハイゼンベルクの不確定性原理自体によって破壊されるのではないことを実証している。
• Mario Castagnino、Sebastian Fortin、Roberto Laura、Olimpia Lombardi、「開放系および閉鎖系におけるデコヒーレンスの一般的な理論的枠組み」、Classical and Quantum Gravity、25、pp. 154002–154013、(2008)。デコヒーレンスの一般的な理論的枠組みが提案されており、これはもともと開放系または閉鎖系のみを扱うために考案された形式主義を包含しています。